Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Розрахункова_2сем_вар1-10

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
1.57 Mб
Скачать

Варіант 1

z

 

 

 

 

 

 

 

 

1.u

 

 

 

 

 

;du

 

M

(0,

1,1)

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2.z

x 2y2,x

 

uev,y

 

veu ;zu,zv

?

3.Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в точці M0(2,1, 1) : x2 y2 z2 6z 4x 8 0.

4.Дослідити функцію на екстремум: z y x 2y2 x 14y.

5.Знайти найбільше та найменше значення функції z 3x y xy в обла-

сті

D

: y

 

x,y

4,x

0.

 

 

6.Змінити порядок інтегрування:

 

 

 

 

1

 

0

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

fdx

 

dy

 

fdx.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

 

 

 

y

 

7.Обчислити:

 

 

 

xy

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y exp

dxdy.

D:y

ln 2,y

ln 3,x 2,x 4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x 2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) dx

 

 

 

1

x 2

y2 dy.

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 2

y2

z 2)dxdydz.

V :

x 2

y2

z2

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

x,y,z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)y

3 ,y

4ex ,y

3,y

4.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2)y2

 

2y x 2

0,y2

4y x 2

0,

y

 

x

,y

 

 

x.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.Знайти масу пластинки D з густиною

y2,D : x 2

y2

1.

4

 

 

10.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)y

16

 

,y

 

 

 

, z

0, x

z

2.

2x

 

2x

 

 

 

 

 

, 9z

2(x 2

y2).

 

2)z

9

x 2

y2

 

3)z

2

 

12(x 2

y2), z

24x

2.

 

11.Знайти масу тіла V з густиною

:

V : 64(x 2

y2) z 2,x 2

y2

4,

y,z

0;

5(x 2

y2)

.

 

4

 

 

 

 

 

 

 

12.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

x

6(y2

 

 

 

z 2 ),y2

z 2

3, x

0.

13.

Знайти довжину дуги кривої:

 

1)y

 

ln x,

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

15.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

3e

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

Знайти

 

масу

 

кривої

x

t cost,

y

t sin t,z

 

 

 

 

t, 0

t

 

2

з густиною

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2z

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

Знайти роботу сили F

 

 

 

(x 2

2y)i

(y2

2x)j

 

при переміщенні вздовж ві-

дрізка MN від точки M(

 

 

4, 0) до точки

N(0,2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

Знайти функцію за її диференціалом:

du

 

ey

 

 

 

2(2x

1)sin 2x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xey

2y

dy.

 

17.Знайти циркуляцію векторного поля (безпосередньо та за теоремою Стокса):

1) a

(x 2

y, x,1),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: x 2

y2

1

z

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

2) a

(y, x, z 2), 0

 

t

2 ,

 

 

 

 

 

:

x

cost ,y

 

cost , z

 

 

 

sin t .

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

u

4 ln(3

x 2 )

 

8xyz,

 

 

 

 

 

 

 

18.

S

: x 2

2y2

2z2

1,

 

 

u

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

M

 

 

(n,Oz)

90 , M(1,1,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.Знайти кут між градієнтами скалярних

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yz2

 

полів v

 

 

6y3

 

 

3 6z 3 і u

у

 

2

 

 

1

1

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точці M

 

 

 

 

 

,

 

.

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

20. Знайти величину і напрям найбільшої зміни функції u(M ) xyz у точці

M0(0,1, 2).

21. Знайти найбільшу густину циркуляції векторного поля a (x 2, xy, z 2) у точці

M0(0,1, 2).

22. Знайти потік векторного поля крізь частину поверхні S (нормаль зовнішня):

1) a (x,y, z),S :

x 2

y2

1,

 

 

0

z

2 .

 

 

 

 

 

2) a (x,y, z),S :

x

y

z

1,

 

x,y,z

0 .

 

 

 

 

 

3) a(x 2, x, xz),S :

z

x 2

y2,x,y

0,

(0

z

1).

 

 

 

 

 

23. Знайти потік векторного поля a крізь замкнену поверхню S (нормаль зовнішня):

1)a(ez

2x,ex ,ey ),

 

 

S : x y z

 

1,x,y,z

0.

