metoda_krys

Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

КРИСТАЛОГРАФІЯ, КРИСТАЛОХІМІЯ ТА МІНЕРАЛОГІЯ

методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу

для студентів усіх форм навчання металургійних та матеріалознавчих спеціальностей

Частини 1, 2

Затверджено Методичною радою НТУУ”КПІ”

Київ “Політехніка”

2005

Методичні вказівки до лабораторних робіт з курсу “Кристалографія, кристалохімія та мінералогія” для студентів металургійних і матеріалознавчих спеціальностей усіх форм навчання. Ч. 1, 2 / Уклад.: Бірюкович Л.О.– К.: ІВЦ “Видавництво <<Політехніка>>”, 2005. – 32 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ”КПІ”

(Протокол № від “___”_______2005 р.)

Навчальне видання

КРИСТАЛОГРАФІЯ, КРИСТАЛОХІМІЯ ТА МІНЕРАЛОГІЯ

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу

для студентів усіх форм навчання металургійних та матеріалознавчих спеціальностей

Укладач: Бірюкович Ліна Олегівна, канд.. техн. наук, доц.

Відповідальний редактор А.М.Степанчук, канд. техн. наук, проф.

Рецензент В.Г. Хижняк, докт. техн. наук, проф..

2

3

ПЕРЕДМОВА

Матеріалознавство вивчає структуру, властивості та технологію одержання матеріалів, основою яких є знання про будову речовини, вивченням якої займається кристалографія. Кристалохімія вивчає залежність властивостей від особливостей кристалічної будови. Мінералогія дає знання про природні хімічні сполуки – мінерали, які використовують при одержанні металів, неметалів або безпосередньо виробів.

Знання основних законів симетрії кристалів та їх структури, зв’язку структури з фізико-хімічними властивостями матеріалів необхідні для поглибленого вивчення циклу професійно-орієнтованих дисциплін.

Дані методичні вказівки складаються з двох частин. У першій частині наведені вказівки для виконання лабораторних робіт по методам опису кристалічних багатогранників, побудови кристалографічних проекцій, визначення індексів граней та простих форм кристалічних багатогранників.

До другої частини увійшли роботи по визначенню та опису елементарних кристалічних граток, визначення елементів симетрії кристалічних структур.

Кожна лабораторна робота супроводжується короткими теоретичними знаннями та докладними методичними вказівками, що допоможуть студентам засвоїти теоретичний матеріал основних курсів “Кристалографія, кристалохімія та мінералогія” і “Кристалографія та мінералогія”.

4

Частина I. МЕТОДИ ОПИСУ КРИСТАЛІЧНИХ БАГАТОГРАННИКІВ Лабораторна робота № 1.1

ВИЗНАЧЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ СИМЕТРІЇ КРИСТАЛІЧНИХ БАГАТОГРАННИКІВ

Мета роботи - вивчити елементи симетрії кристалічних багатогранників і навчиться визначати їх на конкретних моделях.

Визначення симетрія - початкова і найважливіша задача при роботі з будь-якими кристалами. Знання елементів симетрії дозволяє виявити специфічні кристалографічні напрямки, яким відповідають особливі, екстремальні значення фізичних властивостей кристала (напрямки максимальної міцності, максимальної теплопровідності, максимальної електричної провідності

СИМЕТРИЧНИМ БАГАТОГРАННИКОМ називають багатогранник, що може сполучитися сам із собою в результаті симетричних перетворень.

СИМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ - певні стандартні перетворення, наприклад, поворот кристалу на визначений кут навколо осі, яка проходить через кристал, що переводить кристалічний багатогранник із початкового положення в нове, яке не відрізняється від початкового внаслідок обміну місцями різних елементів огранки, наприклад, рівних граней кристалу при повороті.

СУМІЩЕННЯ ФІГУРИ - підсумок симетричного перетворення, у результаті якого рівні елементи огранки кристала обмінюються місцями так, що кінцеве положення кристалічного багатогранника стає цілком еквівалентним його початковому положенню (зовнішньо після симетричного перетворення кристалічний багатогранник ніби залишається нерухомим - сполучається сам із собою).

ПОВОРОТ - симетричне перетворення, при якому самосуміщення фігури досягається поворотом багатогранника на визначений кут навколо осі, що проходить через цей багатогранник.

