ekzamen_шпора
.docx
1. Відображення множин. Поняття образу та прообразу. Композиція відображень. |
Нехай Х,У деякі множини Озн:Відображенням множини Х в множину У назив. правило f за яким кожному елементу множини Х ставиться у відповідність єдиний елемент У: F:xy Озн:Якщо Х,У – числові множини, то це функція. Озн:Якщо для а є А і b є B при відображенні f:А->B має місце b=f(а), то елемент b називається образом елемента а. Елемент а – прообраз b. Види відображень:інєкція,сурєкція,бієкція. Якщо f:Х—>У,g:Y—>Z то можна побудувати композицію цих відображ. gf:Х—Z, що будується за правилом і для кожного елемента х з множини Х - (gf)(х)=g(f(х)) |
Складена функція: властивості |
Навіть якщо визначені обидві композиції fg і gf, то не значить, що fg=gf |
Асоціативність має місце, тобто якщо f:Х—Y, g:Y—Z, х:Z—B, то х(gf)=(хg)f,оскільки для будь якого х з Х (х (gf)(х)=х((gf)(х))=х(g(f(х))) |
|
2. Аксіоматичне визначення множини дійсних чисел. |
Озн:Множина R назив множиною дійсних чисел а її елементи дійсними числами, якщо виконані наступні аксіоми: |
a,b є R: , a+b=b+a , a+(b+c)=(a+b)+c , a+0=a , a+(-a)=0 a*b=b*a , a*(b*c)=(a*b)*c , a*1=a , a*a^-1=1 , a*(b+c)=ab+ac 1!=0 . a<=a , a<=b and b<=a a=b , a<=b and b<=c a<=c a<=b or b<=a , a<=b a+c<=b+c , 0<=a and 0<=b 0<=a*b |
3.Індуктивні множини. Метод математичної індукції. |
Озн:Індуктивна множина- числова множина А назив. індуктивною,якшо для Приклад: R,Q; |
Т: якщо А та В – індукт множини то С=А перетин В теж індукт; |
Озн:Множина натур. Чисел назив. Перетин всіх індуктивних числових множин, що містять число 1. |
ММІ: Якщо деяке твердження дельта справедливе для n=1 З припущення, що воно справедливе для n=k випливає його справедливість для n=k+1 Випливає, шо твердження справедливе для всіх натуральних чисел. |
4. Полярна система координат. |
Озн:Полярна система координат — двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами — кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в поширенішій, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь. |
Полярна система координат задається променем, який називають нульовим або полярною віссю. Точка, з якої виходить цей промінь називається початком координат або полюсом. Будь-яка інша точка на площині визначається двома полярними координатами: радіальною та кутовою. Радіальна координата (зазвичай позначається r) відповідає відстані від точки до початку координат. Кутова координата, що також зветься полярним кутом або азимутом і позначається φ, дорівнює куту, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для того, щоб потрапити в цю точку. Визначена таким чином радіальна координата може приймати значення від нуля до нескінченості, а кутова координата змінюється в межах від 0° до 360°. Однак, для зручності область значень полярної координати можна розширити за межі повного кута, а також дозволити їй приймати від'ємні значення, що відповідатиме повороту полярної осі за годинниковою стрілкою. Пару полярних координат r та φ можна перевести в Декартові координати x та y шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса: |
x = r cos φ , x = r sin φ в той час як дві Декартові координати x та y можуть бути переведені в полярну координату r: r2 = x2 + y2 (за теоремою Піфагора). Для визначення кутової координати φ, слід взяти до уваги два такі міркування: Для r = 0, φ може бути довільним дійсним числом. Для r ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π]. |
5. Комплексні числа, різні форми запису, арифметичні операції з комплексними числами |
Озн:Вираз виду x+iy, де x,y – дійсні числа, а i – символ для якого i2 =-1 назив. комплексним числом. Х-ReZдійсні числа компл. Числа Z Y=ImZ уявна частина компл. Числа Z |
Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності . Нехай Z1=a+bi, Z2=c+di Z1+Z2=(a+c)+i(b+d); Z1*Z2=(a+bi)(c+di) Z1/Z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di) Z1-Z2=a+bi-c-di Дійсні числа – це комплексні, де уявна частина = 0. |
