ekzamen_шпора
.docx
19. Важливі границі |
1)
Наслідок |
2) з попереднього приклада: Наслідок а) a>1
б) 0<a<1 --> 1/a > 1
|
3) Оскільки
. |
20. Границя функції. Означення за Коші та Гейне. Їх еквівалентність |
За Коші (І) Число А наз. Границею функції f: DR, при хдо a-гранична для D, якщо |
(ІІ) А називається границею функції f(x) за умови xa, якщо для . |
За Гейне (ІІІ) Число А назив. Границею функції f: DR, при хдо a-гранична для D, якщо для |
Теорема Визначення І, ІІ, ІІІ – еквівалентні |
Доведення Схема: ІІІІІІІ 1.)ІІІІ Дано: Нехай – довільна послідовність така, що.Тоді за визначенням границі
ІІІІІ Дано: для Припустимо, що умова визначення ІІ не виконується, тобто Таким чином, маємо послідовність, Що суперечить умові, тобто припущення хибне. ІІІ Випливає одразу з визначення околів. |
21. Границя функції. Локальні властивості ф-ції, що має границю. |
Оскльки визначення за Гейне пов'язує границю ф-ції з границею послідовності => всі власт. границь послідовності переносяться на власт. границь ф-ції. А саме : 1) Якщо = AR, то u0 в якому f(x) обмежена. 2)Якщо = AR, то вона єдина |
Доведення.(від супротивного) Припустимо, що 2 границі =А, = В, А => u(A) i u(A)u(B) = } =A =>u10 (a) : x u10 (a) => f(x) u(A) В => u20(a) : x u20(a) => f(x) u(В) Тоді для u10(a) u20(a) => xu0(a) => f(x) , f(x) => u(A)u(B) } -- суперечить умові Як і для послідовностей має місце : Якщо (х) - н.м. при х ->а, то 1) (х) = н.м. при х ->а ; 2) -- локально обмеженої при х ->а * = н.м. |
Наслідок 1 1) Сума n нескінченно малих при х ->а є н.м. 2) c = н.м. при х ->а 1)f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а одного знаку, то f(x)+ g(x) - н.в. при х ->а 2)Якщо f(x) - н.в. при х ->а , а g(x)-- локально обмежена при х ->а , то f(x)+ g(x) = н.в. 3) f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а f(x)*g(x)= н.в. при х ->а 4)якщо f(x) - н.в., а g(x) така що М>0 і u0(a): g(x)М, xu0(a), то f(x)*g(x) - н.в. при х ->а |
22.Границя складної (композиції) ф-цій |
нехай x0,y0 -- граничні точки, для множин Х,Y відповідно f: X->Y така, що =y0 =A Тоді ,якщо uY0(y0) uX0(x0) такий, що f(uX0(x0) uY0 (y0) , то == = A |
Доведення =A =>: u0у(y0): g(uy(y)u(A) За умовою uX0(x0): f(uX0 (x0)(uY0 (y0)=> ∀x∈u0(x0) маємо f(x)=y∈ u0(y0)=> g(f(x)) = g(y) u(A) =>(x) = g(f(x))u(A) => = А = |
23. Власт. н.м. ф-цій Арифметичні власт. границі ф-ції |
Якщо (х) - н.м. при х ->а, то 1) (х) = н.м. при х ->а ; 2) -- локально обмеженої при х ->а * = н.м. |
Наслідок1 1) Сума n нескінченно малих при х ->а є н.м. 2) c = н.м. при х ->а |
Лема = AR f(x) = A + , де -- н.м.(x-->a) |
Доведення = AR> : 0 : 0 => |f(x)-A|<, або позначивши f(x) - A; || < -- н.м. при х- |
Використовуючи лему отримуємо: арифметичні власт. ф-цій, які мають границі: Якщо =А; В, то: 1) g(x))= A+B = + 2) g(x))= AB = * 3)Якщо g(x)0, B, то g(x))= А/В = / |
Наслідок Якщо =Аi , i=(0...n), то: 1)= A1 + A2 +...+An 2)= A1 * A2 *...*An 3)N , =()^k 4) , =c* |
24. Перша чудова границя |
) = 1 |
Доведення Область визначення - D:R/{0} - ф-ція парна ; f(-x) = = = можна розглядати тільки х0 |AD|= sin x, |OD| = cos x SOCD<SOAB<Sдуги OAB , Sсек < R2* , *х*cos2x< <x Ділимо на >0 cos2 x <<1 , 1-sin2x<<1 => --> 1 |
25. Друга чудова границя |
x = e |
Доведення Розглянемо 1-й випадок 1) х -> , нехай Х = (0;) , Y=Z, f: X->Y за правилом f(x)=[x]= sup(y Z(y) при х -> => f(x)-> , x-1[x] uY( = (n; , > n ; f(u(B;))uY() Умови теореми про границю композицій при х0=у0= виконані В якості ф-ції g(y) візьмемо g0,g1.g2 : Z->R g0(n)= (1+)n , g1(n)= (1+)n , g2(n)= (1+)n+1 n = e 1(n)=n= n* *(n+1) = =e 2(n) =n+1 = )=n *)== e*1=e тоді : (x))=(x))=(x))=e Але маємо: (1+)[x] (1+)x(1+)[x]+1 =>(1+)x --> e |
