metoda_krys

Лабораторна робота № 1.2 ВИБІР КООРДИНАТНИХ СИСТЕМ ДЛЯ ОПИСУ КРИСТАЛІЧНИХ

БАГАТОГРАННИКІВ І МЕТОДИ ІНДЕКСУВАННЯ ГРАНЕЙ КРИСТАЛІЧНИХ БАГАТОГРАННИКІВ

Мета роботи - засвоїти правила вибору координатних систем для кристалічних багатогранників і навчитися індексувати їхні грані.

Для опису будь-якого кристалічного багатогранника можна використовувати дві координатні системи: полярну, що застосовується для всіх кристалів, і спеціальну - для певної групи (сингонії) кристалів. Полярна система координат дозволяє визначати просторове положення будь-яких граней будь-якого кристала, кожна зі спеціальних координатних систем забезпечує максимальну простоту опису кристалів відповідної симетрії. У спеціальних координатних системах для координатних напрямків вибирають певні елементи симетрії самих багатогранників, наприклад, осі симетрії, тому ці системи називають природними.

Для опису кристалічних багатогранників і структур застосовується метод кристалографічного індексування, зручний для всіх кристалографічних систем координат незалежно від того, прямокутні вони або косокутні, однакові в них масштабні відрізки по осях або різні.

При індексуванні кожна грань кристалу характеризується певним набором індексів - символом грані, причому символи граней кристала, пов'язані елементами симетрії, виражаються однотипними індексами.

Методичні вказівки

У спеціальних координатних системах для координатних напрямків вибирають певні елементи симетрії самих багатогранників - осі симетрії або нормалі до площин симетрії.

Триклинна (тричі косокутна, клинео-нахил) система координат дуже зручна для опису найбільше низькосиметричних кристалів. Ця координатна система характеризується неоднаковими (і непрямими) кутами α, β, γ між осями координат OX, OY, OZ (α≠β≠γ≠90˚), а також нерівними осьовими (масштабними) одиницями (a0≠ b0≠c0).

Умоноклинній (координатній системі, моно - один) два з кутів між осями координат - прямі (α =γ =90˚≠ β; a0≠ b0≠ c0).

Уромбічній координатній системі всі кути між осями координат -

прямі (α =β =γ =90˚) при нерівності осьових одиниць (a0≠ b0≠ c0). Часто цю систему називають орторомбічною (ортогональною ромбічною).

Тетрагональна координатна система є ортогональною (α =β =γ =90˚),

дві осьові одиниці збігаються (a0=b0≠ c0).

Тригональна координатна система характеризується наявністю чотирьох координатних осей. Між трьома осями, що лежать в одній

11

площині, кут складає 120˚, а вісь Z перпендикулярна до цих трьох осей (α =β =δ =120˚ , γ =90˚). Для осьових відрізків діє співвідношення a0=b0≠c0. Ідентична система координат приймається для гексагональної сингонії.

Кубічна координатна система (найбільш широко відома під назвою декартової) є ортогональною (α=β=γ=90˚), рівноосьовою (a0=b0=c0) і застосовується для опису найбільш високосиметричних кристалів.

Рисунок 1.9 - Кристалічні системи координат та правила установи кристалів.

Параметри грані кристалу - три цілі числа (a, b, c, що виражають в осьових одиницях a0, b0, c0 одиницю відрізків ОА, ОВ, ОС, що дана грань відтиняє на координатних осях, OX, OY, OZ даної спеціальної системи координат, OA=a.a0; OB=b.b0; OC=c.c0).

Індекси грані ABC - три цілі числа h k l, що визначаються як обернені величини параметрів, грані:

Параметри грані a, b, c можуть приймати значення від - ∞ до +∞, у той час як індекси h, k, l можуть приймати будь-які від’ємні або позитивні значення, як правило, виражені малим, однозначним числом, в тому числі - нуль. Рівність нулю того або іншого індексу показує що дана грань паралельна відповідній осі координат.

Три індекси, взяті у круглі дужки (h k l), називаються символом грані ABC. Грані кристалу, пов'язані тими або іншими елементами симетрії (і тому

12

мають однакові розміри і форму), мають однотипні символи, що відрізняються лише знаками при індексах та порядком їхнього запису в символі грані, наприклад (h k l), (h k l), (h k l) і т.д.

Якщо кристал правильно встановлений щодо осей координат (спеціальної координатної системи), то найбільш розвинута з його похилих граней А, B, С (відносно всіх трьох осей координат), відтинає на кожній із трьох осей координат ОХ, ОY, OZ однакове число відповідних осьових одиниць:

a=b=c OA/a0=OB/b0=OC/c0.

Така грань має символ (111) і називається одиничною.

Символ h k l будь-якої грані кристала A1B1C1 можна знайти по відрізках ОА1, ОВ1, ОС1, що відтинаються нею на координатних напрямках ОX, ОY, OZ, знаючи відповідні відрізки OA, OB, ОС, що відтинаються на осях координат одиничною гранню того ж кристалу АВС:

Абсолютні значення осьових одиниць визначають за даними рентгеноструктурного аналізу.