 

2)a(x z, 0,z

 

x 2

y2

9,

y),S : z

x,z

0.

24. Знайти

масу

частини

поверхні

,

обмеженої S , з густиною

0 :

 

: z 2

2px,

 

 

 

 

S : {0

z

a,

z

y

z}.

 

Зінтегрувати диференціальне

рівняння

або розв’язати задачу Коші (25

34) :

25.ex 3ydy

xdx.

 

 

26.1)y

xy

x sec y .

 

 

 

 

 

x

 

 

2)y

y2

y

 

 

 

x 2

4 x

2.

 

 

3)y

x

2y

3 .

 

 

 

2x

2

 

 

 

27.1)(x 2 1)y

4xy

3,y(0)

0.

 

 

2

 

0,y(e)

2.

2)y2dx (x ey )dy

28.y

xy

(1

x)e xy2,y(0)

1.

29. 3x 2eydx

(x 3ey

 

1)dy

0.

 

30.1)y

sin x,y(0)

 

1,y (0)

1,

y (0) y (0)

 

 

0.

 

 

2)y x ln x

y .

 

 

 

 

 

 

3)y

y ey ,y(0)

0,y (0) 1.

31.1)y

4y

0.

 

 

 

 

 

 

2)y

10y

 

25y

 

 

0.

 

 

3)y

3y

2y

0.

 

 

 

32.y

7y

 

 

6y

 

 

0,

 

 

y(0)

y (0)

0,y (0)

30.

33.1)y

3y

 

 

2y

1

x 2.

 

2)y

4y

5y

2y

(16

12x)e x .

3)y

2y

4ex (sin x

cos x).

4)y

2y

2 ch 2x.

 

 

 

 

5)y

2y

y

12 cos 2x

9 sin 2x,

y(0)

2,y (0)

 

 

0.

 

 

34.1)y

y

 

 

ex

 

.

 

 

 

 

ex

1

 

 

2)y

2y

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

y(0)

3,y (0)

0.

 

 

 

35.Розв’язати систему диференціальних

рівнянь:

 

 

 

1)

x

2x

y,

 

y

3x

4y.

 

2)

x

2x

3y

3e2t ,

y

x

y

e2t .

5

Варіант 2

1.u

ln x

y

;du

 

M0(1,2,1)

?

 

 

 

2z

 

2.z

y2 cos x,x

u ln v,y

v ln u;

zu ,zv ?

3.Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в точці M0( 2,1, 2) : z2 4y2 x2 2xy.

4.Дослідити функцію на екстремум: z x 3 8y3 6xy 5.

5.Знайти найбільше та найменше значення функції z xy x 2y в обла-

сті

D

: x

 

 

 

3,y

x,y

0.

 

 

6.Змінити порядок інтегрування:

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

fdx

 

 

dy

 

fdx.

 

 

0

 

 

 

 

y

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y2

7.Обчислити:

 

y2 sin xy dxdy.

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D:x

 

0,y

 

 

 

,y

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

 

x2

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

x 2

y2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdydz.

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x 2

y2

V :z

z2 4x 2

 

 

4y2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,y

 

x,z 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x

 

36 y2

, x

6

 

36 y2

.

 

 

2)x 2

4x y2

0, x 2

8x y2

0,

 

y

0,y

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.Знайти масу пластинки D з густиною

y

,D

: 1

 

x 2

y2

2, 0 y

2

x.

x

9

4

3

 

 

 

 

 

 

 

10.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)y

5 x,y

5x

, z

0, z

 

5

5

x.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

15

 

 

 

 

 

17

 

2

 

2

 

2)z

x

2

y

2

,z

x

y

.

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)z

10((x

 

1)2

 

y2)

1, z

 

 

21

 

20x.

11.

Знайти масу тіла V з густиною

:

V : x 2

 

 

y2

 

 

 

z2

 

4,x 2

y2

1,

12.

 

 

 

 

x

 

 

0,

 

4

 

z

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти координати центра мас одно-

рідного тіла, обмеженого поверхнями:

 

 

 

 

 

 

 

 

,x2

 

z2

 

 

 

 

y

3

 

x2

 

z2

 

 

 

36,y

0.

13.

