сборник задач по динамике

Пример 7.3. Пользуясь принципом возможных

a

А

С

перемещений, определить реакции составной рамы.

Момент М пары сил и сила F заданы (рис. 7.3 а).

M

Решение. Определим момент заделки А (рис. 7.3, б).

Заменим заделку шарнирно-неподвижной опорой, приложив

b

с

при этом к стержню АС пару сил с моментом МА. Дадим

F

системе возможное перемещение, повернув стержень АС на

В

угол

вокруг шарнира А, тогда рама СВ повернется вокруг

мгновенного центра вращения (МЦВ) О. Сумма возможных

Рис. 7.3 а

работ сил, приложенных к раме, равна нулю

MА

С

M A

M

a

F cos

b

F sin

c

0

О (МЦВ)

учитывая

sC

c

, откуда

a / c

и

А

M A

M

F cos

ab / c

F sin

a

0 ,

M

M A

M

Fabcos

/ c

Fa sin .

б)

Для

определения

горизонтальной составляющей

F

заделки

X A

представим

опору

в

виде

ползуна

А в

В

направляющих, жестко скрепленного с рамой АС, и

А

приложим к нему реакцию X A

(рис. 7.3, в). Сообщим

X A

С

раме АС поступательное возможное перемещение

s ,

s

M

например вправо, тогда и рама СВ сместится вправо на

s . Составим уравнение работ для определения X A :

в)

s

X A

s

F cos

s

0 .

Откуда X A

F cos .

F

В

Для определения вертикальной составляющей

заделки

YA

заменяем заделку ползуном А в

s

вертикальных направляющих, жестко скрепленным

О (МЦВ)

с рамой

АС,

и

приложим

к

нему

реакцию

YA

С

(рис. 7.3,

г).

Сообщим всей раме АС возможное

M

перемещение

s , например, вверх. Тогда рама СВ

YA

повернется на возможный угол

вокруг МЦВ О.

г)

Составим уравнение работ

F

YA

s

F cos

b

F sin

c

0 ,

В

учитывая

s

c

, получаем

7.5. Задачи для самостоятельного решения

В

А

F

1) К звену ОА шарнирного четырехзвенного

механизма приложена сила F. Определить момент пары

M

сил, которую надо приложить к звену О1В длиной а,

45°

O

чтобы механизм в данном положении был в равновесии.

O1

Ответ: M

Fa 2 .

2) К ползуну В дезаксиального кривошипно-

А

шатунного

механизма

приложена

горизонтальная

M

сила

Р.

Определить

момент

М,

который

надо

приложить

к

кривошипу

ОА

длиной

r,

чтобы

O

В

механизм

находился

в

равновесии

в

том

В1

положении,

60 и

AOB

60 .

P

Ответ: M

rP 3 .

M

3) Определить уравновешивающий момент М

2

1

на валу 1, если вал 2 приводится в движение

электромотором мощностью N = 5,7 кВт и делает n

= 1500 об/мин, числа зубцов: z1 = 24, z2 = 72. (15,9).

z1

4)

К

ползуну В

кривошипно-шатунного

z2

механизма приложена горизонтальная сила F.

P

Определить силу Р, которую надо приложить в

А

точке А перпендикулярно к кривошипу,

чтобы

30

В

механизм

в данном

положении

находился в O

F

равновесии. Если ОА = 30 см, АВ = 113 см.

Ответ: P

0,616F .

M

2

5)

Определить момент

М,

который

нужно

1

r

приложить к валу 1, для равномерного подъема

груза весом Р = 10 кН, радиус барабана r = 20 см, а

числа зубцов z1 = 20, z2 = 80.

(0,5 кНм).

z1

z2

6) Горизонтальная балка АС заделана концом С

В

в вертикальную стену и нагружена парой сил с

моментом М2 = 600 Н м. Балка АВ, опирающаяся на

подвижную опору своим концом В, нагружена парой

M1

P

сил с моментом М1 = 400 Н м. Определить модуль

60°

момента заделки.

С

Ответ: 400 Н м.

А

M2

7)

На

конструкцию

действуют:

q

F

нагрузка интенсивности q = 2 кН/м, сила Р =

60°

4кН,

сила

F = 12 кН, направленная под

6м

3м

3м

углом

60°

к

горизонту,

и

пара сил

с

M

моментом М = 18 кНм. Определить реакции

P

опор.

