all
.pdf
4
18Спектр.функцХевисайдапрямоугоимпульсаного |
|
|
|
|
|
σ( t)= |
σ( t) |
||||
Формально |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
S(t)= σ( t)e-at= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πν
S(ν)=
=
σ( t) σ(
)
σ(
)=
σ(
)=
σ(
)=-j
φ( 
)=arctg
4
4
4
19.Спектр δ - функції.
Получапредпереходомльнымиз прямоугольнойфункции.
|
Предложим |
тогда |
|
|
S’(t)>rect |
|
|
|
Lim τ>0;U0>∞ |
S’(t)=δ |
(1) |
|
τ·U0=1 |
|
|
|
Несмотряначтонепосредственно |
|
|
|
преобразованиеФурьеотδ |
-функци |
|
|
получитьневозможно,таккакδ |
-функци |
|
|
являетсясингулярнойобобщенной( )ее |
|
|
|
спектрможнонайтипредельнымспектраз |
|
|
|
прямоугоимпу,рассуждаяльсаного |
|
|
|
следующим: |
еслиогласнопри(1) |
|
указанныхустремленияхτ |
U0 мыпереходимотпрямоугольникаδ |
-функции,то |
|
сохраняяэтиусловиямыможемзаписать: |
(2) |
|
|
|
|
|
|
Подставляя S’(ν)в(2)получим: независимочастоты.
Спектрδ -функциислагаетсяизбескбольшегонечно числагармоникнепреняющейсярывночастотой,
спектральнаяплотнкотдоюбыхстьрыхгармооди. никаова δ-функциюпрактическиневозможновоспроизвести,таккаклюбаяэлектронная
системаобладаетк онечнпол,играярольсойфильтранизкихчас.Ввидуто, тго чтовысокиечастотыприэтомзарезаются« »спектрбытьбесконечноает протяженнымивтакомслучаеδ -функциинеможетбытьнивоспроизведенани пропущена.
Таккак |
,тогда |
|
|
|
(3) |
(3)являетсяинтегральнымопределениемδ |
-функцииГлавное( :предобязательнолы |
|
от – ∞до∞+) |
|
|
4
20.Спектргаусоподібн огоімпульсу.
Гаусовыйколоколообразный( импульс) .
;
Спектрколоколообразногоимпульса.
,
Ф(…..) Ert(…..)
=
4
21Інтегралкореляції. тайогоспектр
Φ(x0 ) = ∫τ (x−ʹ)E(xʹ x0 )dxʹ- интегкорралеяции y = y1
Существенноеотличиеинтегралакорреляцииот све: в1)алатки интегралекорреляциисдвигаемаяфункцотличиеинтегсвенералатки оборачиотносивераетнаправлеикальнсяельно; интег2) орнроияеалеяции коммутативен.
|
|
|
|
xʹ − x0 |
= z |
|
|
||
Φ(x ) = |
∫ |
τ (x−ʹ)E(x=ʹ |
x )=dx + |
|
xʹ = z x |
|
∫ |
τ (z x )E(z)dz |
|
|
+ |
||||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxʹ = dz |
|
|
|
||
+∞
CS ,h (t) = ∫ S (tʹ)h(t − tʹ)dtʹ
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞+∞+∞+∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
CS ,h (δ ) = ∫ Cs,h (t)e− j 2Πδt dt = ∫ ∫ S (tʹ)h(t tʹ)e−− j 2Πδt dtʹ dt |
||||||||
|
−∞ |
|
|
−∞ −∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
(t ) |
|
|
|
+∞+∞+∞ |
|
|
|
t − tʹ = z |
|
|
|
|
∫ h(t |
− tʹ)e |
− j 2Πδt |
|
|
|
= ∫ h(z)e |
− j 2Πδ ( z+ tʹ)− Π |
j 2 |
|
dt = t = z + tʹ |
dz = e |
|
|||||
−∞ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
dt = dz |
|
|
|
|
|
+∞+∞ |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
h(δ ) ∫ S (tʹ)e− j 2Πδ |
|||
CS ,h (δ ) = ∫ S (tʹ) ∫ |
h(t − tʹ)e− j 2 |
Πδt dt dt=ʹ |
||||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
CS ,h (δ ) = S (δ )h(δ )
+∞ |
|
∫ S (t=ʹ) ∫ |
|
−∞ |
−∞ |
(tʹ) |
(t ) |
δtʹ ∫−h(Πz)e j 2
h(t tʹ)e− j 2Πδt dt− dtʹ;
δ z−dzΠ= e j 2 δtʹ h(δ )
−∞
tʹdtʹ = h(δ )S (δ )
Спектринтеграла
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 (t) ← → S1 (δ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 (t) = ∫ S1 (δ )e− j 2Πδt dδ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
+∞+∞+∞ |
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
t |
e− j 2Πδt dt dδ = |
|
|
|
|
|
1 |
|
e− j 2Πδt |
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
S (t)dt = |
|
|
S (δ )e− j 2Πδt dδ |
|
|
S (δ ) |
|
|
|
S (δ ) |
|
|
dδ = |
|||||||||||||||||
∫ ∫ |
|
∫ |
∫ |
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
− j2Πδ |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 −∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
0 |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
0 |
|
||||||||
+∞+∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− j 2Πδt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− j 2Πδt |