Знайти довжину дуги кривої:

 

 

1)y

x 2

 

 

ln x

,1

x

 

 

 

 

2.

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

2e

4

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

cost,

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти

масу

кривої

 

y

sint,z

 

 

 

 

 

 

t

 

 

2

 

 

 

 

 

3t, 0

 

 

 

з

густи-

ною

x2

 

y2

z2.

 

 

 

 

 

15.

Знайти роботу сили F

 

 

(x 2

 

2y)i

(y2 2x)j

при переміщенні

вздовж

відрізка MN від точки M(

4, 0) до точ-

ки N(0,2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.Знайти функцію за її диференціалом: du ey 2x dx

xey 4(4y 2)cos 4y dy.

17.Знайти циркуляцію векторного поля (безпосередньо та за теоремою Стокса):

1) a

(xz,

1,y),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: z

5(x 2

y2) 1 z

4.

 

2) a

( x 2y3,1, z), 0

t 2

,

 

 

 

 

:

x

3

 

cos t,y

3

 

sin t, z

3.

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

x

y

 

 

y

z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

S

: 4z

 

2x 2

y2

0,

 

 

u

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

M

 

 

(n,Oz)

 

 

90 , M(2, 4, 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.Знайти кут між градієнтами скалярних

 

4

 

 

 

 

 

 

 

3

 

полів v

6

6

і u x2yz 3 у

 

x

 

 

 

 

 

9y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

.

 

 

 

точці M 2,

,

3

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

6

20. Знайти величину і напрям найбільшої зміни функції u(M ) x 2yz у точці

M0(2, 0, 2).

21. Знайти найбільшу густину циркуляції векторного поля a (xy,yz xz,xz) у

точці M0(2, 0, 3).

22. Знайти потік векторного поля крізь частину поверхні S (нормаль зовнішня):

1) a

(x,y, z),S :

x 2

y2

1,

 

0

z

4 .

 

 

 

 

2) a

(0,y,z),S :

x

y z

1,

 

x,y, z

0 .

 

 

 

 

3) a

 

z

3x 2

2y2

1,

(2x, 0, z),S : x 2

y2

4 (z

0).

23. Знайти потік векторного поля a крізь замкнену поверхню S (нормаль зовнішня):

1) a (3z 2

x,ex

2y, 2z xy),

 

S : x 2

 

y2

 

z 2,z

1,z

4.

 

 

2) a (x 2

 

y2,y2

x 2,y2

z 2),

 

S : x 2

 

y2

 

1, z

0, z

1.

 

 

 

24. Знайти

масу

частини поверхні

,

обмеженої S , з густиною

0 :

 

: z 2

 

2px,S : {y2

2qx, x

a}.

 

Зінтегрувати

диференціальне

 

рівняння

або розв’язати задачу Коші (25

34) :

 

25.y sin x

 

 

y ln y.

 

 

 

 

 

 

26.1)(y2

 

3x 2)dy

2xydx

0.

 

 

 

2)xy

 

3y3

 

2yx 2

 

 

 

 

 

 

 

2y2

 

x 2 .

 

 

 

 

 

3)y

 

x

y

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

27.1)y

y ctg x

 

2x sin x,y

 

 

 

0.

 

 

2

 

 

2)(y4ey

 

2x)y

y,y(0)

1.

 

 

28.xy

y

 

 

2y2 ln x,y(1)

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

29. 3x 2

 

2 cos 2x

dx

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

y2

cos

 

y dy

 

0.

 

 

 

 

30.1)y

 

1

,y(1)

 

1 ,y (1)

y (1) 0.

 

 

x

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2)2xy y

 

 

x 2y

 

0.

 

 

 

3)y

 

128y3,y(0)

 

1,y (0)

8.

31.1)y

 

y

 

2y

 

0.

 

 

 

 

2)y

 

9y

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

3)y

 

4y

 

4y

0.

 

 

32.y(5)

9y

 

 

0,y(0)

 

1,y (0)

1,

y (0)

 

y

 

(0)

 

y(4)(0)

1.

 

33.1)y

 

2y

 

 

5y

10e x cos 2x.

2)y

 

3y

 

 

2y

 

 

(1 2x)ex .