3м

Ответ: ХА

= 2 кН; YА = 3,8 кН;

А

В

YВ = 18,588 кН; МА = – 24 кН.

b

c

P

q

В

D

F

b

С

b

С

С

m

d

b

P

c

P

a

a

q

F

m

М

a

А

E

А

d

d

c

А X A ,YA , X E ,YE

?

X A ,YA , X B ,YB

?

В

X B ,YB

?

В

F

F

b

m1

В

D

В

С

D

С

a

b

c

F

М

d

a/2

m2

q

В

b

q

С

А

a

E

m

d

a/2

d

a

b

c

P

X A ,YA ,YB

?

А

А

X A , XC ,YC , MC

?

q

X A ,YA , X E ,YE

?

соответствии с принципом Даламбера (6.3) для каждой точки выполняется

Fk Rk Фk 0 ,

(8.1)

Умножая обе части (8.1) скалярно на возможное перемещение

rk и

суммируя по всем точкам системы, получаем общее уравнение динамики

N

(8.2)

(Fk Rk Фk )

.

rk 0

k 1

динамики запишется в виде:

.

(Fk

Фk )

0

rk

В аналитической форме:

(Fkx

Фkx ) xk

(Fky Фky ) yk (Fkz Фkz ) zk 0 .

N

(Fk

mk rk ) rk 0 .

(8.3)

k 1

Подставляя сюда выражение для

rk и используя тождества Лагранжа,

получаем уравнения Лагранжа II рода:

d

T

T

Qi

(i = 1, 2, , n).

(8.4)

dt

qi

qi

A(M Ф ) 0 .

Ф

Ak

A(mg)

A(Mk )

A(Ф )Fk

M

s

N

Возможная работа силы нормальной реакции равна нулю,

M k

aC

С

поскольку она перпендикулярна перемещению диска.

Ф

Дадим диску возможное перемещение

s, при этом

mg

диск повернется на угол ,

s = R .

Работа силы тяжести и момента трения качения

A(mg) mg sin s ,

A(M k )

M k

mg cos

fk .

Рис. 8.1

Работа главного вектора сил инерции диска:

A(Ф )

Ф s

maC

s .

Работа главного момента сил инерции относительно центра диска С:

A(M Ф )

M Ф

J

mR2

mR

a

m

a s .

C

2

2

C

2

C

Суммируем возможные работы: mg sin s

mg cos f

s

ma

s

m

a

s 0 .

k R

C

2 C

Отсюда находим ускорение центра масс диска a

2

g(sin

f

k

cos

R) .

3

C

показываем задаваемые силы тяжести m1g ,

m2 g , нормальные реакции боковых

3

граней N1 , N2

и силы трения F1тр , F2тр .

1

s

а)

N1

Ф1

N2

Приложим к грузам силы инерции Ф

и

1

s

2

Ф2 , направив их противоположно ускорению

F

1тр

a . Сообщим

мысленно

системе возможное

a

m2 g

Ф2

m g

F2тр

перемещение

s . Составим общее уравнение

1

динамики:

б)

(m g sin

Ф

F

) s

( m g sin

Ф

F

) s

0 ,

Рис. 8.2

1

1

1тр

1

2

2тр

T

Ф1

m1g sin

m1a

m1gf cos

m1g sin

m2a

m2 gf cos

0 ,

N

x

1

m1g(sin

f cos )

m1g(sin

f cos )

1

a

.

F

1тр

m1

m2

m1g

Для определения натяжения нити расчленим систему

и рассмотрим в отдельности груз 1(рис. 8.2, б), к показанным силам m1g ,

N1 ,

F1тр и Ф1 добавляется реакция каната T . Так как эти силы уравновешиваются,

то по принципу Даламбера

m1g sin

Ф1

F1тр

T

0 , откуда

T

m1g sin

m1a

m1gf cos .

d

T

T

Q .

O

dt

h

c

Кинетическая

энергия

системы определяется как

сумма

x

кинетической энергии стержня и кинетической энергии груза:

C

hC

l

2

Mg

T

T

T

1

J

2

MvA

,

ст.

гр.

2

O

2

где JO

ml

2

3

– момента инерции стержня, и vA

l

l .

A

hA

1 ml 2

2

Mv2

ml 2

2

M (l

)2

1

2 2

mg

T

A

(m 3M )l .

2 3

2

6

2

6

Рис. 8.3

Отсюда находим

T

0

,

T

1

(m 3M )l 2

,

d

T

1

(m 3M )l2 .

(1)

3

dt

3