Озн:Два компл числа назив. однаковими якщо уявні і дійсні частини однакові. Компл. Число може бути представлене у тригоном формі: Або у формі Ейлера: ==> Z=r
|
6.Тригонометрична форма комплексного числа. Формулa Муавра, корені з комплексних чисел. |
Щоб представити число у тригоном формі, досить записати модуль і помножити його таким чином: Маємо Добуток та частка компл. Чисел в тригоном. Формі: |
Доводиться просто за формулами тригоном. Суми. Розкриваючи дужки: |
аналогічно для формули Ейлера: |
Формула Муавра: )= |
Озн: Корінь з компл. Числа: Число W назив. Коренем н-порядку з компл. Числа Z, якщо Нехай W=|w|( ) )=Z=r() =>k=0,1,2…n-1; |
Отже: |
7.Обмежені множини. Точна верхня та нижня межі. |
Озн: Множина А назив. Обмеженою зверху, якщо bR, що а<=b дляA. b – верхня межа. І обмеженою знизу якщо с R, таке що а>=с для A. Озн: Якщо множина обмежена зверху і знизу, вона назив. Обмеженою Озн: Нехай А (не пуста) обмежена зверху, тоді найменша з її верхніх меж назив. точною верхньою межею і позначається supA. Озн: Якщо А обмежена знизу, тоді найбільша з її верхнуї меж назив. точною нижньою межою і позначається infA. Для необмежених зверху і знизу множин інфінум і супремум дорівнюють +-нескінченність. |
Т: Всяка обмежена зверху множина має супремум А, знизу – інфінум.Нехай А – обмежена зверху. Множина B всіх її верхніх меж теж непуста, при чому для будь якого bR і А а<=b, тоді за аксіомою №5 існує число сR a<=c<=b. З визначення супремемуму: Якщо S=supA, то: 1) A <S 2) a*>S1 |
8.Лема про вкладені відрізки (принцип Коші-Кантора). |
Озн: Функція, що відображає множину натуральних чисел в множину Х, назив. послідовністю елементів множини Х. Озн: формула за якою, за номером можна обчислити його значення називається загальним членом послідовності. Озн: Вкладена множина: нехай х1,х2,х3…хN – послідовність деяких множин, для яких має місце , тоді це вкладена множина. |
Принцип Коші-Кантора: Для кожної послідовності вкладених відрізків існує спільна точка С. Якщо крім цього в послідовності для і , то така точка єдина. позначимо відрізок =[] <= З умови випливає що для будь якого m,n N <= Від супротивного: Припустимо>= Тоді: <=<=<= Тобто не мають спільних точок, що суперечить умові. Існування спільної точки показуємо за аксіомою повноти. Єдиність: припустимо що таких точок дві. Вони не рівні між собою. Нехай для визначеності c1<c2 Тоді для всіх номерів н: aN<=c1<c2<=bn=>aN-bN=c2-c1 Маємо протиріччя. |
9.Принцип Бореля-Лебега (про скінченне підпокриття). |
Озн: Нехай А – деяка множина елементів а. Нехай кожному елементу а відповідає деяка множина Ха. Кажуть, що множина множин Ха покриває множину B, якщо Озн:Якщо деяка множина Ха повністю покриває B, то це підпокриття множини B |
Лема Бореля-Лебега: в усякій системі інтервалів S={I}, що покривають відрізок I=[a;b] можна виділити скінчене підпокриття. Від супротивного припустимо, що є система інтервалів, де не можна виділити скінчене підпокриття позначимо I1=[a;b] поділимо навпіл цей интервал. Тоді хоча б для однієї з половинок теж не можна виділити скінченого підпокриття. Позначимо половинку I2 і знову поділимо навпіл. Ділимо так Н разів. Отримуємо: I1 підмнож I2 підмнож I3 підмнож … In. Отримали послідовність вкладених відрізків для кожного з яких не можна виділити скінченого під покриття. При чому довжина In=b-a/ – нескінченно мала. Тоді за принципом Коші кантора існує точка с спільна с є . Значить Позначимо E={c-a;b>0; В множині {In} *:|In|<E c є In* => In* є Маємо протиріччя. |
10. Принцип Больцано–Вейєрштраса (про граничну точку). |
Озн: точка а є R назив. Граничною точкою множини ХєR, якщо будь який окіл точки а містить нескінченну множину точок Х. |
Принцип: Всяка нескінченна обмежена множина має хоча б одну граничну точку. Нехай ХєR – нескінченна і обмежена. Існує відрізок І=[a;b]Х Припустимо що Х не має граничних точок. Це значить що для будь якої точки х з відрізка І існує окіл що містить скінчене число точок множини Х. Обєднання всіх околів кожної точки Х містить в собі відрізок І(покриває). Цей відрізок є підмножиною обєднання околів. З покриття U(x) можна виділити скінчене під покриття тобто, і обєднання цих околів теж покривають відрізок І. Але кожний окіл містить тільки скінчену кілкість точок Х. Виходить шо Х має скінчене число точок, що суперечить умові. |