Порядок виконання роботи

1.Визначити елементи симетрії кристалічного багатогранника.

2.Визначити сингонію кристалічного багатогранника.

3.Вибрати спеціальну координатну систему для відповідної сингонії. Рекомендації щодо вибору напрямків у кристалічних багатогранниках для координатних осей у різноманітних сингоніях:

кубічна - три взаємно перпендикулярних осі 3L4 або 3L4, а у випадку їх відсутності - 3L2;

гексагональна і тригональна - за вісь OZ приймають L6 або L6 (гексагональна сингонія), L3 або L3 (тригональна), за осі OX, OY, OU - горизонтальні осі L2, а при відсутності їх - нормалі до вертикальних площин симетрії, при відсутності останніх - три горизонтальних ребра, розташованих під кутом 120˚;

тетрагональна - за вісь ОZ, приймають L4 або L4, за осі ОХ і ОY - взаємно перпендикулярні горизонтальні осі L2, а при їх відсутності - нормалі до вертикальних взаємно перпендикулярних площин симетрії, при відсутності останніх - два горизонтальних взаємно перпендикулярних ребра;

ромбічна - три взаємно перпендикулярні осі 3L2, при їх відсутності єдина вісь L2 приймається за OZ, а нормалі до двох взаємно перпендикулярних площин симетрії - за осі ОХ і OY;

моноклинна - за вісь ОY приймають L2 або нормаль до площини симетрії, за осі ОX і ОZ - два ребра, розташовані перпендикулярно ОY;

13

триклинна - три некомпланарні ребра.

4.Розбити всі наявні грані кристалічного багатогранника на групи, у які входять грані однакової форми й однакового розміру.

5.Визначити символи граней кристалічного багатогранника, записуючи їх в окремі групи відповідно до п. 4. Для спрощення запису відрізки, що відтинаються на координатних осях, приймаються рівними одиниці.

Приклад. На рис.1.10 зображено кристалічний багатогранник у вигляді тетрагональної призми.

Елементи симетрії цього кристалічного багатогранника L44L25PC.

L4

L2

Рисунок 1.10 Установка кристалів тетрагональної сингонії

Вибираємо спеціальну координатну систему тетрагональної сингонії (див. рис.1.10). Вісь ОZ - вісь L4; осі OX і OY - дві взаємно перпендикулярні координатні осі L2.

Грані кристалічного багатогранника складають дві групи. У першу входять чотири вертикальні грані, а в другу - дві горизонтальні.

Записуємо символи граней кристала по групах:

(010)(001)

(100) (001) (010)

(100)

При записі символу грані на першому місці стоїть індекс по осі ОХ, на другому - по осі ОY, на третьому - по осі OZ. Для гексагональної і тригональної сингонії символ грані складається з чотирьох індексів (на третьому місці стоїть індекс по осі OU, а на четвертому - по осі OZ).

Контрольні питання

1.Скільки типів координатних систем застосовується в кристалографії?

2.Особливості моноклінної координатної системи.

3.Що таке параметри площини a, b, c?

4.Що таке індекси площини h, k, l?

14

Лабораторна робота № 1.3 МЕТОДИ ПОБУДОВИ ПРОЕКЦІЙ КРИСТАЛІЧНИХ

БАГАТОГРАННИКІВ І ЇХ ЕЛЕМЕНТІВ СИМЕТРІЇ Мета роботи - вивчити методи побудови проекцій кристалічних

багатогранників за допомогою стереографічної і гномостереографічної проекцій.

У кристалографії часто користуються проекціями кристалічних багатогранників і їх елементів симетрії. Це пояснюється не тільки важкістю зображення складної огранки кристалів і взаємного розташування елементів симетрії, але і непридатністю такого зображення для кристалографічних вимірів.

Принцип побудови стереографічної проекції показаний на рис. 1.11 За площину стереографічної проекції приймається екваторіальна

площина, на яку сфера проектується у вигляді кола проекції. В одному із полюсів цієї сфери розташовується точка зору ("головна точка") S.

В кристалографії стереографічні проекції застосовують для зображення елементів симетрії кристалічних багатогранників.

СТЕРЕОГРАФІЧНА ПРОЕКЦІЯ ОСІ СИМЕТРІЇ зображується двома діаметрально протилежними точками. Точки накладаються одна на одну в центрі кола проекції, якщо вісь симетрії вертикальна. Умовне позначення осей симетрії наведено в таблиці 1.1.

СТЕРЕОГРАФІЧНА ПРОЕКЦІЯ ДЗЕРКАЛЬНОЇ ПЛОЩИНИ СИМЕТРІЇ зображується подвійними дугами: дуга, що відповідає сліду від перетинання площини симетрії з верхньою півсферою сферичної проекції, зображується двома суцільними лініями, а інша дуга, що відповідає сліду від перетинання площини симетрії з нижньою півсферою - двома штриховими.

