1.6Силовi лiнi¨

Векторне електричне поле можна характеризувати за допомогою силових лiнiй.

Силовими лiнiями називають лiнi¨ в просторi, дотичнi до яких спiвпадають з вектором напруженостi електричного поля. Беремо систему координат (рис 1.12)

Беремо точку (x0; y0; z0) ) Ex(x0; y0; z0); Ey(x0; y0; z0); Ez(x0; y0; z0):

x1 = x0 + dx

y1 = y0 + Ey(x0;y0;z0) dx

Ex(x0;y0;z0)

z1 = z0 + Ez(x0;y0;z0) dx

Ex(x0;y0;z0)

Знайшли 1 точку. Знаходимо iншу точки аналогiчно x2 = x1 + dx

y2 = y1 + Ey(x1;y1;z1) dx

Ex(x1;y1;z1)

z2 = z1 + Ez(x1;y1;z1) dx

Ex(x1;y1;z1)

2Робота електричного поля точкового заряду

Розгянемо точковий додатнiй заряд q. q - нерухомий (положення фiксоване). Беремо iнший q0 - рухомий (рис 1.13) Зрозумiло, що при даному русi викону¹ться робота

~ 0 ~ F = q E

~

Очевидно dA = F d~r

d~r- радiус вектор перемiщення заряду q0

Очевидно, що d~r можемо розкласти на 2 складовi

d~r = d~rk + d~r?

~

d~rk F

d~rk ~r

Робота не залежить вiд форми траекторi¨ а визнача¹ться лише початковим та кiнцевим положенням зарядiв. Отже, електичне поле точкового заряду ¹ потенцiальним.

Очевидно, що величина потенцiально¨ енергi¨ вза¹модi¨ двох точкових зарядiв ма¹ вигляд W = q0q

4 "0r

5

2.1Диференцiйна умова потенцiального електричного поля

Ранiше з'ясовано, що A = q0q ( 1 1 ) не залежить вiд форми траекторi¨.

4 "0 r1 r2

Якщо поле потенцiальне, то робота на замкненiй траекторi¨ дорiвню¹ 0.

~

A = F d~r = 0

~ 0 ~ F = q E

Для електричного поля циркуляцiя вектора ~

E äîðiâíþ¹ 0

Умова потенцiальностi електричного поля в iнтегральному виглядi ~

Ed~r = 0

~

Ed~r = Exdx + Eydy + Ezdz

Незалежнiсть роботи вiд форми траекторi¨ та рiвнiсть нулю циркуляцi¨ означа¹, що ~

Ed~r = Exdx + Eydy + Ezdz ¹ повним

диференцiалом.

тодi для повного диференцiалу проекцiя вектора напруженостi електричного поля ма¹ задовiльняти умовам

@E@xy @E@yx = 0

@E@zx @E@xz = 0

@E@yz @E@zy = 0

Очевидно, що вирази злiва ¹ проекцiями ротора вiд вектора напруженостi електричного поля.

~

Таким чином диференцiальна умова потенцiальностi електричного поля набува¹ вигляду: rotE = 0

2.2Потенцiал електростатичного поля

В попередньому пунктi ми визначили, що ~

Ed~r = Exdx + Eydy + Ezdz ¹ повним диференцiалом. Його вводять ще й так

Прирiвнюючи вирази, отрима¹мо:

Ex = @'@x ; Ey = @'@y ; Ez = @'@z

Очевидно, що частиннi похiднi вiд повного диференцiалу ¹ градi¹нтом вiд нього

~r

~ '(~r) = '(~r0) Ed~r

~r0

Потенцiал - це скалярна функцiя поля, градi¹нт яко¨, взятий зi знаком мiнус, ¹ напруженiсть електричного поля З визначення

Îòæå, A = q('1 '2)

'1 '2 = '

1 o -! o 2

'1 '2 = U

U- напруга

Також роботу можна записати A = W1 W2

Òîäi W = qq0 = q'

4 0r

З рiвностi A = q('1 '2) виплива¹, що потенцiал точкового заряду ' = 4 q"00r

6

2.3Еквiпотенцiальнi поверхнi

Еквiпотенцiальними поверхнями називають iзопотенцiальнi поверхнi з постiйним потенцiалом, тобто '(~r) = const (ðèñ 2.01)

~ ?

