теория погрешностей

В.В. Бурмистров

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Издание третье стереотипное исправленное и дополненное

Рекомендовано кафедрой физики Коломенского института МГОУ

в качестве учебного пособия для студентов всех специальностей

.Коломна .

«РИЗА» 2008

2

УДК 535 (075)

Рецензент

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры общей и специальной физики Обнинского института атомной энергетики

ТихоненкоА.В.

Научный редактор: Беспалов Б.Б. Технический редактор: Тарасова Н.А. Компьютерная графика: Бурмистров В.В.

БурмистровВ.В.

Краткая теория погрешностей . / – Коломна, «Риза», 2008. – 52с.: ил.

Пособие является введением в проблемы обработки результатов эксперимента.

Приведена краткая сводка правил обработки результатов прямых и косвенных измерений. Представлены подробные рекомендации по оформлению результатов измерений. Изложение дополнено многочисленными примерами.

Пособие предназначено для студентов технических специальностей вузов, является достаточным для работы в лабораториях общефизического практикума; полезно любому начинающему экспериментатору.

Оригинал-макет данного издания является собственностью автора, и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия автора запрещается и преследуется по закону.

3

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

xабсолютная погрешность (абсолютная ошибка) измерения величины x

xсреднее арифметическое значение прямо измеряемой величины, принимаемое за истинное значение x

αкоэффициент доверия

nобъем выборки (набор из n значений измерений)

γкласс точности прибора

ωцена наименьшего деления шкалы прибора

ωпредельная погрешность шкалы механического прибора

4

ВВЕДЕНИЕ в ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Физика, как известно, является экспериментальной наукой. Фундаментальные законы физики, играющие значительную роль в нашей повседневной жизни, принимаются без доказательства на основе анализа огромного экспериментального материала.

При измерении физических величин экспериментатора подстерегает большое количество объективных ошибок, называемых чаще погрешностями.

Погрешности различаются, прежде всего, по характеру проявлений: то ли это случайная погрешность, обусловленная недостаточно большим объемом выборки, то ли это систематическая погрешность, которая принципиально не зависит от количества проведенных опытов, а целиком определяется погрешностями средств измерений и несовершенством методов измерений. Одним словом, систематические погрешности существуют при любом измерении. Главный вопрос – как оценить эти погрешности? Другой вопрос – как уменьшить эти погрешности?

Следует иметь в виду, что измерения могут резко отличаться по характеру последовательности осуществляемых операций. Тогда различают правила обработки, то есть правила оценки погрешностей для величин прямо и косвенно измеряемых в эксперименте. Очевидно, при использовании формул, содержащих искомую величину, значительно сложнее определить погрешность, нежели для тех величин, которые доступны измерению непосредственно каким-либо прибором.

Из вышеприведенных рассуждений напрашивается простой вывод о том, что необходимо иметь инструмент, способный оценивать пределы достоверности, или, говоря языком теории погрешностей, доверительный интервал искомых физических величин. Теория погрешностей в полной мере наделена разнообразными подходами обработки экспериментальных данных и оценки различных видов погрешностей с выдачей доверительного интервала и коэффициента доверия.

***** ВВЕДЕНИЕ в ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ *****

6

§1. Основные понятия теории погрешностей

§1.1. Физическая величина и её измерение

Физическая величина – это количественная характеристика явления, процесса или свойства материи (материальных объектов). Каждая физическая величина должна иметь определение, содержащее однозначный способ экспериментального нахождения или расчета данной физической величины в любой реальной ситуации.

Измерить физическую величину буквально означает определить, сколько раз заключается в ней однородная с ней физическая величина, принятая в качестве единицы меры (единицы измерения, меры, единицы). Физические величины называют однородными, если они характеризуют одинаковые свойства материи и отличаются друг от друга только величиной. Единицы меры устанавливаются системой единиц измерения. В нашем практикуме используется преимущественно международная система единиц СИ.

В результате измерения физической величины получается значение физической величины – именованное число, состоящее из числа и наименования той меры (единицы), которой была измерена физическая величина. Измерение – это, по существу, последовательность экспериментальных и вычислительных операций, осуществляемая с целью нахождения значения физической величины.

* * * * * * * * * * * * * * *

§1.2. Классификация измерений

Проведем классификацию измерений физической величины по характеру последовательности осуществляемых при этом операций.

Прямое измерение. Измерение называется прямым, если значение физической величины определяется либо непосредственным сравнением с мерой, либо при помощи измерительного прибора, дающего сразу значение этой величины. Такая физическая величина называется прямо измеряемой.

Косвенное измерение. Измерение называется косвенным, если искомое значение физической величины определяется путем расчета по известной зависимости измеряемой величины от прямо измеряемых величин, определяемых при неизменных условиях опыта. Такая физическая величина называется косвенно измеряемой.