3)y

 

4y

 

4y

 

 

 

6e2x sin 6x.

4)y

 

y

 

2 sin x

6 cos x

2ex .

5)y

 

6y

 

 

9y

 

9x 2

39x

65,

y(0)

 

 

 

1,y (0)

 

 

1.

 

 

34.1)y

 

4y

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2x

 

 

 

 

2)y

 

3y

 

 

 

9e3x

 

,y(0)

ln 4,

 

1

 

e3x

y (0)

 

3(1

 

 

ln 2).

 

 

35. Розв’язати систему диференціальних рівнянь:

x x y,

1) y 4x y.

x x 4y 4et ,

2) y x y et .

7

Варіант 3

 

 

 

 

1.u

(sin x)yz ;du

 

M

0

 

,1,2

?

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

2.z

x 3y yx,x

u cos v,y

u sin v;

zu,zv ?

3.Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в точці M0(1, 2,1) :

x2 y2 z2 xy 3z 7 0.

4.Дослідити функцію на екстремум: z 15x 2x2 xy 2y2.

5.Знайти найбільше та найменше зна-

чення функції z

 

x2

2xy

4x

8y

в області

 

: x

0,x

1,y

0,y

2.

D

6.Змінити порядок інтегрування:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

2 y2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dy

fdx

 

 

 

 

dy

 

 

 

fdx.

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

0

 

 

7.Обчислити:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y cos xydxdy.

 

D:y

 

 

,y ,x 1,x 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

2) dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy.

 

 

 

 

 

x 2

y2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2dxdydz.

 

 

 

 

 

1

 

x 2

y2

36,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V :

x,x,z

0,z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x 2

y2

72, 6y

x 2(y 0).

 

2)y2

6y x 2

 

0,y2

8y x 2

0,

 

 

y

x,y

 

 

 

x.

 

 

 

3

 

3

 

 

9.Знайти масу пластинки D з густиною

 

x2y,D :

x2

y2

1,y 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

25

 

10.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)x 2

y2

2,y

 

x,y,z

 

0,z

15x.

 

 

 

 

 

,15z

 

 

 

.

2)z

4

x 2

y2

x 2

y2

3)z

8(x 2

y2)

3,z

16x

3.

 

11.Знайти масу тіла V з густиною :

V : x 2

y2

1,x 2

y2

2z,

x,y

0,z

0;

10x.

 

12.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

 

x

 

7(y2

z 2), x

 

28.

 

13. Знайти довжину дуги кривої:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 .

1)y

1

 

x 2

arcsin x, 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

2)

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2e

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

14.Знайти

 

масу

кривої

 

x

2 cost,

y

2 sin t, z

 

 

2t, 0 t

2

з

густи-

ною

 

z 2(x 2

y2 ) 1.

 

 

 

15.Знайти роботу сили F

(x 2

2y)i

(y2

2x)j

при

переміщенні

вздовж

параболи y

 

2

 

x 2

від точки M( 4, 0)

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

до точки N(0,2).

 

 

 

 

 

 

 

16.Знайти функцію за її диференціалом:

du

xy2 arctg x

dx

x2y siny dy.

 

3

 

 

17.Знайти циркуляцію векторного поля (безпосередньо та за теоремою Стокса):

1) a

(yz, 2xz, xy), (z

0)

 

 

 

 

 

 

: x 2

y2

z2

25 x 2

 

y2

9.

2) a (y z, z

x, x

y), 0

 

t

2 ,

:

x

cost,y

sin t, z

2(1

 

 

cos t).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

2 ln(x 2

5)

4xyz,

 

 

 

 

 

18.

S : x 2

2y2

2z2

1,

 

u

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

(n,Oz)

90 , M(1,1,1)

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.Знайти кут між градієнтами скаляр-

 

 

 

 

 

y3

4z 3

 

них полів v

9 2x 3

і

 

 

 

 

 

 

2

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3

1

 

 

 

u

 

3

 

 

у точці M

 

,2,

2 .

xy2

3

20. Знайти величину і напрям найбільшої зміни функції u(M ) xy2z у точці

M0(1, 2, 0).

8

21. Знайти найбільшу густину циркуля-

ції векторного поля a

(xy2,yz 2, x 2 )

у точці M0(1, 2, 0).

