ekzamen_шпора
.docx
46.Теорема про залишок формули Тейлора |
Якщо на [a;b] f(x) – неперервна і має (n+1) похідну на (a;b), то для ∀g(x) – диференційованої на (a;b) такої, що g’(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a;b) ∃c між x i x0 : , ∀x,x0 ∈ [a;b] |
Доведення Розглянемо функцію: при фіксованих x0 i x. ; ⇒ ; , ⇒ Для функції F(t) i g(t) виконані умови теореми Коші ⇒ між x0 i x ∃c таке що: ⇒ |
Формула Тейлора з залишком в формі Лагранжа |
47. Локальна теорема Тейлора |
Нехай f(x) - (n+1) диференц. на (a;b), причому ∃M: |f(n+1)(x)| ≤ M ∀x ∈ (a;b) Тоді ∀x, х0 ∈ [a;b] ⇒ формула Тейлора з залишком у формі Пеано. |
Доведення Залишок в формі Лагранжа має вигляд = o = ⇒ |
48.Формула Тейлора для головних елементарних функція |
x0 = 0 1. 2. 3. 4. 5. Доведення 1. ⇒ ∀k ⇒ ∀k 2. ⇒ ∀k ⇒ ∀k 3. ⇒ ∀k ⇒ ∀k 4. ⇒ ⇒ ∀k ≥ 1 5. ⇒ ⇒ ⇒ |
49. Необхідні та достатні умови локального екстремуму функції в термінах першої похідної |
необхідні Для того щоб точка x0 ∈ (a;b) була точкою внутрішнього екстремума функції – необхідне виконання однієї з двох умов 1. f(x) – недиференційована в т. x0 2. f’(x) = 0; |
Доведення Якщо x0 ∈ (a;b) точка екстремума , то можливі два випадки: 1. f(x) – недиференційована в т. x0 – виконана умова. 2. f’(x) диференційована в т. x0 тоді за теоремою Ферма f’(x0) = 0 ⇒ виконана умова 2. Точки в яких для f(x) виконано умови 1,2 називаються критичними точками f(x) |
достатні Нехай f(x) – диферент. в деякому проколотому околі U(x0), x – критична для f(x) Якщо f’(x) не міняє знак при переході через т. х0 то в т. х0 екстремума немає ∃б > 0 Якщо f’(x) міняє знак через т. х0 тобто ∃б > 0 то в т. х0 екстремум є, при чому якщо , - т. х0 екстремума, якщо , - т. х0 максимума |
Доведення , ⇒ на інтервалі (x0 - б; х) f(x) спадає, а на інтервалі (x0; x0+б) – зростає ⇒ f(x0) = inf f(x), x є (x0 - б; х), f(x0) = inf f(x), x є (x0; x0+б) ⇒ f(x0) = min f(x) – локальний мінімум, x є (x0 - б; x0+б) анагалогічно, |
51. Достатні умови локального екстремуму функції за першою похідною |
Нехай f(x) – диферент. в деякому проколотому околі U(x0), x – критична для f(x) Якщо f’(x) не міняє знак при переході через т. х0 то в т. х0 екстремума немає ∃б > 0 Якщо f’(x) міняє знак через т. х0 тобто ∃б > 0 то в т. х0 екстремум є, при чому якщо , - т. х0 екстремума, якщо , - т. х0 максимума |
Доведення , ⇒ на інтервалі (x0 - б; х) f(x) спадає, а на інтервалі (x0; x0+б) – зростає ⇒ f(x0) = inf f(x), x є (x0 - б; х), f(x0) = inf f(x), x є (x0; x0+б) ⇒ f(x0) = min f(x) – локальний мінімум, x є (x0 - б; x0+б) анагалогічно, |
52. Достатні умови локального екстремуму функції в термінах вищих похідних |
Нехай f(x) визначена в деякому U(x0) при чому , а . Тоді якщо n=2k+1 то в т. x0 екстремума немає. Якщо n = 2k то в т. x0 екстремум є, при чому якщо то т. x0 – min, то т. x0 – max |
Доведення За теоремою Тейлора ⇒ ∃б > 0 множник зберігає знак Тоді у випадку n=2k+1, міняє знак при переході через х0 разом з (x-x0) ⇒ різниця міняє знак при переході через х0 ⇒ в т. х0 екстремума немає. При n = 2k, різниця зберігає знак, причому якщо ⇒ т. min, якщо ⇒ т. max |
53. Опуклі функції, різновиди означення опуклості |
Функція називається опуклою вниз (вверх) на цьому інтервалі якщо i має місце опукла вниз , графік функції знаходиться під хордою опукла вверх – графік функції знаходиться над хордою |
Переформулювання визначення опуклості Позначимо через х = (1-a)x1 + ax2 = x1 + a(x2-x1). Виразимо a через х . Таким чином нерівність приймає вигляд ; x2 – x1 > 0; x – x1 > 0; x2 – x > 0; Визначення 2 f(x) опукла вниз (вверх) на інтервалі (a;b) якщо і має місце Строгій нерівності, відповідає строга опуклість |
55. Опуклі функції, точки перегину. Умови існування точки перегину. |
Якщо і x0 така, що на і на f(x) опукла різного характеру опуклості, то точка х0 називається точкою перегину f(x) |
Тверждення Якщо на (a;b) і х0 (a;b) є точкою перегину f(x) то x0 є критичною для . |
доведення х0- точка перегину f(x)=> за критерієм опуклості в цій точці міняє характер монотонності => це точка екстремума => в цій точці не існує, або =0, тобто, х0-критична для . Достатня умова точки перегину є зміна знаку при переході через цю точку. |
54.Критерій опуклості диференційованих функцій |
Диференційована на (a;b) функція f: (a;b)R опукла на (a;b) її похідна монотонна на (a;b). При цьому, не спаданню функції відповідає опуклість вниз, а незростанню – опуклість вверх. Строгій монотонності похідної відповідає строга монотонність. |
доведення Нехай, для визначеності, розглянемо випадок опуклої вниз функції. (=>) f(x) – опукла вниз => (з нерівності 2 ) Тоді З іншого боку, якщо xx2, то – неспадна на (a;b). Аналогічно показуємо, що в випадку f(x) – опукла вверх => – не зростаюча. Якщо f(x) – строго опукла вниз, то маємо строгу нерівність(крім того, що її похідна неспадна!): Для f(x) виконані умови теореми Лагранжа, а значить, -зростаюча. Аналогічно, для вверх отримуємо, що -спадна (<=) Нехай f(x)-диференційована на (a;b): - неспадна. Тоді Аналогічно, для зростаючої функції отримуємо нерівність 2 зі знаком опукла вверх. Випадок строгої монотонності: якщо - зростаюча, то отримуємо: |
Наслідок Якщо (a;b) опукла вниз на (a;b) Якщо (a;b) опукла вгору Якщо (a;b) опукла вниз на (a;b) Якщо (a;b) опукла вгору на (a;b) |
56. Нерівність Йенсена. Наслідок з неї |
Якщо f: (a;b) R опукла вверх (вниз) на (a;b), то для x1,x2,x3…xn (a;b) і для – невід’ємних, таких, що має місце: |
Доведення За методом ММІ: n=2 – визначення опуклості вверх (вниз). Нехай для n-1 виконується, тоді для n – маємо: Нехай для визначеності Позначимо ,що і треба було довести. |
Наслідок З доведення видно, що якщо і f(x) строго опукла, то знак «=» в нерівності Йенсена може бути лише в випадку х1=х2=…=хn. |
57. Асимптоти графіка функції. Схема побудови гр.функції. |
Пряма l називається асимптотою кривої на координатній площині, якщо відстань від точок M(x;y) з кривої до прямої l прямує до 0 за умови M(x;y) 0. І. Вертикальні асимптоти Це прямі, рівняння яких має вигляд х=х0. Тоді, для графіка функції y=y(x) пряма х=х0 буде асимптотою тоді і тільки тоді, коли:
Це означає, що вертикальні асимптоти для графіка функції y=y(x) можуть бути тільки в точках розриву ІІ роду, або на границі обл. визначення. |
ІІ. Горизонтальні асимптоти Горизонтальні ас-ти – прямі l: y=b
M(x,y)∞ x±∞ і умова 0 |
ІІІ. Вертикальні асимптоти Прямі, що задаються рівнянням y=kx+b M(x,y)∞ x±∞ d(M(x,y);l)=|MM2|=|MM1|*sinφ =>d(M,l)=|MM2|0 |MM1| 0. |MM1|=|y(x)-l(x)|=|y(x)-kx-b|0 тоді
|
Теорема l: y=kx+b буде асимптотою для графіка функції y=y(x) тттк
|
доведення (=>) y=kx+b – асимптота, тоді
Із умови (<=) дано: =>=> y = kx+b – асим-а графіка функції. Аналогічно доведення -∞. |
Схема побудови графіка. Область визначення; Парність/непарність, періодичність; Точки перетину з осями координат; Інтервали неперервності, точки розриву, асимптоти; Дослідження за допомоги першої похідної – монотонність; Дослідження за допомогою другої похідної – опуклість; Наносимо на координатну площину характерні точки, точки перегину, асимптоти, будуємо ескіз графіка. |