15

Таблиця 1.1 - Умовні позначення елементів симетрії і граней кристалічних багатогранників на стереографічних і гномостереогра-фічних проекціях

16

Стереографічна проекція вертикальної площини симетрії має вигляд діаметра кола проекції, зображеного суцільною подвійною лінією.

Стереографічна проекція горизонтальної площини симетрії має вигляд кола, що співпадає з границею кола проекції, і зображується суцільною подвійною лінією (двома концентричними колами).

Для зображення граней багатогранника використовують гномостереографічні проекції (від грецького слова гномон - нормаль). При цьому зображається не багатогранник, а його полярний комплекс, тобто не грані кристала, а нормалі до грані.

17

Площиною гномостереографічної проекції служить та ж екваторіальна площина сфери, що і для стереографічної проекції.

Щоб одержати гномостервографічну проекцію площини, проводять нормаль від цієї площини до перетину зі сферою проекції і далі лінію, що з'єднує отриману полюсну точку з точкою зору S (см рис.1.11).

Щоб побудувати, гномостереографічні проекції нормалей, що перетинають шар в нижній півсфері, переносять точку зору у північний полюс сфери N (рис.1.12). Проекції граней, розташованих вище площини проекції, позначають кружками, а нижніх - хрестиками. Іноді верхню грань зображують порожнім кружком, нижню - начорненим.

Горизонтальної грані проектуються в центрі кола проекції (верхня - кружком, нижня - хрестиком), вертикальної грані - на самому колі проекції, а похилі грані - усередині його. Чим більше кут нахилу похилої грані, тим далі від центру розташовується точка, що є її проекцією.

Порядок виконання роботи

1.Визначити елементи симетрії кристалічного багатогранника.

2.Вибрати спеціальну координатну систему для кристалічного багатогранника і встановити його.

3. Зобразити стереографічну і гномостереографічну проекцію кристалічного багатогранника.

Рисунок 1.13 - Стереографічна та гномостереографічна проекція тетрагональної діпіраміди

Приклад. На рис.1.13 зображені стереографічна і гномостереографічна проекції тетрагональної діпіраміди.

18

Елементи симетрії кристала -L44L25PC. Вибираємо за вісь OZ - вісь L4, за осі ОХ і OY - координатні осі L2.

Контрольні питання

1.Основне призначення стереографічних проекцій.

2.Чим відрізняються стереографічна і гномостереографічна проекції грані кристала?

3.Принцип побудови стереографічної проекції.

4.Де на гномостереографічній проекції розташовуються вертикальні грані кристала?

5.Як відрізнити по гномостереографічні проекції верхню і нижню грані кристала?

Лабораторна робота № 1.4 ВИЗНАЧЕННЯ КЛАСІВ ИМЕТРІЇ

Мета роботи - вивчити принципи визначення класів симетрії. Площини симетрії, осі симетрії прості та інверсійні, центр

симетрії знаходяться у кристалах у різних сполученнях. Число можливих сполучень елементів симетрії в кристалічних багатогранниках обмежено через відсутність у кристалах осей симетрії п'ятого, сьомого і більш високих порядків і певного числа способів взаємного розташування елементів симетрії. Якщо у багатограннику є єдиний напрямок, що не повторюється, то такий напрямок називається особливим або одиничним.

Відповідно до числа одиничних напрямків та симетрії всі кристали поділяються на три категорії: вищу, середню та нижчу.

До вищої категорії відносять кристали, що не мають одиничних напрямків, а осей порядків вище другого мають декілька.

Середню категорію складають кристали, що мають один одиничний напрямок та декілька осей другого порядку.

До нижчої категорії відносять кристали, що мають декілька одиничних напрямків і не мають осей вище другого порядку.

Три категорії, в свою чергу, поділяються на сім сингоній. У сингонію об’єднують кристали, що мають однакову симетрію елементарних комірок та однакову систему координат.

До вищої категорії належить лише одна сингонія – кубічна; до середньої три сингонії – тригональна, тетрагональна та гексагональна; до нижчої також три – ромбічна, моноклинна та триклинна.

19

Сім сингоній у свою чергу поділяються на 32 класи. КЛАСОМ СИМЕТРІЇ називається повна сукупність (комбінація) елементів симетрії кристалічного багатогранника.

Російський кристалограф А.В.Гадолін теоретичним шляхом вивів всі 32 класи симетрії кристалічних багатогранників.

Для виведення класу симетрії зазвичай беруть два або три елементи симетрії (елементи симетрії, що породжують), і знаходять потім (наприклад, розмножуючи пробну грань і проекції) і інші (породжені) елементи симетрії.

Таблиця 1.2 - Класи симетрії кристалічних багатогранників

Повну сукупність елементів симетрії (клас) можна записувати не тільки за допомогою формули елементів симетрії. Широко застосовується МІЖНАРОДНИЙ СИМВОЛ КЛАСУ СИМЕТРІЇ. На відміну від формули симетрії міжнародний символ складається із символів лише деяких характерних елементів симетрії, що входять у формулу симетрії. Повна

20