 

22. Знайти потік векторного поля крізь частину поверхні S (нормаль зовнішня):

1) a (x,y, 2z),S :

x 2

y2

1,

0

z

3 .

 

 

 

 

2) a

(2x,y, z),

S : x

y z

1,

x,y, z

0 .

 

 

 

 

 

3) a (2x, 2y, z),S : y

x 2,y

4x 2,

y

1, x

0 (0 z

y).

 

23. Знайти потік векторного поля a

крізь замкнену

поверхню S

(нормаль

зовнішня):

 

 

 

2y,ey

 

 

 

1) a

(ln y

7x, sin z

2z),

 

S : (x 1)2

 

(y 1)2

(z 1)2

1.

2) a

(x 2,y2, z 2),S : x 2

y2

z 2

4,

x 2

y2

z 2

(z

0).

 

 

 

24.

Знайти масу

частини поверхні

,

обмеженої S,

 

 

 

 

з густиною

x2

y2

:

: x 2

y2

z 2

R2,S : {z

0}.

 

Зінтегрувати

диференціальне

рівняння

або розв’язати задачу Коші (25

34) :

 

 

 

 

 

dx

 

x 2ydy.

 

 

 

25.

4

y2

ydy

 

 

 

26.1)x

2y)dx

 

xdy

0.

 

 

 

 

2)y

x

 

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

3)y

3y

x

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

3

 

 

 

 

27.1)(1 x)(y

 

y)

e x ,y(0)

0.

 

 

2)y2dx

(xy

1)dy

0,y(1)

e.

 

28.2(xy

 

 

y)

xy2,y(1)

2.

 

 

29. 3x 2

 

 

4y2 dx

(8xy

 

ey )dy

0.

30.1)y

 

 

1

 

 

,y(0)

1,y (0)

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2)x 3y

 

 

 

x 2y

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

3)y y3

64

 

 

0,y(0)

4,

 

 

y (0)

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31.1)y

 

 

4y

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

2)y

 

 

4y

13y

 

0.

 

 

 

 

 

3)y

 

 

3y

 

2y

 

0.

 

 

 

 

 

32.y

y

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0)

 

 

y (0)

 

 

0,y (0)

 

 

 

1.

 

33.1)y

 

 

y

x 2

x.

 

 

 

 

 

2)y

 

 

y

y

y

(3x 7)e2x .

3)y

 

 

2y

 

 

2ex (sin x

 

 

 

cos x).

4)y

 

 

y

2ex

 

cos x.

 

 

5)y

 

 

2y

 

2y

 

2x 2

 

 

8x 6,

y(0)

 

1,y (0)

4.

 

 

 

 

 

34.1)y

 

 

4y

5y

 

e2x

.

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

2)y

 

 

4y

8 ctg 2x,y

 

 

 

5,

 

 

 

4

 

 

y

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.Розв’язати систему диференціальних рівнянь:

x x 8y,

1) y x y.

x x 8y 10et ,

2) y x 3y 5et .

9

Варіант 4

 

 

 

 

 

 

 

1.u

ln(x 3

2y3

z 3);du

 

M

(2,1,0)

?

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2.z

x 2 ln y, x

u

,y 3u 2v;

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

zu , zv

?

 

 

 

 

 

 

3.Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні в точці M0( 1,1, 2) : x2 y2 z2 6y 4x 8 0.

4.Дослідити функцію на екстремум: z 6x x2 xy y2.

5.Знайти найбільше та найменше зна-

чення

функції z

5x2

3xy

y2 в

області

 

 

: x

0,x

1,y

 

0,y

1.

D

6.Змінити порядок інтегрування:

 

 

1

 

 

 

 

y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

 

 

 

 

dy

fdx

 

dy

 

fdx.

 

 

0

 

 

0

 

1

0

 

 

 

7.Обчислити:

 

xy

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

y2 exp

dxdy.

 

D:x

0,y

 

2,y

x

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

2) dx

 

 

ln(1

x 2

y2)dy.

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

ydxdydz.

 

 

 

x 2

y2

 

z2

32,

 

 

 

 

 

 

V :

x 2

 

z2,y

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

0

 

 

 

 

 

 

8.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)x

8

y2,x

2y.

