РОЗРАХУНКОВА

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней тіла, яке обмежене: координатними площи- нами; площиною, що паралельна осі Oy і відтинає на осях Ox і Oz рівні відрізки довжиною 2; площиною, що проходить через точки (−2;5;3),(0;0;3),(2;5;−3).

Зобразити тіло графічно.

12. Задано точку M0(0;3;0) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 215,

7

ексцентриситетε = 8 ;

б) гіперболи, якщо рівняння її асимптот

5

y = ±6x і дійсна піввісьa = 6;

в) параболи Π, якщо її вісь симетрії

Oy, A(−2;32) Π.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

5x2 + 4xy + 8y2 − 32x −56y + 80 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 − 4y2 −z2 + 4 = 0.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z= 9 −y2,3x + 4y = 12, x = 0,y = 0,z = 0(y ≥ 0).

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (2x3;x1 + x2 −x3;x1 + 2)

Bx = (x1;x2 + 3x3;0).

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

5x12 + 4x22 + 2x32 + 6x1x2 + 2x1x3 −2x2x3.

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7. Дано вектори p = (1;4;1), q = (−3;2;0),r = (1;−1;2). Довести, що вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−9;−8;−3) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Oz.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію ï ð (−3a + 2b).

b

9. Дано точки A(−4;2),B(−2;−2),C(6;8).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней тіла, яке обмежене: координатними площи- нами; площиною, що проходить через точки (0;0;1),(−2;3;1),(4;0;−1). пло-

щиною, що проходить через точки (2;0;0) і (0;1;0) паралельно осі Oz. Зо-

бразити тіло графічно.

12. Задано точку M0(−1;1;0) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

3x2 −2xy + 3y2 − 4x − 4y −12 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

4x2 −y2 −z2 − 4 = 0.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z= x2 +y2,y = x2,y = 1,z = 0.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (x2 − 3x3;x1 + 2x3;x1 −x2 −x3)

Bx = (0;x1 + 5;x3).

матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−5x12 −5x22 −x32 + 2x1x2 + 4x2x3.

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (15;−20;−1) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oz.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію ï ð (2a −b).

b

9. Дано точки A(−3;0),B(1;4),C(3;−1).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней тіла, яке обмежене: координатними площи- нами; площиною, що проходить через точку (0;0;−3) та лінію перетину пло- щин 2x + 3y −6 = 0 і Oxy; площи- ною, що проходить через точку (0;0;−2) паралельно площині Oxy;

площиною, що проходить через точку (1;0;−2) перпендикулярно до осі Ox.

Зобразити тіло графічно.

12. Задано точку M0(4;0;−1) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 7 і один з фокусів F(13;0) ;

б) гіперболи, якщо уявна піввісь b = 4 і один з фокусів F(−11;0);

в) параболи, якщо її директриса

D : x = 13.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

x2 −6xy +y2 − 4x − 4y +12 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 +y2 + 2 = z.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

az = a2 −x2 −y2,z = a −x −y,

x= 0,y = 0,z = 0.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (x1 −2x2;x2 + 3x3;x1 −x2)

бну їй діагональ- ну матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−x22 + 3x32 − 8x1x2 + 4x1x3.

Варіант 27

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до трикутного вигляду; б) методом розкла- ду за елементами деякого рядка або стовпця.

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

M2(4;−1;2),M3(3;0;1),M4(−4;3;5). До-

вести, що вони не лежать в одній пло- щині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oz.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

b

9. Дано точки A(3;−2),B(1;5),C(−4;3).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней тіла, яке обмежене: координатними площи- нами; площиною, що проходить через точки (0;0;2),(−1;2;3),(1;1;1); площи-

площини Oyz. Зобразити тіло графічно.

12. Задано точку M0(1;4;0) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса Ε, якщо A(−3;0),

B(1;340) Ε;

б) гіперболиΓ, якщо рівняння її асимп-

тот y = ±23x,A(−6;22) Γ;

вести, що вони не лежать в одній пло- щині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

q = (3;−1;2),r = (−1;0;1). Довести, що вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (8;−7;−13) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oz.

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію ï ð (−a +b).

b

9. Дано точки A(5;8),B(−2;9),C(−4;5).

ВABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней тіла, яке обмежене: координатними площи- нами; площиною, що проходить через

(0;0;−3); площиною, що проходить че-

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса Ε, якщо ексцентриситет

ε = 56, A(0;−11) Ε;

б) гіперболи Γ, якщо A(323 ;1),

B(8;0) Γ;

в) параболи, якщо її директриса

D : y = −3.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

2x2 +12xy + 2y2 + 60x + 20y + 51 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 +y2 + z2 = 2x + 2y −1.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

x2 +y2 = 2x,x2 +y2 = 2y,

z= 0,z = x + 2y.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

утвореного обертанням кривої

z = 0

Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (x2 −x3;3;x2 + x3)

Bx = (x1;0;x3).

матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−x12 −2x22 − 3x32 + x1x3 + 4x2x3.

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(−3;−5;6),

M2(2;1;−4),M3(0;−3;−1),M4(−5;2;−8).

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (0;−8;9) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oz.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію ï ð (a +b).

b

9. Дано точки A(−3;−4),B(−4;3),C(2;2).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти: