сборник задач по динамике

расстояния между осями, т.е.

J z

J z Md 2

.

1

относительно того же центра О: LO Lxi Ly j Lz k

LOk

rk mk vk .

dLO dt MOe

(5.1)

dLx dt M xe , dLy dt M ye , dLz dt M ze

.

(5.2)

e

равен нулю, т.е.

M

0 , тогда dL

dt

0 и

L const .

O

O

O

2. Если M xe

0 , тогда dLz dt

0

Lz

const

.

(5.3)

Пример 5.1. Груз В массы m1

поднимается с посредством каната,

навитого

сплошным цилиндром. В начальный момент барабан и груз находились в

покое.

mвр

Решение. Применим теорему (5.2) об изменении

кинетического момента относительно оси Оz (проходит

А

через точку О перпендикулярно плоскости рис. 5.1):

O

r

платформа и человек имели нулевые скорости (рис. 5.2).

Решение. Платформа и человек образуют систему.

u

Кинетический момент этой системы относительно

вертикальной оси Оz есть константа, поскольку

O r

внешние силы не создают момент относительно этой

оси (2-й закон сохранения): Lz

const или Lz

Lz 0 .

R

Кинетический момент системы в начальный момент времени

Lz 0 0 , т.к. платформа и человек имели нулевые скорости.

В последующий момент, человек идет по платформе

Рис. 5.2

Lz

Lплатф.

Lчел. J

mvчел.r ,

где ω – угловая скорость платформы,

vчел. – абсолютная скорость человека.

Тогда J m( r u)r 0 .

Учитывая,

что

момент

инерции платформы

относительно оси J

MR2 / 2 , находим

2mur (MR2

2mr2 ).

его угловую скорость. (

P v

v 2P

Q r 0.6c 1 ).

1

2

5) Через неподвижный блок весом

Q = 50 Н переброшена веревка, к

движения человека. ( v (gt(P

P )

uP) (P

P

Q / 2) 5,2 м/с).

2

1

1

2

6) Однородный горизонтальный диск радиуса R = 10 см и веса Р =215 Н

вращался с постоянной угловой

скоростью ω0

вокруг вертикальной оси,

скорость диска уменьшится в 10 раз, если к нему приложить момент

сопротивления М = – 1,5ω Н∙см. (t = 16,8 c).

A

7) Через блок А весом Q переброшена невесомая

М1

нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены

М2

грузы М1 и М2 весом Р1 и Р2 соответственно. Грузы

60°

расположены на гладких плоскостях, отклоненных от

30°

горизонта на углы 30° и 60°. Считая блок однородным

диском, определить ускорение грузов. ( а

g (P

3

P) (2(P

P )

Q) ).

2

1

2

8) Грузы 1 и 2 весом P1 и P2, разматывая нити, навернутые на

блоки, жестко скрепленные между собой и насаженные на общую

ось, приводят их во вращение. Пренебрегая весом нитей и считая

O

блоки однородными дисками радиусов r и R, весом

соответственно Q1 и Q2, определить угловое ускорение блоков.

(

2g(Pr

P R) ((2P

Q )r2

(2P

Q )R2 ) ).

1

1

2

1

1

2

2

9) Два

блока

весом

Р1

и

Р2

и

радиусов

М

2

соответственно r1

и r2

жестко скреплены между

собой и насажены на общую ось вращения. К концу

F

одной веревки, намотанной на блок, прикреплен

груз М весом Q, расположенный на плоскости,

отклоненной от горизонта на угол

, к концу другой приложена сила F.

Считая блоки однородными дисками и пренебрегая весом

y

веревок и трением, определить угловое ускорение блоков.

А

NA

2g(Fr

Qr sin

)

(Pr

2

P r2

2Qr2 ) .

Ответ:

2

1

1 1

2 2

1

10) Стержень АВ длиной

1

м и массой 2 кг,

С

опирающийся на вертикальную гладкую стену по углом

= 30°, начинает скользить.

Определить нормальную

NB

реакцию NB в точке В, если проекция ускорения центра

G

В

масс С на ось Oy имеет значение

y

1.84 м/с2. (15.9).

О

x

C

n

m v2

1

MvC2

m v2

T

k k

или

T

k kr

.

(6.1)

2

2

2

k 1

1

1

2

2

vC

T

2

MvC

2

JCz

,

ω

соответственно. Для твердого тела Aki 0 , тогда

T2 T1

Ake

.