 

 

2)x 2

2x y2

0,x 2

4x y2

0,

y

0,y

x.

 

 

 

9.Знайти масу пластинки D з густиною

 

7x2y ,D : x 2

y2

1,y 0.

 

 

18

9

25

 

 

10.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)x

y

2,y

x,z

12y,z

0.

 

 

 

 

 

 

,z

1,x 2

y2

 

2)z

 

64

x 2

y2

60.

3)2

z

20((x

1)2

y2),

 

 

z

 

40x

38.

 

 

 

 

 

11.Знайти масу тіла V з густиною

:

V : x 2 y2

16 z2,x 2 y2

4 z,

 

49

 

7

x,y

0;

80yz.

 

12.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

z 2x2 y2,z 8.

13.Знайти довжину дуги кривої:

1)y

 

ln

5

 

,

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

3e

12

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.Знайти

 

масу

кривої

 

 

x

 

cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

cost,z

a sint, 0 t

2

з

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

густиною

 

 

 

 

 

 

 

2y2

z2

.

 

 

 

 

15.Знайти

роботу сили

F (x y)i

2xj

 

при

 

 

переміщенні

 

 

вздовж

кола

x2

y2

4 (y

0)

від

 

точки

M(2, 0)

до точки N (

2, 0) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.Знайти функцію за її диференціалом:

du

x y

 

cos x dx

 

x2

 

ln

y 1

dy.

4

y

5

 

 

17.Знайти циркуляцію векторного поля (безпосередньо та за теоремою Стокса):

1) a

(x,yz,

x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: x 2

y2

1

x

y z

1.

 

2) a (x 2,y, z), 0

t

 

 

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

x

cost,y

sin t

, z

cos t .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

u

1 x 2y

 

x 2

5z 2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

18.

S : z2

x 2

 

4y2

4,

 

 

 

 

 

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

M

 

(n,Oz)

90 , M

2,

,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.Знайти кут між градієнтами скаляр-

них полів v

3

4

1

 

і u

z

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

x 3y2

 

6z

 

 

 

у точці M 1, 2,

1

.

 

 

6

 

 

 

10

20. Знайти величину і напрям найбільшої зміни функції u(M ) xyz 2 у точці

M0(3, 0,1).

21. Знайти найбільшу густину циркуляції векторного поля a (xz,z,yz) у точці

M0(3, 0,1).

22. Знайти потік векторного поля крізь частину поверхні S (нормаль зовнішня):

1) a (x,y, z 3),S :

x 2

y2

1,

 

0

z

1 .

 

 

 

S : x

y

z

1,

2) a (x, 3y, 2z),

x,y, z

0 .

 

 

 

3) a (x 2,y, z),S :

x 2

y2

z2

1,

(z

0).

 

 

 

 

 

23. Знайти потік векторного поля a крізь замкнену поверхню S (нормаль зовнішня):

1) a

(cos z

 

3x, x

 

 

2y, 3z

y2),

 

S : z 2

36(x 2

y2), z

6.

 

 

 

 

2) a

(3x, 0, z),S : z

6

 

x 2

y2,

 

z 2

 

x 2

y2 (z

0).

 

 

 

 

 

 

24. Знайти масу

частини

поверхні

,

обмеженої S , з густиною

 

 

 

0 :

 

: x 2

y2

 

R2,S : {x 2

z 2

 

R2}.

 

Зінтегрувати

 

диференціальне

рівняння

або розв’язати задачу Коші (25

 

34) :

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

x 2ydy.

 

 

 

25.

3

y2

ydy

 

 

 

 

 

26.1)(x

y)dx

(x

 

 

y)dy

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)xy

 

 

 

 

x 2

y2

y;

 

 

 

 

 

 

3)y

 

 

 

2y

2

.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.1)y

y tg x

cos2 x,y

 

 

 

 

1 .

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2)2(4y2

 

4y

x)y

1,y(0)

0.

 

28.y

4x 3y

 

 

 

4(x 3

 

 

1)e

4x y2,

 

y(0)

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

1

 

 

29. 2x

1

 

 

 

dx

 

 

2y

 

x dy

0.

