- •О. О. Абакумова
- •Загальні положення
- •Вимоги до роботи
- •Індивідуальні завдання до контрольних робіт
- •Теоретичні відомості Апроксимація функцій. Обчислення багаточленів. Схема Горнера
- •, . (1)
- •Інтерполяція функцій. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа
- •Звичайні диференційні рівняння. Задача Коші
- •Зразок виконання завдань
- •Критерії оцінювання
- •Список літератури
Зразок виконання завдань
Завдання 1: використовуючи схему Горнера, скласти таблицю значень багаточлена на відрізкуз крокомh=0.25. Обчислення проводити з точністю 0.001. Побудувати графік апроксимуючої функції.
Розв’язання:
Для обчислення за схемою Горнера складемо таблицю, що міститиме всі проміжні результати та значення шуканого багаточлена.
У верхньому рядку таблиці запишемо коефіцієнти даного багаточлена, а у першому стовпчику – значення аргумента x. Решта рядків міститимуть значення , які у схемі Горнера знаходяться за єдиною формулою:
, ;
0.883 |
-1.217 |
1.452 |
0.572 |
-2.343 |
1.158 | |
0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 |
0.883 0.883 0.883 0.883 0.883 0.883 0.883 |
-0.7755 -0.5547 -0.3340 -0.1132 0.1075 0.3282 0.5490 |
1.06425 1.0359 1.1180 1.3104 1.6132 2.0264 2.550 |
1.1041 1.3490 1.6900 2.2100 2.9919 4.1183 5.6720 |
-1.7909 -1.3313 -0.6530 0.4196 2.1448 4.8640 9.0010 |
0.2625 0.1595 0.5050 1.6824 4.3752 9.6699 19.1600 |
В останньому стовпчику таблиці отримуємо шукані значення багаточлена P(x).
Відповідь:
|
|
0.50 |
0.263 |
0.75 |
0.160 |
1.00 |
0.505 |
1.25 |
2.373 |
1.50 |
4.375 |
1.75 |
9.670 |
2.00 |
19.160 |
Побудуємо графік апроксимуючої функції (рис. 1):
Рис. 1. Графік апроксимуючої функції
Завдання 2: Для функції , що задана таблицею:
1 |
3 |
4 | |
12 |
4 |
6 |
побудувати інтерполяційний багаточлен Лагранжа та обчислити значення заданої функції у точках , ,,. Побудувати графік функції.
Розв’язання:
Згідно (6) за маємо:
.
;
;
;
.
Побудуємо графік функції (рис. 2):
Рис. 2. Графік функції
Відповідь: ;
; ;;.
Завдання 3: Методом Ейлера скласти розв’язок задачі Коші для звичайного диференційного рівняння на відрізку [0; 1] з кроком h=0.2 за початкових умов . Обчислення проводити з точністю 0.0001. Побудувати графік знайденого розв’язку .
Розв’язання:
Розрахункові формули методу Ейлера матимуть вигляд:
Результати обчислень заносимо до таблиці:
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0.2 |
0.8919 |
2 |
0.4 |
0.8061 |
3 |
0.6 |
0.7455 |
4 |
0.8 |
0.7115 |
5 |
1 |
0.7035 |
Побудуємо графік знайденого розв’язку (рис. 3):
Рис. 3 Графічний розв’язок задачі Коші
Критерії оцінювання
Оцінювання домашньої контрольної роботи відбуватиметься на основі аналізу наступних факторів:
наявність розрахункових формул;
наявність проміжних розрахунків;
формат подання відповіді;
правильність виконання аналітичної частини роботи;
правильність виконання графічної частини роботи;
оформлення роботи.
«Відмінно», повне правильне виконання роботи, відповідність зазначеним критеріям – 20-19 балів;
«Добре», повне виконання роботи з певними незначними недоліками – 18‑15 балів;
«Задовільно», повне виконання роботи із значною невідповідністю зазначеним критеріям – 14-12 балів;
«Незадовільно», неповне та/чи неправильне виконання роботи, невідповідність зазначеним критеріям – 11-0 балів.