58. Первісна та невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. |
F(x) називається первісною функції f(x) на (а;б) якщо |
Теорема |
Якщо F(x) якає первісною для f(x) на (a;b) то для будь-якої іншої її первісної Ф(х) на (a;b) існує константа така, що Ф(х)= F(x)+С. І навпаки, для будь-якої константи: Ф(х)= F(x)+C буде первісною f(x). |
Доведення 1. Ф(х), F(x) – первісні f(x) =>для H(x)= Ф(х)- F(x), маємо: За наслідком з теореми Лагранжа - H(x)=С => Ф(х)- F(x)=C=> Ф(х)= F(x)+С 2. С = const: - теж первісна для f(x) |
Визначення Множина всіх первісних f(x) на (a;b) називається невизначеним інтегралом від f(x) на (a;b) і позначається . f(x) називається підінтегральною функцією. |
Таблиця інтегралів |
59. Властивості невизначеного інтегралу |
Якщо |
доведення За властивостями похідних, похідна За властивостями похідних, доведення аналогічно до 3. Заміна змінних: якщо на деякому проміжку (a;b) і – диференційована функція , то |
доведення За формулою похідної складної функції маємо: |
Зауваження За властивістю 5 => якщо, то Якщо , то = |
Інтегрування за частинами , якщо – диференційовані. З властивостей диференціалів: d(uv)=udv+vdu=> udv = d(uv) – vdu => |
60. Інтегрування раціональних дробів |
де - многочлени стемені M i N відповідно. Найпростіші дроби ; ; ; |
Інтегрування найпростіших |
В загальному випадку теорема Якщо дріб- правильна, тобто m<n і знаменник розкладено на множники, тобто . То дріб розпадеться на суму найпростіших.
|
61.Інтегрування тригонометричних виразів. |
Нехай R(sin x,cos x) -- раціональний вираз змінних sin x,cos x((sin аx,cos аx)!) |
1.Універсальна тригонометрична підстановка |
t=tg() => sin x = = cos x = = x=arctg(tg)) => 2arctg t => dx= (-π<x<π) =>;) |
a)Якщо R(-sin x,-cos x) = R(sin x,cos x) => може допомогти підстановка t= tgx або t=ctg x cos^2(x) = = ; sin x ==; dx= |
б) R(sin x,cos x)= cosmx * sinnx Можливі випадки: 1) m - непарне (2к+1) => cosmx sinnx dx=(cos2kx*sinnx*cosx)dx=(1-sin2(x))ksinnxd(sinx)={t=sin x}=(1-t2)tndt 2) n-непарне (2к+1) => cosmx*sinnx=cosmx*sin2kx*sinx dx = 1-cosmx(1-cos2x)k d(cosx)={t=cos x}= -tm(1-t2)kdt 3)m,n -- парні; m=2k; n=2l => sin x*cosx =sin2x; cos2x=; sin2x= 4)sin(cx+b)dx =>застосовуємо ф-ли перетворення добутку в суми: sina *cosb=1/2(cos(a+b)+sin(a-b)); cosa*cosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)) sina*sinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)) |
63. Нескінченно великі. Їх влст. |
1)f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а одного знаку, то f(x)+ g(x) - н.в. при х ->а |
2)Якщо f(x) - н.в. при х ->а , а g(x)-- локально обмежена при х ->а , то f(x)+ g(x) = н.в. |
3) f(x), g(x) -- неск. великі при х ->а f(x)*g(x)= н.в. при х ->а |
4)якщо f(x) - н.в., а g(x) така що М>0 і u0(a): g(x)М, xu0(a), то f(x)*g(x) - н.в. при х ->а |
Зв'язок н.в. і н.м. |
якщо f(x) -- н.в. ,а α(x) -- н.м. при х ->а , то = н.м. , а - н.в. |
Заув. Якщо f(x) -- н.в. ,а α(x) -- н.м. при х ->а; f(x)* α(x) -- може бути яким завгодно |
62.Інтегрування ірраціональних виразів |
1)Якщо підінтегральна фунція містить різні корені даного виразу заміна => ax+b=tN, N-підбирається Або =tN |
|
Диф. Біном
Вираз під інтегралом – це диф.біном(m,n,p – раціональні числа) 1)p-ціле, підстановка x=tN,де N таке щоб добувалися корені заховані в n |
Приклад: m=0,n=4,p=-1/4 – не ціле. 2)m+1/n=1/4 не ціле 3)m+1/n+p=0 ціле ;
|