(6.2)

(6.3)

ma

F

R или

F

R (

ma)

0

F R Ф 0

,

где F – равнодействующая

активных

сил,

R –

равнодействующая

реакции

связей, a – абсолютное ускорение точки, ma

Ф – сила инерции.

Выражение

(6.3)

выражает

принцип Даламбера для материальной

Fx

Rx Фx

0, Fy

Ry

Фy

0 , Fz

Rz Фz

0 ,

где Фx mx , Фy

my , Фz

mz .

Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы и суммируя,

получаем принцип Даламбера для системы:

.

(6.4)

Fk

Rk

Фk

0

Умножив каждое уравнение в (6.12) векторно слева на радиус-вектор

rk

k-й точки и просуммировав их, получаем

mO (Fk )

mO (Rk )

mO (Фk ) 0

.

Пример 6.1. Одинаковые блоки 1 и 2 массой и радиусами, представляю-

щие собой однородные диски, начинают движение из состояния покоя под

действием силы тяжести. Определить скорость центра С блока 1 после того, как

он опустится вниз на расстояние s = 1 м (рис. 6.2).

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы

(6.2): T

T

Ae

, где T

0

по условию.

ω2

0

k

0

Запишем кинетическую энергию системы: T

T1

T2 .

2

Кинетическая энергия диска 1:

T

mv2

2

J

2

2 ,

где

J

mr2 2 и

1

v

r , то

1

C

1 1

1

C

ω1

mg

2

2

2

2

2

2

vA

1

mr

T1

mvC

vC

mvC

mvC

3mvC

.

МЦС

2

C

2

2

2

r

2

4

4

vC

Кинетическая энергия диска 2:

vA

1

s

22 2 , где J2

mr2

T2

J2

2 и

2

vA

r

2vC

r , то

mg

T

J

2

2 2

mv2 .

Рис. 6.2

2

2

C

Окончательно, кинетическая энергия системы: T

3mv2

4

mv2

7mv2

4 .

C

C

C

При движении системы работу совершает только сила тяжести блока 2:

Ake

Amg

mgs . Подставляя полученные выражения для Т и

Ake

в (6.2),

находим скорость центра С блока 1:

7mv2

4

mgs

v

4g 7

2,368 м/с.

C

C

Пример 6.2. На цилиндрический каток А радиусом R и массой М намотана

нить, перекинутая через блок и несущая на конце груз B массой m. Определить,

какую скорость vC

будет иметь цент С катка, пройдя путь s,

если в начальный

момент система находилась в покое. Коэффициент трения качения катка равен

k. Массой нити и блока пренебречь. Каток считать однородным круглым

цилиндром (рис. 6.3).

vB

Решение. Воспользуемся формулой (6.2)

A

T

T0

Ake .

(1)

C

v

C

По условию задачи T0

0 , а T

TA

TB .

R

N

B

Кинетическая энергия катка,

совершающего

Mg

k

mg

плоское движение, определяется как

Fтр

TA

2

J A

2

2

2

2

2

vB

MvC 2

2

MvC 2

MR

4

3MvC

4

Р

Рис. 6.3

Кинетическая энергия груза В: T

mv2

2

m(2v )2 2

2mv2 .

B

B

C

C

Ненулевая работа всех внешних сил:

Ake

Amg

AMk .

Работа силы тяжести груза В:

Amg

mgh

2mgs .

Работа сил сопротивлению качению катка:

AMk

M k

kN

kMgs / R .

Подставляя найденные значения в уравнение (1), получим

3

Mv2

2mv2

2mgs kMgs / R , откуда v 2

gs(2m

kM / R) .

4

C

C

C

3M

8m

Составим условие равновесия для всех сил.

Cu

M u

Ru

y

M

m (F )

0 :

Gsin

r

r

0 ,

(1)

P

k

C

u

Fkx

0 :

Ru

G sin

Fтр

0 ,

(2)

R

С

Fky

0 :

N

G cos

0 .

Fтр

N

Учитывая, что Rи

ma

,

M u

J

mr2 / 2 ma r / 2 ,

C

C

C

C

х

G

из (1):

maC r / 2 mg sin

r

maC

r 0

aC

2g sin / 3

Р

из (2): Fтр mg sin

maC

mg sin

/ 3 .

