2 (интеграл)

Методические рекомендации для студентов 1 курса стоматологического факультета

по самоподготовке и проведению практического занятия по математике

Тема: Неопределенный и определенный интеграл. Основные способы интегрирования. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач.

Актуальность темы: ознакомление с основными понятиями и методами математического анализа как средства решения задач физического, химического, биологического и иного характера, встречающихся как в процессе изучения профильных дисциплин, так и в дальнейшей профессиональной деятельности

Цель занятия: научиться вычислять неопределенные интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, подстановки, интегрирование по частям, использовать понятие определенного интеграла при решении задач химии, физики, биологии.

План изучения темы

1.Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла, его геометрический смысл.

2.Основные свойства неопределенного интеграла.

3.Основные формулы интегрирования.

4.Метод непосредственного интегрирования.

5.Теоретические основы метода интегрирования подстановкой.

6.Теоретические основы метода интегрирования по частям.

7.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла:

8.Общее понятие определения определённого интеграла, его геометрический смысл. Связь между неопределённым и определённым интегралами (теорема Ньютона-Лейбница).

9.Основные свойства определённых интегралов.

10.Применение определённого интеграла для решения отдельных прикладных задач (нахождения площадей плоских фигур, нахождения работы переменной силы и пути в неравномерном прямолинейном движении).

Рекомендуемая литература:

Основная литература:

1. Морозов, Ю.В. Основы высшей математики и статистики: учеб. для студентов мед. и фаpмацевт. вузов и фак./Ю.В. Морозов.-

М.:Медицина, 2004.-232 с.

2. Основы высшей математики и математической статистики: учеб. для студентов мед. и фармацевт. вузов/И.В. Павлушков, Л.В.Розовский, А.Е.Капульцевич и др.-2-е изд., испр.-М.:ГОЭТАР-Медиа, 2006.-423 с.

Дополнительная литература:

1.Лобоцкая, Н.Л. Высшая математика : учеб. для вузов/ Н.Л.Лобоцкая, Ю.В.Морозов, А.А.Дунаев. – Мн. : Высш. шк., 1987. – 319 с.

2.Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пособие для вузов/ авт.- сост. : Т.А.Новичкова; ГОУ ВПО "Курск. гос. мед. ун-т", каф. физики, информатики и математики.-Курск:КГМУ, 2009.

12. В чем состоит метод непосредственного интегрирования?

13. Запишите свойство инвариантности определенного интеграла.

14. Запишите свойство линейности определенного интеграла.

15. Запишите свойство перестановочности определенного интеграла.

16. Запишите свойство аддитивности определенного интеграла.

17. Запишите свойство о вычислении среднего значения функции на интервале для определенного интеграла.

Задания на самоподготовку:

1. Приведите примеры первообразных функций а. для функции f (x) ex ;

Краткая теория

При решении многих задач необходимо функцию, чья производная уже известна.

Функция F(x), непрерывная на промежутке (a,b), называется первообразной для функции f(x), если для всех x a,b выполняется равенство

F’ ( x ) = f ( x ).

Например, функция F(x) = x3 является первообразной для функции f(x) = 3x2, так как

F’ ( x ) = (x3)’= 3x2 = f ( x ).

Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a,b) называется совокупность всех первообразных функции f(x) на этом интервале

f (x)dx = F(x)+C,

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Свойства неопределённого интеграла

1) Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), то для всех х из этого интервала справедливо

(производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции).

2) Если f(x) непрерывна и дифференцируема на интервале (a,b), то для всех х из этого интервала справедливо

d f (x)dx f (x)dx

(дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению).

3) Если f(x) непрерывна и дифференцируема на интервале (a,b), то для всех х из этого интервала справедливо

dF(x) F(x) C

(неопределенный интеграл дифференциала первообразной равен совокупности всех первообразных).

4) Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и k – действительное число, то для всех х из этого интервала справедливо

(неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций, причем постоянный множитель выносится за знак интегрирования).

Таблица неопределённых интегралов

После этого необходимо найти первообразную интеграла переменной t

и далее возвратиться к исходной переменной x с помощью замены.

3. Метод интегрирования по частям, используя формулу

udv uv vdu.

Данная формула применяется для интегрирования произведения двух функций.

За функцию u(х) принимается

либо многочлен (в данном случае формула применяется столько раз какова степень многочлена),

либо логарифмическое выражение,

либо обратная тригонометрическая функция.

Оставшееся подынтегральное выражение обозначается за дифференциал dv.

x cos xdx

В данном случае подынтегральная функция представляет собой произведение степенной и тригонометрической функций. Следовательно, по правилу, за функцию u обозначим многочлен, в нашем случае это х. Тогда оставшееся подынтегральное выражение cosxdx обозначим за dv

x ux cos xdx cos xdx dv

В соответствии с правой частью формулы, нам не достает выражения для функции v и дифференциала du.

Далее подставим полученные выражения в левую часть формулы и найдем по таблице оставшийся интеграл.

x sin x sin xdx x sin x cos x C

Рассмотрим различные методы вычисления определённого интеграла

1. Непосредственное интегрирование, используя формулу НьютонаЛейбница

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y=x2–3x+2 и осями Ox и Oy. Решение: Уравнение x2–3x+2=0 имеет корни x1=1 и x2=2, следовательно, кривая y=x2–3x+2 пересекается с осью Ox в x=1 и x=2.

y