РОЗРАХУНКОВА

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: координатними площинами; площиною, що паралельна осі Ox і проходить через точки (0;3;0) і (0;0;2); площиною, що проходить через

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпсаΕ, якщо A(0;3),B(143 ;1) Ε;

б) гіперболиΓ, якщо ексцентриситет

ε = 78,A(8;0) Γ;

в) параболи, якщо її директриса

D : y = −4.

21

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

x2 −2xy +y2 −10x −6y + 25 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

4x2 + 3y2 −24z = 0.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

x2 −y2 = 2az,x2 +y2 ≤ a2,z = 0.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

утвореного обертанням кривої

рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (4x1 −x2 + x3;0;x1 −x2 −x3) Bx = (x1 + x2;x2 −x3;5).

матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

2x12 + 5x22 + 6x32 + 6x1x2 + 2x2x3.

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7. Дано вектори p = (4;1;1), q = (2;0;−3),r = (−1;2;1). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−9;5;5) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Ox.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(3;−2),B(1;5),C(−4;3).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площинами Oxy та Oxz; площиною, що проходить через

Oy; площиною, що проходить через то-

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса Ε, якщо ексцентриситет

ε = 78,A(8;0) Ε;

б) гіперболи Γ, якщо A(3;−152 ),

B(283 ;2) Γ;

23

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

q = (1;3;−1),r = (−2;0;1). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−5;−5;5) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Oy.

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(5;8),B(−2;9),C(−4;5).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: координатними площинами; площиною, що проходить через точку (−2;3;4) і відтинає на осях

Oy і Oz відрізки 3 і 4; площиною, що проходить через точки (−1;2;0),(0;2;1),

(2;2;−1).

Зобразити піраміду графічно.

12. Задано точку M0(2;−1;0) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо велика піввісь a = 12

б) гіперболи, якщо рівняння її асимптот

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(2;−1;2),

M2(1;2;−1),M3(3;2;1),M4(−4;2;5). До-

вести, що вони не лежать в одній пло- щині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Oy.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(−3;−4),B(−4;3),C(2;2).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: координатними площинами; площиною, що проходить

ходить через точку (2;6;1) перпендику- лярно до осі Oz.

Зобразити піраміду графічно.

12. Задано точку M0(1;−1;1) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 2, екс-

5

центриситет ε = 29;

б) гіперболи, якщо рівняння її асимптот y = ±1213x та дійсна піввісь a = 13;

в) параболи Π, якщо вісь симетрії Ox і

точка A(−5;15) Π.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 3y −7 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 + 4z2 − 8y = 0.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z = x2 +y2,z = 2(x2 +y2),

y = x,y2 = x.

17. Скласти рівняння поверхні тіла,

z = x2,

утвореного обертанням кривої

y = 0

навколо осіOx . Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (0;x1 + 2x2 + 3x3;x2 − 4x3) Bx = (−x1 + 2x2;x1 + 3;3x1 −2x3).

матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−x12 + 2x32 −x1x2 + 4x2x3.

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами x − 4y + 2z = −12, Крамера;

2x + 3y + 4z = −2,

б) методом Гаусса.

x −y −5z = 15.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(1;1;2),

M2(−1;1;2),M3(2;−2;4),M4(−1;0;−2).

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−19;−1;7) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Oy.

8. Дано вектори a = 2p + 3q і b = p −2q, p = 6, q = 7,(p,q) = π3.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(2;5),B(5;2),C(−3;3). У

ABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней призми, яка обмежена: площиною Oxy; площи- ною, що проходить через точку (0;0;3)

паралельно осям Ox та Oy; площиною, що проходить через точку (1;1;0) і міс-

тить вісь Oz; площиною, що проходить через точки (0;0;0),(0;0;1), (2;1;0);

площиною, що проходить через точки

(6;0;0) і (0;3;0) паралельно осі Oz.

Зобразити призму графічно.

12. Задано точку M0(2;−1;0) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо велика піввісь a = 6 та один з фокусівF(−4;0);

б) гіперболи, якщо уявна піввісь b = 3 та один з фокусівF(7;0);

в) параболи, якщо її директриса

D : x = −7.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

2x2 − 4xy + 5y2 + 8x −2y + 9 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

12x2 + 3y2 − 4z2 + 24 = 0.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

x2 +y2 = az,x2 +y2 = ax,z = 0.

17. Скласти рівняння поверхні тіла,

z = y,

утвореного обертанням кривої

x = 0

навколо осіOx . Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

3x12 + x22 + 4x32 −2x1x2 + 2x2x3.