Рис. 6.4

Так как Fтр

fN

fmg cos

, тогда mg sin

/ 3

fmgcos

,

Отсюда коэффициент трения f

tg

3.

5) Тело скользит по гладкой горизонтальной плоскости

1

2

под действием силы тяжести тела 3. Определить натяжение

нити, если тела 1 и 3 имеют массу m = 3 кг каждый. Массой

1

блока 2 пренебречь. (14,7 Н).

3

O

6) Определить модуль реакции шарнира О, если груз 2

массой m2 = 5 кг под действием силы тяжести опускается с

ускорением а = 3 м/с2. Масса блока 1 равна m1 = 5 кг, а его

центр масс расположен на оси вращения. (132 Н).

2

a

2

7) Двухступенчатая ракета в момент пуска в вертикальном

направлении развивает реактивную силу R = 90 кН. Массы ступеней

ракеты равны m1 = 200 кг и m2 = 100 кг. Определить силу давления

1

между ступенями ракеты в момент пуска. (30 кН).

8) По

наклонной

плоскости

под

действием

силы

R

тяжести катится без скольжения тонкостенная труба.

Определить ускорение центра масс трубы.

30°

Ответ: 2,45 м/с2.

9) Однородный стержень длиной l = 1,5 м

l

начинает вращаться в

горизонтальной

плоскости из

О

состояния покоя под действием силы F . Определить,

х

при каком расстоянии х в начальный момент движения

F

реакция в шарнире О равна нулю? (1 м).

F

10) Однородный

цилиндр

массой

400

кг

под

s

действием

силы

F

катится

по

горизонтальной

30°

плоскости. Центр масс С цилиндра движется согласно

С

уравнению s

0,5t 2 . Определить модуль силы F .

Ответ: 693 Н.

2

11) Груз 1 массы m1, опускаясь вниз, приводит в

движение

посредством

нерастяжимой

нити,

переброшенной через неподвижные блоки, грузы 2 и 3

1

массой m2

и m3 соответственно. Определить силу

3

давления стола на пол, если масса стола равна M.

Массой нити пренебречь.

12) Два груза А и В весом Р каждый скользят по

С

гладким сторонам неподвижного клина. Пренебрегая

В

A

массами нерастяжимой нити и блока С, найти

натяжение нити и ускорение грузов, если

> .

Ответ: T P(sin

sin

) 2 ,

a

g(sin

sin

)

2 .

13) Груз

А

весом 150

Н,

привязанный

к

невесомой

С

В

нерастяжимой нити, переброшенной через блок В весом 5 Н,

приводит в движение груз С весом 95 Н, который скользит по

гладкой горизонтальной плоскости. Найти давление на ось,

считая, что масса блока равномерно распределена по его ободу.

Ответ: 86,5 Н.

f j (xk , yk , zk ,t) 0

(k = 1, 2, , N; j = 1, 2, , m),

(7.1)

f j (xk , yk , zk , xk , yk , zk ,t) 0

(k = 1, 2, , N; j = 1, 2, , m).

(7.2)

n

rk

rk

rk

rk

q1

q2

qn

qi

.

(7.3)

rk

q1

qn

q2

i 1

qi

Элементарное действительное перемещение точки

n

rk

dqi

rk

dt

rk

xk

yk

zk

. (7.3а)

k

,

где

i

j

drk

qi

i 1

qi

t

qi

qi

qi

перемещении точки ее приложения:

A(F )

F

Fx x

Fy y

Fz z

.

r

(7.4)

Если к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Оz

приложена

сила

F ,

момент

которой

относительно

оси

равен Мz, то

A(F ) M z

, где

– возможный угол поворота тела вокруг оси Оz.

Рассмотрим возможную работу сил, приложенных к точкам системы, тогда

выражение (7.4) с учетом (7.3) запишется

rk

N

N

N

n

rk

n

N

n

A(Fk )

Fk

Fk

qi

Fk

qi

Qi qi .

(7.5)

rk

i 1 qi

qi

k 1

k 1

k 1

i 1 k 1

i 1

N

Qi

A(Fk )

qi

Aq

qi

.

k 1

i

qi

N

N

N

A(Fk )

Fk

(Fkx xk Fky xk Fkz xk ) 0.

rk

(7.6)

k 1

k 1

k 1