РОЗРАХУНКОВА

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней призми, яка обмежена: площиною Oxz; площи- ною, що проходить через точку (0;3;0)

паралельно площині Oxz; площиною, що проходить через точку (1;0;1) і містить вісь Oy; площиною, що проходить через точки (0;1;0),(0;2;0),(1;0;2); площиною,

що проходить через точку (−1;0;2) пер-

пендикулярно до осі Oz. Зобразити призму графічно.

12. Задано точку M0(0;−2;−8) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 7 і один з фокусівF(5;0);

б) гіперболи, якщо дійсна піввісь a = 11

12

та ексцентриситет ε = 11;

в) параболи, якщо її директриса

D : x = 10.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

4xy − 3y2 − 4x +10y −6 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

2x2 + 7y2 + 4z2 −28 = 0.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z = 4 −y2,z = y2 + 2,x = −1,x = 2.

17. Скласти рівняння поверхні тіла,

рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (−x3;4x1 + x2 −x3;x2 + 2x3)

Bx = (5;x1 + x2;−3x2 + 2x3).

бну їй діагональну матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−2x12 − 4x22 −6x32 + 4x1x2 + 2x1x3.

Варіант 15

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до три- кутного вигляду; б) методом розкладу

за елементами деяко- го рядка або стовпця.

2. Довести, що матриця A задовольняє

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами 2x − 4y + z = 10, Крамера;

б) методом Гаусса. 3x −y + 4z = 20,

x −2y −2z = −5.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(1;1;−1),

M2(2;3;1),M3(3;2;1),M4(5;9;−8). Дове-

сти, що вони не лежать в одній площи- ні. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (3;3;−1) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Oy.

8. Дано вектори a = 2p + 3q і b = p −2q, p = 2, q = 3,(p,q) = π4.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(0;5),B(6;2),C(−3;−4).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней приз- ми, яка обмежена: площинами Oxz та Oxy; площиною, що проходить через точку (1;2;3) паралельно площині Oyz; площиною, що проходить через лінії перетину площин x = 3 і y = 0 та x = 3 і z = 0; площиною, що прохо- дить через точки (0;−3;4) та (1;3;0) па- ралельно осі Ox.

Зобразити призму графічно.

12. Задано точку M0(2;−1;0) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса Ε, якщо точки A(−173 ;13),

B(221;21) Ε;

б) гіперболи Γ, якщо рівняння асимп-

тот y = ±21x таA(6;0) Γ;

в) параболи, якщо її директриса

D : y = −1.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

9x2 −24xy +16y2 − 8x +19y + 4 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

12x2 −2y −5z2 = 0.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z = x2 +y2,z = x2 + 2y2,y = x,

y = 2x,x = 1.

17. Скласти рівняння поверхні тіла,

z = y2,

утвореного обертанням кривої

x = 0

навколо осіOy . Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

3x12 −x22 + 2x32 + 8x1x2 + 6x1x3.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(1;5;−7),

M2(−3;6;3),M3(−2;7;3),M4(−4;8;−12).

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

q = (−1;2;1),r = (1;1;−1). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−1;7;−4) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oy.

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(−4;0),B(2;5),C(2;−2).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней призми, яка обмежена: площинами Oyz і Oxy; площиною, що проходить через точку (−2;0;3) перпендикулярно до осі Oz;

площиною, що проходить через точки

(1;1;−1),(0;2;2),(2;0;1); площиною, що проходить через точки (2;0;0) і (−2;6;0)

перпендикулярно до площини Oxy. Зобразити призму графічно.

12. Задано точку M0(2;0;−1) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів-

B(−22;1) Γ;

в) параболи, якщо її директриса

D : y = 9.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

x2 −xy +y2 + x +y = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

3x2 + 2z2 = 6y.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

x2 +y2 + z2 = 4,x2 +y2 = 3z.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

утвореного обертанням кривої

Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−3x12 − 4x22 −x32 + 4x1x2 + 2x1x3.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(−3;4;−7),

M2(1;5;−4),M3(−5;−2;0),M4(2;5;4).

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7. Дано вектори p = (1;1;4), q = (0;−3;2),r = (2;1;−1). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (6;5;−14) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oy.

8. Дано вектори a = 5p +q і b = p − 3q, p = 1, q = 2,(p,q) = π3.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(−1;−3),B(2;4),C(3;−1).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней призми, яка обмежена: площинами Oxy ³ Oxz; площиною, що проходить через точку (1;3;2) перпендикулярно до осі Oy; площиною, що проходить через вісь Oy і точку (1;0;1); площиною, що проходить

ралельно осі Oy. Зобразити призму гра- фічно.

12. Задано точку M0(2;2;5) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо велика піввісь a = 11

10

та ексцентриситет ε = 11;

б) гіперболи, якщо рівняння її асимптот

2c = 12;

Варіант 18

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до трикутного вигляду; б) методом розкла- ду за елементами деякого рядка або стовпця.

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(−1;2;−3),

M2(4;−1;0),M3(2;1;−2),M4(3;4;5). До-

вести, що вони не лежать в одній пло- щині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (6;−1;7) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Oy.

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(0;−1),B(−2;5),C(3;2).

ВABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней приз-

через точку (1;3;−1) паралельно пло- щині Oxz; площиною, що проходить через точки (4;0;0),(0;1;3) паралельно осі Oy; площиною, що проходить через точку (1;1;23) і пряму x2 = y1 = z−−33.

Зобразити призму графічно.

12. Задано точку M0(0;1;−1) та прямі

l1 : x +4 1 = y2 = z −3 1; l2 : x −1 1 = y0 = z −1 1.

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 5 та

12

ексцентриситет ε = 13;

б) гіперболи, якщо рівняння її асимптот

1

y = ±3x і дійсна піввісь a = 3;