ВІДОБРАЖЕННЯ У ПЛОЩИНІ - симетричне перетворення, при якому самосуміщення багатогранника досягається при дзеркальному відображенні його точок у площині, що поділяє фігуру на дві дзеркально рівні частини.

ВІДОБРАЖЕННЯ У ЦЕНТРАЛЬНІЙ ТОЧЦІ ФІГУРИ - симетричне перетворення, при якому кожні дві еквівалентні точки багатогранника, наприклад, пара вершин, які знаходяться на одній прямій і рівновіддалені від центральної точки, що належить цій прямій, обмінюються місцями одна з одною так, що кінцеве і початкове положення багатогранника не відрізняються одне від одного

Всі симетричні перетворення, характерні для кристалічних багатогранників, підрозділяються на прості і складні.

5

Прості - виконуються за одну операцію: або відображенням фігури (або її елементів) у центральній точці, або відображенням у площині, або поворотом на визначений кут.

Складні - здійснюються за дві операції: поворотам на визначений кут і відображенням у центральній точці фігури як у центрі симетрії.

ЕЛЕМЕНТ СИМЕТРІЇ - геометричний символ відповідного симетричного перетворення, наприклад, симетричному перетворенню "відображення у площині" відповідає елемент симетрії - дзеркальна площина симетрії.

ДЗЕРКАЛЬНА ПЛОЩИНА СИМЕТРІЇ (Р - умовне позначення, що , застосовується у формулах симетрії, m - відповідне міжнародне позначення), або скорочено площина симетрії - елемент симетрії, що дозволяє здійснити симетричне перетворення - відображення у площині. Площина симетрії поділяє багатогранник на дві дзеркально рівні частини, пов'язані одна з одною як предмет і його дзеркальне відображення (рис. 1.1).

Рисунок. 1.1 - Площини симетрії Р - квадрата та прямокутника (N площиною симетрії)

ЦЕНТР СИМЕТРІЇ (C або I)- елемент симетрії, що дозволяє здійснити симетричне перетворення - відображення всього багатогранника в цілому і будь-якої його частини в центральній точці фігури, що приводить фігуру до самосуміщення.

ВІСЬ СИМЕТРІЇ (Ln або n) - елемент симетрії, що дозволяє здійснити симетричне перетворення - поворот; вісь симетрії - це пряма, що проходить через кристалічний багатогранник, при повороті навколо якого на визначений кут відбувається самосуміщення фігури.

ПОРЯДОК ВІСІ СИМЕТРІЇ (n) - число самосуміщень у фігурі при її повному повороті на 360˚ навколо вісі симетрії. У кристалах не може бути осей симетрії п'ятого, сьомого і більш високих порядків: n ≠ 5, 7, 8...

ЕЛЕМЕНТАРНИЙ КУТ α - мінімальний кут повороту фігури навколо даної осі симетрії, що забезпечує самосуміщення фігури (α = 360 /n).

ІНВЕРСІЙНА ВІСЬ СИМЕТРІЇ (Ln або n) - елемент симетрії, що дозволяє здійснити складне симетричне перетворення - поворот фігури на

6

певний кут і одночасне відображення її в центрі інверсії, як у центрі симетрії.

S1 S2

L2

Рисунок 1.2 - Лінії S1S2, яка з’єднує середини паралельних протилежних ребер куба - вісь симетрії другу порядку.

ВІСЬ СИМЕТРІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ (L2 або 2) забезпечує амосуміщення фігури при повороті її навколо цієї вісі на 1800 (π).

ВІСЬ СИМЕТРІЇ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ (L3 або 3) забезпечує самосуміщення фігури при повороті її навколо цієї вісі на 1200 (2π/3).

ВІСЬ СИМЕТРІЇ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКУ (L4 або 4) забезпечує самосуміщення фігури при повороті її навколо цієї вісі на 900 (π /2).

ВІСЬ СИМЕТРІЇ ШОСТОГО ПОРЯДКУ (L6 або 6) забезпечує самосуміщення фігури при повороті її навколо вісі на 600 (π /3).

ЦЕНТР ІНВЕРСІЇ - особлива точка фігури, відображення у який разом із поворотом фігури (навколо інверсійної вісі симетрії) на елементарний кут призводить фігуру до самосуміщення.

ІНВЕРСІЙНА ВІСЬ СИМЕТРІЇ ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ (L3 або 3) або забезпечує самосуміщення фігури після повороту її навколо вісі на 1200 (2π /3) і відображенні фігури в центральній точці - у центрі інверсії, як у центрі симетрії.

7

симетрії п’ятого, сьомого і більш високих порядків обумовлено закономірною внутрішньою будовою кристалів: неможливо заповнити без просвітків атомну площину кристалика фрагментами з одних правильних п’яти- і семикутників, у той час як можливо заповнення правильними трикутниками і шестикутниками, а також квадратами.

1 - центр симетрії; 2 - дзеркальна площина симетрії; 2-6 - осі симетрії відповідно другого, третього, четвертого та шостого порядків; 7-9 - інверсійні осі симетрії відповідно третього, четвертого та шостого порядків

Рисунок 1.8 - Графічне зображення елементів симетрії

МАКСИМАЛЬНО МОЖЛИВЕ ЧИСЛО ЕЛЕМЕНТІВ СИМЕТРІЇ, що зустрічаються в кристалічному багатограннику: площин симетрії - 9; осей симетрії: другого порядку - 6; третього порядку - 4; четвертого порядку - 3; шостого порядку - 1;

інверсійних осей симетрії: третього порядку - 4; четвертого порядку - 3; шостого порядку 1.

В одному багатограннику не можуть бути присутнім одночасно всі згадані елементи симетрії.

Порядок виконання роботи

1.Спочатку треба знайти осі симетрії вищого порядку (вище другого),

апотім вже переходити до знаходження осей другого порядку та інших елементів симетрії (площин і центру симетрії). Осі симетрії вищого порядку проходять через вершини, де сходяться рівні ребра, або через центри граней із числом ребер, кратним порядку осі симетрії.

2.При визначенні осей симетрії потрібно намагатися не обертати багатогранник, тому що це може призвести до помилки під час підрахунку числа однорідних елементів симетрії.

9

3.Вісь симетрії шостого порядку може проходити або через правильну шестигранну (дванадцятигранну) вершину, або через центр гексагона – правильного шестикутника - перпендикулярно грані.

4.Вісь симетрії четвертого порядку може проходити або через правильну чотирьохгранну (восьмигранну, дванадцятигранну) вершину, або через центр грані з числом ребер, кратним чотирьом, перпендикулярно грані квадрата.

5.Вісь симетрії третього порядку (а також інверсійні осі третього і шостого порядків) проходить або через правильну (утворену трьома рівними плоскими кутами) тригранну вершину, або через центр грані у вигляді правильного трикутника, або шестикутника перпендикулярно цій грані.

6.Вісь симетрії другого порядку проходить або через середину ребра, перпендикулярно йому, або через центр грані, перпендикулярно грані, або через вершину, утворену парним числом граней із попарно рівними протилежними і двогранними кутами.

7.Площина симетрії проходить або уздовж ребра кристала, створюючи при цьому рівні кути з обома гранями, що граничать по даному ребру, або через бісектрису кута між пересічними ребрами кристалу, розділяючи її на дві дзеркально рівні частини. Площина симетрії присутня у кристалах, що мають інверсійну вісь симетрії шостого порядку, перпендикулярно останньої.

8.Центр симетрії виявляється по обернено рівнобіжним граням: такий кристал утворений рівнобіжними гранями, однаковими за розміром та формою і розвернутими одна до одної на 180˚.

9.Центр симетрії є самостійним елементом симетрії й описує закінчене симетричне утворення. На відміну від цього відображення фігури в центрі інверсії (як у центрі симетрії) не призводить фігуру до самосуміщення, оскільки цей відбиток являє собою тільки половину складного симетричного перетворення.

10.Лише в інверсійної осі третього порядку центр інверсії збігається з центром симетрії, інверсійні осі четвертого і шостого порядків мають лише центр інверсії.

Контрольні питання

1.Перелічіть відомі типи симетричних перетворень.

2.Який елементарний кут відповідає осі симетрії другого порядку?

3.Чим відрізняються інверсійні осі симетрії від простих осей симетрії?

4.Яким осям симетрії можуть відповідати кути повороту 120˚, 180˚?

10