Ekzamen_TV_i_MS_Vidpovidi

Питання до екзамену

з курсу теорії ймовірностей і математичної статистики

(ФММ)

1. Дескриптивна та індуктивна статистика. Поняття вибірки.

Статистика – наука, що складається з правил і процедур збирання, описання, аналізу, інтерпретації числових даних.

Мета описової (дескриптивної) статистики - обробка емпіричних даних, їх систематизація, наочне уявлення у формі графіків і таблиць, а також їх кількісний опис за допомогою основних статистичних показників.

На відміну від індуктивної статистики дескриптивна статистика не робить висновків про генеральної сукупності на підставі результатів дослідження окремих випадків. Індуктивна ж статистика навпаки припускає, що властивості і закономірності, виявлені при дослідженні об'єктів вибірки, також притаманні генеральної сукупності.

Генеральна сукупність – сукупність всіх можливих результатів вимірювань, спостережень.

Вибірка – деяка скінченна послідовність вимірювань.

2. Дискретні та неперервні дані. Приклади.

Між будь-якими двома значеннями є відстань, яка не менше якоїсь фіксованої величини – це властивість дискретних даних.

Дискретна – така змінна, котра може приймати значення лише з деякого переліку певних чисел. Приклади: кількість дітей в родині, кількість викликів «швидкої допомоги», кількість клієнтів за певний проміжок часу і т.д.

1,1.5,2,2.5, - вибірка дискретна.

Неперервною вважатимемо будь-яку змінну, що не є дискретною; вона приймає значення з деякого проміжку. Приклади: зріст дорослої людини (наприклад, від 140 до 230 см), фактична маса буханки хліба, врожайність певної культури і т.д.

3. Частотний розподіл для неперервних даних.

Варіаційний ряд вибірки – та ж сама вибірка, значення якої розташовані в порядку зростання.

255< Xn<848

Розмах вибірки=848-255=593

Кількість класів не повинна бути меншою, ніж 5 і більшою ніж 15!

Ширина класу=Розмах вибірки/Кількість класів=593/6=100

Частота класів – це кількість спостережень із варіційного ряду вибірки, які потрапляють в цей клас.

4. Частотний розподіл для дискретних даних.

См. выше

5. Гістограма для неперервних даних.

Гістограма – графічне представлення частотного розподілу (описує форму частотного розподілу).

6. Гістограма для дискретних даних.

7. Огіви.

Крапки поєднуються відрізками і утворюють ламану лінію, яка називається огівою. За нахилом огіви можливо отримати уяву про ступень різнорідності сукупності.

8. Дескриптивні міри центральної тенденції: вибіркове середнє, вибіркова

медіана, вибіркова мода.

Міри центральної тенденції дають можливість вказати середину, центр спостережень (даних):

• Вибірковим середнім  () значенням вибірки називають середнє арифметичне всіх її значень.( =1/n*суму Xi)

Приклад: 6, 9, 7, 23, 5 (n=5)

=(6+9+7+23+5)/5=10

• Медіана вибірки (Md) — це число, яке «поділяє» навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки.

• Приклад: 5, 6, (7), 9, 23

Або 5, 6, 7, 9

Медіана = (6+7)/2

• Мода вибірки — те її значення, яке трапляється найчастіше.

9. Дескриптивні міри розсіювання: середнє абсолютне відхилення,

вибіркова дисперсія, вибіркове стандартне відхилення, коефіцієнт

варіації.

Міри розсіювання – міри концентрації даних біля свого центра.

1. Середнє абсолютне відхилення:

CAВ=1/n*cума(Xj-)

2. Вибіркова дисперсія:

3. Вибіркове стандартне відхилення – квадратний корінь з вибіркової дисперсії.

4. Коефіцієнт варіації: *100% (S — стандартне відхилення; — вибіркове середнє ). КВ завжди рахується у %.

10. Дескриптивні міри положення: процентилі, квартилі. Локалізаційні

правила.

11. Міра форми: коефіцієнт асиметрії К. Пірсона.

Коефіцієнт асиметрії (англ. skewness) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини.

Sk = (3( - Md)) \ S

12. Емпіричне правило.

13. Діаграма "стовбур-листя".

Cм. выше

14. Діаграма "скриня-вуса".

15. Стохастичний експеримент: елементарні події, вибірковий простір,

випадкові події. Приклади.

16. Класичне означення ймовірності. Приклади.

17. Таблиці спряженості ознак. Маргінальні ймовірності.

18. Доповняльні події.

19. Сумісна ймовірність.

20. Ймовірність суми подій.

21. Умовні ймовірності.

22. Незалежні події.

23. Правило множення ймовірностей.

24. Формула повної ймовірності.

25. Формула Байєса.

26. Дискретні випадкові величини (в.в.) та їхні розподіли.

27. Математичне сподівання дискретної в.в. Приклад.

28. Дисперсія і стандартне відхилення дискретної в.в. Приклад.

29. Біноміальна в.в.

30. Пуасонівська в.в.

31. Функції розподілу та щільності ймовірностей неперервних в.в.

32. Нормальна в.в. Її математичне сподівання і дисперсія. Стандартна

нормальна в.в.

33. Підрахунок ймовірностей, пов’язаних з нормальною в.в. Правило

3-х сігм.

34. Коваріація і коефіцієнт кореляції двох в.в.

35. Випадкові вектори та їх математичне сподівання і коваріаційна матриця.

36. Функції розподілу та щільності сукупності в.в.

37. Незалежні в.в. та їх функції розподілу і щільності.

38. Нерівність Чебишова та його застосування.

39. Закон великих чисел в формі Хінчина.

См. выше

40. Закон великих чисел в формі Колмогорова.

41. Центральна гранична теорема для н.о.р.в.в.

42. Центральна гранична теорема Лапласа та її застосування.

43. Основні задачі математичної статистики.

44. Бажані властивості статистичних оцінок.

45. Розподіл хі-квадрат та його застосування в статистиці.

46. Розподіл Стьюдента та його застосування в статистиці.

47. Надійні інтервали для невідомого середнього нормальної сукупності.

48. Надійні інтервали для невідомої дисперсії та стандартного відхилення

нормальної сукупності.

49. Нульова та альтернативна гіпотези. Помилки 1-го та 2-го роду.

Рівень значущості. Приклади.

50. Перевірка гіпотези про середнє значення нормальної сукупності.

Двобічний тест.

51. Перевірка гіпотези про середнє значення нормальної сукупності.

Однобічні тести.

52. Перевірка гіпотези про дисперсію нормальної сукупності.

Двобічний тест.

53. Перевірка гіпотези про дисперсію нормальної сукупності.

Однобічні тести.

54. Лінійна модель регресії як апроксимація невідомої поверхні відгуку

складної системи.

55. Оцінювання невідомих параметрів лінійної моделі регресії методом

найменших квадратів.

56. Матрична форма оцінки найменших квадратів (ОНК).

57. Приклад простої лінійної регресії.

58. ОНК невідомої дисперсії випадкових помилок спостережень.

59. Принцип максимальної вірогідності оцінювання невідомих параметрів.

Випадок існування щільностей спостережень. Приклад.

60. Принцип максимальної вірогідності оцінювання невідомих параметрів.

Випадок дискретних спостережень. Приклад.

61. Принцип максимальної вірогідності в лінійній моделі регресії.

62. Надійні інтервали для параметрів простої лінійної регресії.

63. Надійний інтервал для дисперсії похибки спостережень в простій лінійній

моделі регресії.

64. Перевірка гіпотез значущості параметрів простої лінійної регресії.