11.Границя числової послідовності. Обмеженість збіжної послідовності, єдиність границі. |
Озн:Число а назив. границею числової послідовності Хn (познач a=limXn) якщо для будь якого околу точки а існує номер такий що для всіх n>=>Xn є U(a) |
Озн:Або для будь якого Е>0 знайдеться номер… такий що для всіх номерів більших виконується: |Xn-a|<E. |
Озн: Якщо існує границя то кажуть, що послідовність збіжна. |
Т: Збіжна послідовність обмежена
Тоді |<max{|a-1|;|a+1|}; Т: збіжна послідовність не може мати дві різні границі. ->Від супротивного Припустимо
Тоді для E=|a1-a2|/3 Окіли цих точок не перетинаються Але за означенням для а1 існує номер Н1, що для всіх номерів більших за цей Хn лежить в околі точки а1. Аналогічно для а2. Виходить що Хn лежить в перетині околів цих точок… Але він пустий, маємо протиріччя
|
12.Нескінченно малі послідовності. Арифметичні властивості нескінченно малих. |
Озн: послідовність назив. Нескінчено малою якщо існує границя і вона рівна 0. |
Властивості: 1)Сума нескінчено малих є нескінчено мала Дано: limAn=limBn=0 Тоді за означ. Для будь якого Е>0 існує номер Н1, що для всіх номерів більших за Н1 |An-0|<E/2 Тоді за означ. Для будь якого Е>0 існує номер Н2, що для всіх номерів більших за Н2 |Bn-0|<E/2 Тоді для всіх номерів більших за максимальний з Н1 та Н2: |An+Bn|<=|An|+|Bn|<E/2+E/2=E Lim(An+Bn)=0 |
2)Добуток нескінч. Малої на обмежену – неск. Мала Нехай An-неск. Мала, Bn- обмежена
За озн. – Для Е>0 існує номер Н1,що для всіх номерів більших за Н1 |An-0|<E/M Тоді добуток для всіх номерів більших за Н1 |An*Bn-0|<E/M*M=E; |
Наслідки: 1)сума скінченого числа нескінчено малих – нескінченно мала. 2)добуток неск. Малої на число – неск. Мала. 3)якщо |
13.Границя числової послідовності. Арифметичні властивості границі. |
1)Якщо Записати означення для а без модуля, та з модулем |An|=An |a|=a, ||An|-|a||=|An-a| |
2)якщо існує limAn=a,limBn=b, то існує lim(An+Bn)=a+b За лемою кожну послідовність можна представити у вигляді сумми з неск. Малою: Існуть такі і , що An=a+, Bn=b+ Тоді An+Bn=+a+b Тоді існує границя limAn+Bn=limAn+limBn; |
3)lim(An*Bn)=limAn*limBn=a*b; |
4)lim(An/Bn)=limAn/limBn=a/b, b!=0 |
14.Границя числової послідовності. Граничний перехід в нерівністях. |
Т:Нехай послідовності {Xn},{Yn},{Zn} такі що Xn<Yn<Zn для будь яких номерів, або для будь яких номерів більших за деякий номер n1, і , то . За означ. Для будь якого E>0 За означ. Для будь якого E>0 Тоді для всіх номерів більших за max(N1,N2): a-E<Xn<Yn<Zn<a+E a-E<Yn<a+E |Yn-a|<E |
Т2: нехай , якщо a<b, то a<b => E=b-a/3>0 За означ. Для Хn: =>Xn<a+b-a/3=2a-b/3 За означ. Для Yn: =>Yn<b-b-a/3=a+2b/3 Для всіх номерів більших за max(N1,N2): Xn<2a-b/3<Yn<a+2b/3=>Xn<Yn |
15.Перехід до границі у нерівностях, монотонні послідовності та їхні границі. |
Т:Нехай послідовності {Xn},{Yn},{Zn} такі що Xn<Yn<Zn для будь яких номерів, або для будь яких номерів більших за деякий номер n1, і , то . За означ. Для будь якого E>0 За означ. Для будь якого E>0 Тоді для всіх номерів більших за max(N1,N2): a-E<Xn<Yn<Zn<a+E a-E<Yn<a+E |Yn-a|<E |
Т2: нехай , якщо a<b, то a<b => E=b-a/3>0 За означ. Для Хn: =>Xn<a+b-a/3=2a-b/3 За означ. Для Yn: =>Yn<b-b-a/3=a+2b/3 Для всіх номерів більших за max(N1,N2): Xn<2a-b/3<Yn<a+2b/3=>Xn<Yn |
Визнач. Послідовність an називають: Зростаючою, якщо хп<хп+1, для будь-якого n. Неспадною, якщо хп<=хп, для будь-якого n. Незростаючою, якщо хп>=хп, для будь-якого n. Спадною, хп>хп, для будь-якого n. В будь-якому з цих чотирьох випадків пслідовнісь називається монотонною. |
Т: Вейерштраса: Для того щоб неспадна(зростаюча) послідовність мала границю необх. Й достатньо щоб вона була обмежена зверху. (=>)Якщо існує границя то обмежена. (<=)An<An+1 для всіх n.