E iзоповерхнi (форму поверхнi часто задають нормаллю ~r)

Z

Y

O

3Потiк вектора напруженостi електричного поля

Розглянемо довiльне електричне поле. Це означа¹, що нам в кожнiй точцi простору вiдомий вектор ~ ! ~

E(~r), ~r E(~r) (ðèñ 2.02)

Вiзьмемо довiльну поверхню S. В кожнiй точцi поверхнi ма¹мо вектор Å~ . Вiзьмемо дiлянку повехнi. Площа дiлянки S. ÏðèS ! 0 , S = ds. Для означення напрямленостi введемо вектор ~n ? ds. Введемо вектор елементарно¨ поверхнi

j ~j

dS = dS

Елементарний потiк вектора напруженостi електричного поля через елементарну поверхню dS визнача¹ться у виглядi скалярного добутку

~ ~ ~

d E = EdS = E~ndS = Ecos dS

Велечина потоку вектора напруженостi електричного поля визнача¹ться iнтегралом

~ ~ ~

E = d E = EdS = E~ndS

S S s

3.1Теорема Гауса для вектора напруженостi електричного поля

Розглянемо спочатку точковий заряд q, що створю¹ електричне поле навколо себе

~r- початок на зарядi q (ðèñ 1.16)

Оточимо заряд q сферичною поверхнею радiуса R так, що т.О спiвпада¹ з q. т:O ! q

Ìè ìà¹ìî, ùî e~r(Одиничний вектор) напрямлений як на рис. 1.16

В цьому випадку радiус сфери спiвпада¹ з радiус-вектором на ¨¨ поверхнi. Тодi елементарний потiк через елементарну дiлянку поверхнi:

Розраху¹мо повний потiк через замкнену поверхню

- iнтеграл по замкненiй поверхнi

S

~ 1 q

E = E~ndS = 4 "0 r2 dS

SS

Óвипадку, коли ми ма¹мо сферу при розрахунку останнього iнтегралу для зазначено¨ сфери R2 ¹ константа (можна винести за знак iнтегралу)

7

3.2Теорема Гауса для вектора напруженостi електричного поля в дифиренцiйнiй3Потiк вектораформi напруженостi електричного поля

Ми розглянули простий випадок. А тепер знайдемо потiк в загальному випадку, коли поверхня, що оточу¹ заряд ¹ довiльною (рис 1.17)

~

dS?- проекцiя dS на радiус вектор

dSr2? = d

d - велечина елементарного тiлесного кута

E = 4 q"0 d = 4 q"0 4 s

Для довiльного точкового заряду E = "q0

Ми оточили довiльний точковий заряд довiльною замкненою поверхнею, i отримали, що для довiльного точкового заряду оточеною довiльною поверхнею E = "q0

Якщо заряд знаходися всерединi, то потiк електричного поля "q0 . Якщо заряд знаходиться за межами поверхнi, то потiк äîðiâíþ¹ íóëþ. (ðèñ 1.18)

Обидвi цi поверхнi мають один i той самий тiлесний кут. В результатi, оскiльки тiлесний кут однаковий, а знаки iнтегралiв рiзнi, ця сума буде дорiнювати нулю.

Розглянемо довiльний точковий заряд або систему зарядiв. Результуюча напруженiсть електричного поля дорiню¹ сумi напруженостей. (рис 1.19)

Там сто¨ть iнша сума, тому що ми ма¹мо врахувати тiльки тi заряди, якi знаходяться всерединi поверхнi.

Ñóìó P

qj назвемо qoxoïë- заряд, який знаходится всерединi поверхнi.

j

3.2Теорема Гауса для вектора напруженостi електричного поля в дифиренцiйнiй формi

За теоремою Гауса ма¹мо E = qoxoïë"0 .

У разi неперервного розподiлу заряду qoxoïë = dV , де V- об'¹м охоплений поверхнею, - розподiл заряду.

V

1 ~ ~

E = "0 dV = EdS (ðèñ 1.20)

VS

Наведемо формулювання математично¨ теореми Остроградського-Гауса, у вiдповiдностi з якою потiк вектора ~

A через по-

верхню довiльного характеру ~ ~ AdS = divAdV .

SV

~ ~ ~ ~ 1 EdS = divEdV = "0 dV

S V V

~

Обидва iнтеграли розраховуються по одному i тому ж об¹му який охоплений довiльною поверхнею. divE = "0

Отриманий вираз ¹ Теоремою Гауса в диеренцiальнiй формi.

Його можна також переписати наступним чином: @E@xx + @E@yy + @E@zz = "0 (локальний запис)

8