 

x 2

 

 

 

30.1)y

 

 

6

 

,y(1)

0,

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (1)

 

5,y (1)

1.

 

 

 

 

2)y

 

y

tg x

sin 2x.

 

 

 

3)y

 

2 sin y cos3 y

0,

 

 

y(0)

 

0,y (0)

1.

 

 

 

 

31.1)y

 

5y

 

 

 

 

6y

0.

 

 

 

 

2)y

 

3y

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

3)y

 

2y

 

 

 

 

 

5y

0.

 

 

 

 

32.y

4y

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

y(0)

 

0,y (0)

2,y (0)

4.

 

33.1)y IV

 

 

3y

 

 

 

3y

 

 

y

2x.

 

2)y

 

2y

 

 

 

y

 

 

(2x

 

5)e2x .

 

3)y

 

y

 

 

2 cos 7x

3 sin 7x.

 

4)y

 

3y

 

 

 

 

 

2 ch 3x.

 

 

 

 

5)y

 

6y

 

 

 

 

25y

 

 

9 sin 4x

 

24 cos 4x,y(0)

 

 

2,y (0)

2.

34.1)y

 

y

 

 

 

 

 

sin x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

2)y

 

6y

 

 

 

 

8y

 

 

 

4

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e 2x

 

y(0)

1

 

 

2 ln 2,y (0)

6 ln 2.

 

35.Розв’язати систему диференціальних рівнянь:

1)

x

x

3y,

 

y

x.

 

 

2)

x

2x

9y

12e t ,

y

x

2y

4e t .

11

Варіант 5

1.u

 

x

 

 

;du

 

M

(1,0,1)

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

z 2

 

 

 

 

0

 

 

2.z arcsin xy, x

 

u cos v,y

u2v 1;

zu , zv

?

 

 

 

 

 

 

 

3.Скласти рівняння дотичної площини та

нормалі до поверхні в точці M0(2,1,

1) :

2x2

y2

z2

4z y 13

0.

4.Дослідити функцію на екстремум:

z

x 3

y3

6xy 39x 18y.

5.Знайти найбільше та найменше зна-

чення функції z

x2

y2

2x

2y в

області

 

 

 

: x

y

1

0,x

3,y

0.

D

6.Змінити порядок інтегрування:

 

 

 

1

 

 

0

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

fdx

 

dy

fdx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y

 

 

 

2

 

2

y2

 

 

7.Обчислити:

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y sin xydxdy.

 

D:y

 

,y ,x 1,x 2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy.

 

2) dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x 2

y2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 y2

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdxdydz.

 

 

 

 

x2

y2

z2 8,

 

 

 

 

 

 

V :x 2

y2

z2,x 0

 

 

 

 

 

 

8.Знайти площі фігур, обмежених лініями:

1)y

 

3 ,y

8ex ,y

 

3, y

8.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)y2

 

8y x 2

 

0,y2

10y x 2

0,

y

 

x

,y

 

 

 

x.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.Знайти масу пластинки D з густиною

 

8y

,D : 1

 

x 2

y

2 4, 0

y

x

.

 

x 3

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.Знайти об’єми тіл, обмежених поверхнями:

1)x

20

 

 

, x

 

5

 

, z

0, z

y

1 .

2y

 

2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

, 2z

x 2

y2.

 

2) 3z

 

16 9x 2

9y2

 

3)z

4 14(x

2

y2), z

4 28x.

 

11.Знайти масу тіла V з густиною

:

V : x 2 y2

z 2

1,x 2

y2

4z 2,

x,y

0 (z

0);

20z.

 

12.Знайти координати центра мас однорідного тіла, обмеженого поверхнями:

z

5(x 2

y2)x 2

y2

 

 

2,z

 

 

0.

13.

Знайти довжину дуги кривої:

 

 

 

1)y

ln cos x, 0

 

 

x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

5e

5

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

1 cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

Знайти

 

масу

кривої

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1 cos t, z

 

 

 

 

 

sin t, 0

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

3

 

t

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

густиною

 

 

xyz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

Знайти

 

роботу

 

сили

 

F x 3i y3 j

при

переміщенні

 

вздовж

 

 

кола

x2

 

y2

4(x,y

0) від точки M(2, 0)

до точки N(0,2).