26.Відношення О-велике, о-мале. Еквівалентні нескінченно малі, теорема про заміну в границях. |
Визначення1 Кажуть, що ф-ція f(x) є н.м. відносно ф-ції g(x) при x->a, якщо f(x)=(x)*g(x), де (x)- н.м. при x->a , позначення f(x) = o(g(x)) при x->a |
Визначення2 Якщо, u0(a) і обмежена в цьому окілі ф-ція (х) така, що f(x)=(х)*g(x), то кажуть , що f(x)=O(g(x)) при x->a |
Властивості : |
1) Якщо = A ; A0; A то при x->a ; f(x)= O(g(x)) g(x)= O(f(x)) Доведення = А => -- обмежена в u0(A) f(x)= *g(x) = O(g(x)) A0 => = ; 0; g(x)= *f(x) = O(f(x)) |
2) Якщо при х->а ; f(x)=O(g( (x))); g(x)=O(h(x))=> f(x)= O(h(x)) Доведення 1(х), 2(х) -- обмежені в u0(a): f(x) =1(х)* g(x) i g(x)=2(х)*h(x)=> f(x) =1(х)*2(х)*h(x) f(x)=1(х)(2(x))*h(x)=h(x)=> f(x)=O(h(x)) |
3) При х->a O(o(f(x)))=o(O(f(x)))=o(f(x)) Доведення (х) - н.м. і (х) - обмежена при х->a такі , що : О(о(f(x))) = O((x)*f(x))=(x)((x)*f(x))= (x)*f(x)= O(o(f(x)))=o(f(x)) Аналогічно: o(O(f(x))) = o(f(x)) |
Еквівалентні малі(визначення) Якщо f(x)=g(x) i =1, то кажуть, що при х->a f(x) еквівалентна g(x) і позначають : f(xg(x) при х->a |
Теорема Якщо f1(x)g1(x), f2(x)g2(x) при x->a, то 1)(f1(x)* f2(x))=(g1(x)* g2(x)) 2)()=( коли хоча б ліва або права границя існують |
Доведення За умовою f1(x)g1(x), f2(x)g2(x) при x->a => 1(x)2(x)=> f1(x)=1(x)g1(x); f2(x)= 2(x)*g2(x) при чому ( 1(x))=( 2(x))=1 Припустимо, що () = A. Тоді (=(=A=A Аналогічно інші випадки. |
27.Таблиця еквівалентних нескінченно малих. |
1) sin x x ( = 1) 2) tg x x ()=1) 3)arcsin x ( = =()=1) 4) arctg x -- доведення аналогічне 5) ln(x+1) x (===ln e=1) 6)ex-1 (()={ex-1 =t; ex=1+t->xln(1+t)}=()=1) 7)(1+x)a-1 ()===1) 8)1-cos x (1-cos x=2sin2 ()2()2 = |
28.Неперервні функції. Різні означення. Локальні властивості неперервних функцій. |
Нехай х0 D -- гранична для D f:D->R назив. неперервною в т. х0 , якщо (f(x))=f(x0) З власт. границь ф-цій => Якщо, f(x), g(x) - неперервні в т. x0 то: 1) f(x)+ g(x)- неперервна в т. x0 2) f(x)* g(x)- неперервна в т. x0 3)Якщо g(x)0, то -- неперервна в т. x0 4) Неперервність композиції ф-цій Якщо f(x)- неперервна в т. x0, g(y)- неперервна в т. у0 =f(x0), то композиція (gf)(x) - теж неперервна в т.х0 |
Локальні власт. неперервних ф-цій. Теорема Якщо f: D->R - неперервна в т. х0, то 1)Вона обмежена в деякому окілі uD(x0) 2) Якщо f(x0)0, то в деякому окілі хu u(x0): sign(f(x))=sign(f(x0)); u(а) Доведення 1) властивість ф-ції , що має скінченну границю 2)Нехай f(x0)>0 (f(x))=f(x0) => для =>0 u(x0): x u(x0) => |f(x)-f(x0)|< => < f(x)-f(x0) => f(x)>f(x0)-=>0 |
Теорема Якщо g: X->Y - неперервна в т. х0 - граничній для Х і f(x0) = y0, то gf: X->R теж неперервна в т.х0 |
29.Неперервність складної функції. Точки розриву. |
Теорема Якщо g: X->R - неперервна в т. х0 - граничній для Х і f(x0) = y0, то gf: X->R теж неперервна в т.х0 |
Точки розриву ф-ції Нехай f(x) - визначена в деякому u0(x0) , точка x0 назив. т. розрива ф-ції f(x) якщо: 1) f(x) - невизначена в т. х0 2)f(x0), але ф-ція f(x) не є неперервною в т. х0 |
Точки розриву поділяються на 2 роди: Точки розрива х0 ф-ції f(x) назив. точкою розрива 1-го рода, якщо (f(x))єR і(f(x)) єR , при чому : 1)(f(x))=(f(x))-- усувний розрив 2)(f(x))(f(x))--скінченний стрибок Якщо хоча б одна з (f(x)),(f(x)) дорівнює , або не існує => т.х0 - точка розриву 2го роду При чому, якщо існують обидві границі, але хоча б одна з них => розрив 2го роду, нескінченний стрибок, а якщо хоча б одна з них не існує => т.х0 - точка розриву 2го роду, суттєвий розрив |