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
|
S1 (δ ) (1− e |
|
)dδ = ∫ |
|
|
|
S1 (−δ )dδ |
∫ |
|
|
|
|
S1 (δ ) |
e |
|
dδ |
|
|||||||||
|
j2Πδ |
|
|
j2Πδ |
j2Πδ |
|
|
|||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S (δ ) = S1 (δ ) j2Πδ
4
22. ЗВ'ЯЗОК МІЖ СПЕКТРОМ ІМПУЛЬСУ І ЙОГО ПЕРІОДИЧНОЮ
ПОСЛІДОВНІСТЬЮ |
|
|
Установимсвязьмеждуспектрамиодиночногоимпульса |
|
ипериодической |
последоватетакихжеимпу.Напередльясодноспектр: встиночного |
|
|
импульсае тьпексплошной,ткакримпульсесть |
непериодическаяфункц.Если |
|
жеимпкакугоднольсформый |
периодически,вторятьмыполучим |
|
периодическуюфункцию,обладающуюдискретнымгармоническимспектром. |
|
|
Пустьспектродиночногоимпульсаесть |
|
|
|
|
(1) |
Если такойимпульс |
повторятьчерезпромвременижутки |
T,тополучится |
периодическаяфункц одом |
T (рис. Спектр1)этойфункции. можетбыть |
|
полученформуле |
|
|
|
|
(2) |
Сопоставляя(1)и(2),мывид |
им,чтозначениянепрерывнойфункции |
S0 совпадаю |
созначениями Ck (сточндопостмножителяьюоянного1/ |
T)приопределенных |
|
значенияхаргу, менпритано |
|
|
где ω1 = 2π/T — круговаячастопов.таорения
|
Рис. 1. |
|
Такимобраз,совомкупность |
т о ч е к |
T C k ,определяющихдискретныйспектр |
перипоследовательностидическойимпульсов,лежитна |
|
к р и в о й S 0 ,определяющей |
спектродиночногоимпульса. |
|
|
Можноещесказать,чтолинейчатыйспектрперипоследовательностидической |
|
|
импульсоввписываетсякрисплошногоуюспе |
|
ктраодиночногоимпульса. |
НаэтомпримерелегкопроследипредельныйпереходрядаткинтегФу: ралуье еслипериодповтовозрастает,.. слиимнияповтоульсывсерирежеяются,
4
точки,изображающиелинейчатыйспектр,оставаясьнакривой |
S0,ра сполнагаются |
нейвсет ,покаснеобразуютенепрерывнуюпоследовательность,..кривую, |
|
совпадающую S0. |
|
4
23.Порівняльнеспівставкорейзгорткидвохяціїеннясигналів.
Φ(x0 ) = ∫τ (x−ʹ)E(xʹ x0 )dxʹ- интеграл корреляции y = y1
Существенноеотличиеинтегралакорреляцииот све: в1)алатки интегралекорреляциисдвигаемаяфункцотличиеинтегсвенералатки оборачиваетсяотносивер направлеикальнельно; интег2) орнроияеалеяции коммутативен.
|
|
|
|
xʹ − x0 |
= z |
|
|
||
Φ(x ) = |
∫ |
τ (x−ʹ)E(x=ʹ |
x )=dx + |
|
xʹ = z x |
|
∫ |
τ (z x )E(z)dz |
|
|
+ |
||||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxʹ = dz |
|
|
|
||
+∞
CS ,h (t) = ∫ S (tʹ)h(t − tʹ)dtʹ
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞+∞+∞+∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
CS ,h (δ ) = ∫ Cs,h (t)e− j 2Πδt dt = ∫ ∫ S (tʹ)h(t tʹ)e−− j 2Πδt dtʹ dt |
||||||||
|
−∞ |
|
|
−∞ −∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
(t ) |
|
|
|
+∞+∞+∞ |
|
|
|
t − tʹ = z |
|
|
|
|
∫ h(t |
− tʹ)e |
− j 2Πδt |
|
|
|
= ∫ h(z)e |
− j 2Πδ ( z+ tʹ)− Π |
j 2 |
|
dt = t = z + tʹ |
dz = e |
|
|||||
−∞ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
dt = dz |
|
|
|
|
|
+∞+∞ |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
h(δ ) ∫ S (tʹ)e− j 2Πδ |
|||
CS ,h (δ ) = ∫ S (tʹ) ∫ |
h(t − tʹ)e− j 2 |
Πδt dt dt=ʹ |
||||||
|
−∞ |
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
CS ,h (δ ) = S (δ )h(δ )
+∞ |
|
∫ S (t=ʹ) ∫ |
|
−∞ |
−∞ |
(tʹ) |
(t ) |
δtʹ ∫−h(Πz)e j 2
h(t tʹ)e− j 2Πδt dt− dtʹ;
δ z−dzΠ= e j 2 δtʹ h(δ )
−∞
tʹdtʹ = h(δ )S (δ )
Свертка:
∫ S1(t') S2 (t −t')dx'= S1(t) S2 (t) = CS1,S2 (t)
F
S1(x) <=> S1(ν)
|
F |
|
S2 (x) <=> S2 (ν) |
Интегсверткиявляетсяфункциейалсдвига. |
CS1,S2 (t) = ∫ S1(t −t')S2 (t')dt' |
|
|
Интегралобладаетсвойскоммутативом |
вности |
CS1,δ (t) = ∫ S1(t')δ (t −t')dt'= S1(t) |
|
CS ,h (t) = ∫ S(t')h(t −t')dt' |
Свертка |
∫ S (t −t')h(t')dt' |
|
5
Φ = ∫∫ E(x, y)dxdy
G
Существенноеотличиеинтеграла свертинтегралаот корреляции: в1) интегралекорреляциисдвигаемая функциянеобо рачивается относивертикальногоельно направле. интег2)корнрияеалеяции коммутативен.
CS ,h (0) = ∫ S(t')h(−t')dt'
CS ,h (t) = ∫ S(t')h(t −t')dt'