16.Знайти функцію за її диференціалом:

du

x 3y4

ex (6x

1) dx

 

y3x 4

y

 

 

 

 

y2

2 dy.

17.Знайти циркуляцію векторного поля (безпосередньо та за теоремою Стокса):

1) a

(x

y, x,

z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: x 2

y2

1 z

5.

 

 

 

 

 

 

 

2) a (y

z, z

x, x

y), 0

t

2 ,

 

:

x

4 cos t,y

4 sin t, z

1 cos t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

xz 2

x 3y

,

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

S : x 2

y2

3z

12

0,

 

u

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

M

 

 

(n,Oz) 90 , M(2, 2, 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.Знайти кут між градієнтами скалярних

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

полів v

 

 

6y3 3 6z 3 і u

у

2

 

 

 

yz2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точці M

 

 

1

 

 

,

1

.

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

20. Знайти величину і напрям найбільшої зміни функції u(M ) x 2y2z у точ-

ці M0( 1, 0, 3).

21. Знайти найбільшу густину циркуляції

векторного поля a

(xy,xyz, x) у точ-

ці M0( 1, 0, 3).

 

22. Знайти потік векторного поля крізь частину поверхні S (нормаль зовнішня):

1) a

(x,y, xyz),S :

x 2

y2

1,

 

0

z

5 .

 

 

 

 

2) a

(2x, 3y, 0),S :

x

y

z

1,

x,y, z

0 .

 

 

 

 

3) a

 

 

x 2

z 2

2y,

(z y,y, x),S : (0

y

2).

23. Знайти потік векторного поля a крізь замкнену поверхню S (нормаль зовнішня):

1) a

(e z

x, xz

3y, z

x 2),

 

 

 

S : 2x y z

 

2, x,y,z

0.

 

 

 

2) a

(xz, z,y),S : x 2

y2

1

z,

 

 

z

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Знайти

 

масу частини

поверхні

 

,

обмеженої S , з густиною

x2

y2

:

: x 2

y2

 

z 2

 

R2,S : {z

 

0}.

 

 

Зінтегрувати

 

диференціальне

рівняння

або розв’язати задачу Коші (25

 

34) :

 

25.(1 ex )ydy eydx

0.

 

 

 

 

26.1)(y2

 

2xy)dx

x 2dy

0.

 

 

 

 

2)2y

 

y

2

 

 

6

y

3.

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)y

 

 

x

 

 

y

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.1)y

 

 

y

 

 

 

x 2

2x,y(

1)

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2)(cos 2y cos2 y

x)y

sin y cos y,

y

1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.xy

y

 

y2(ln x

 

2) ln x,

 

y(1)

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29. y2

y sec2 x

dx

 

 

 

 

 

 

2xy

 

tg x

dy

 

0.

 

 

 

 

30.1)y

 

4 cos 2x,y(0)

 

1,y (0)

3.

2)y x ln x

y .

 

 

 

 

 

 

3)y

tg y

2y 2,y(1)

 

 

,y (1)

2.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31.1)y

 

2y

10y

0.

 

 

 

 

2)y

 

y

2y

0.

 

 

 

 

 

 

3)y

 

2y

0.

 

 

 

 

 

 

 

32.y

y

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0)

 

0,y (0)

y (0)

1.

 

 

33.1)y IV

y

 

 

5(x

 

2)2.

 

 

 

2)y

 

3y

 

4y

(18x

21)e

x .

3)y

 

2y

 

5y

 

2 sin 2x.

 

4)y

 

4y

 

 

2 sin 2x

 

 

 

 

8 cos 2x

e2x .

 

 

 

 

 

 

5)y

 

14y 53y

 

53x 3

42x 2

 

59x

14,y(0)

 

0,y (0)

7.

34.1)y

 

9y

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3x

 

 

 

 

 

 

2)y

 

9y

18y

 

9e3x

 

 

 

 

,

 

 

1 e 3x

 

y(0)

y (0)

0.

 

 

 

 

 

 

35.Розв’язати систему диференціальних рівнянь:

x x y,

1) y 4x 4y.

x

x

12y

10e3t ,

2) y

x

5y

3e3t .

13