Тоді для An0<An<S |S-An|<|S-(S-E)|=E => S=limAn |
16. Монотонні послідовності |
Послідовність an називають: Зростаючою, якщо хп<хп+1, для будь-якого n. Неспадною, якщо хп<=хп, для будь-якого n. Незростаючою, якщо хп>=хп, для будь-якого n. Спадною, хп>хп, для будь-якого n. В будь-якому з цих чотирьох випадків пслідовнісь називається монотонною. |
Число е Розглянемо послідовність an = (1+1/n)^n і покажемо, що існує її границя. Скористаємося нерівісю бернулі (1+α)^n>=1+n*α. Метод М.І.: n = 1: 1+ α >= 1+ α n = k виконуэться krok: n = k+1 (1+ α)^(k+1) = (1+ α)^k*(1+ α)>=(1+k*α)(1+α) = 1+ k*α+α+k*α^2 = 1+(k+1)* α+k*α^2>=1+(k+1)*α –тобто нерівність виконується
обмежена знизу послідовність. Тоді за наслідком
В свою чергу:
тобто ця границя існує,що і і треба було довести. е≈2,72 |
17. Границя послідовності |
Послідовність {xn} називають фундаментальною, якшо |
Критерий Коши Послідовність {xn} збігаєься тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна /доведення: 1) (=>)дано: {xn}-збігається => тоді{xn}-фундаментальна 2,) (<=){xn}-фундаментальна а)-покажемо, що вона обмежена Позначимо через М=max{|x1|, |x2|, …|xN1|, |xN1|+1} для будь-якого m є N: |xm|<=M. Значить, {xn}-обмежена. б) будь-яка обмежена послідовність має збіжну підпослідовність: {xn}:=> Покажемо, що а єграницею для {xn}. {xn}-фундамент. => З іншого боку: =>
(з ** випливає)=>=> => що і треба було довести. |
18. Часткові границі послідовності, верхня та нижня границі. |
Число а або +-∞ називається частковою границею послідовності {an}, якщо існує підпослідовність {ank}: . |
Визн . найбільша часткова границя {an} називається верхньою границею{an}, а найменша част. границя називається нижньою границею. |
Теорема Будь-яка послідовність має верхню та нижню границі. |
доведення Якщо {an } небом. зверху, то існує піпослідовність {ank}: => Якщо послідовність {an } обмежена зверх, то можливі 2 випадки: множина її часткових границь пуста, або не пуста. Якщо скінченних граничних точок немає, то існує тільки одна часткова границя: -∞ => . Якщо існують скінченні граничні точки, то множина граничних точок обмежена зверху =>існує supA=S. Покажемо, що S – часткова границя. Від супротивного. Нехай S не є граничною точкою {an } – це означає, що має скінченне число точокз нашої послідовності. Значить, в цьому околі немає граничних точок {an } => S не є supA, що суперечить умові. Тобто, S = maxA => S=. Аналогічно показуємо існування нижньої границі. |
Лема Якщо За умовою існує лім Тоді для
|
Теорема Послідовність {an} має границю коли її верхня границя співпадає з нижньою гран-ю. 1)(=>) лема 2)(<=) Якщо an є |