Косвенно измеряемая физическая величина u связана с прямо измеряемыми величинами x, y,..., z посредством расчетной формулы

(уравнения косвенных измерений)

7

u = f (x, y,..., z) .

Вид расчетной формулы определяется модельными представлениями и связанными с ними законами физики.

Совместные измерения. В общем случае функциональная связь между прямо измеряемыми величинами x, y,..., z и величинами

u,υ,..., w , значение которых требуется определить, может иметь произвольный вид, задаваемый уравнением

f(x, y,..., z;u,υ,...w) = 0 .

Вэтом случае для нахождения значений неизвестных величин u,υ,..., w обычно проводятся многократные измерения прямо

измеряемых величин x, y,..., z , причем эти измерения осуществляют

при изменяющихся условиях опыта. Иными словами, значения одной или нескольких прямо измеряемых величин целенаправленно изменяют от опыта к опыту, проводя, таким образом, серию из n

измерений (x1, y1,..., z1 ), (x2 , y2 ,..., z2 ),..., (xn , yn ,..., zn ). Такие измерения принято называть совместными измерениями.

Для случая двух прямо измеряемых величин x и y

функциональную взаимосвязь (уравнение совместных измерений)

часто можно представить в виде

y = f (x;u,υ,...w) ,

где u,υ,...w – искомые величины, выступающие в качестве параметров. Обычно результаты совместных измерений для наглядности и контроля правильности обработки и интерпретации изображают в виде графика зависимости величины x и y друг от

друга. Экспериментальная точка на графике изображает результат i– го совместного измерения (xi , yi ) . Отметим, что каждое измерение

(xi , yi ) не обязательно должно быть результатом одного прямого

измерения. Оно может быть как результатом обработки серии прямых измерений, так и результатом косвенных измерений.

Число совместных измерений (опытов) n в серии должно быть больше или равно числу определяемых величин m. Величина i = n −m называется числом степеней свободы при совместных измерениях.

Как видим, одна и та же физическая величина может быть прямо или косвенно измеряемой или определяться в результате обработки результатов совместных измерений.

* * * * * * *

Пример 1 (с продолжением).

8

Три студента (Иванов, Петров и Сидоров) получили задание: с помощью секундомера определить период T колебания математического маятника. Иванов решил провести прямое измерение: непосредственно измерить время одного полного колебания. Петров решил измерить время t , за которое маятник совершает N колебаний и рассчитать период по формуле T =t N .

Данная формула является уравнением косвенных измерений.

Следовательно, Петров проводит косвенные измерения. Сидоров решил последовательно измерить времена t1,t2 ,...,tk , за которые

маятник совершает N1, N2 ,..., Nk колебаний. Таким образом, Сидоров

целенаправленно изменяет значения одной из прямо измеряемых величин (в данном случае числа колебаний N ), проводя серию

совместных измерений (N1,t1 ), (N2 ,t2 ),..., (Nk ,tk ), при этом

уравнение совместных измерений имеет вид t = f (N;T ) =T N .

Продолжение следует

* * *

Далее подробно будут описаны прямые и косвенные измерения. Совместные измерения выходят за пределы рассмотрения предмета данного методического пособия.

***** §1 *****

9

§2. Погрешности измерений и их классификация

Наличие в общем случае большого числа неконтролируемых исследователем факторов приводит к тому, что в результате измерения физической величины возникают ошибки (погрешности). Иными словами, важнейшей особенностью любых измерений является несовпадение результата измерений и истинного значения измеряемой величины. Целью любой обработки результатов измерений является получение оценки истинного значения измеряемой величины с минимально возможной погрешностью.

Абсолютная погрешность (абсолютная ошибка) измерения Дx

– отклонение результата измерения x от истинного значения xист

измеряемой величины:

x = x − xист.

Относительная погрешность (относительная ошибка)

измерения δx – отношение абсолютной погрешности Дx к истинному значению измеряемой величины xист:

δx = xxист .

Как правило, истинное значение измеряемой физической величины мы не знаем и никогда не узнаем, следовательно, и погрешность измерения мы не знаем и никогда не узнаем. Однако погрешность измерения можно охарактеризовать и оценить.

* * * * * * * * * * * * * * *

§2.1. Классификация погрешностей измерения по характеру проявления

Случайная погрешность – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в данной серии измерений, проведенных при одних и тех же контролируемых условиях. Случайная погрешность возникает как результат совместного влияния различных случайных, меняющихся от измерения к измерению, не контролируемых нами факторов, влияющих на процесс измерения. Так, при измерении токов и напряжений на результаты влияет нестабильность напряжения в сети. При измерении диаметра шара микрометром разные показания возникают из-за некачественного изготовления исследуемого образца: отклонения от сферической формы, неизбежного присутствия на поверхности шара шероховатостей, микропор и т.п. При выстреле из ружья точность поражения цели зависит от«твердости» руки стрелка, знания им определенных технических тонкостей обращения с оружием и т.д.

10