теория погрешностей

они используются для получения оценок u = f (υ,..., w), как если бы они были результатами прямых измерений.

2.Если величины υ,..., w взаимозависимы, то есть некоторые из прямо измеряемых величин x, y,..., z используются для

получения оценки одновременно нескольких из косвенно измеряемых υ,..., w , то следует свести формулу для

вычисления u к уравнению косвенных измерений u = f (υ(x, y,..., z),..., w(x, y,..., z))=ϕ(x, y,..., z)

идалее использовать соответствующие формулы (20) – (22). Приведем также формулы для нескольких часто встречающихся

31

нетрудно получить, что для относительного стандартного отклонения δu справедливо соотношение δu = (δx)2 +(2 δy)2 .

На основании полученных в пп. б) и в) результатов можно сделать следующие выводы, позволяющие в ряде случаев упростить вычисления.

¾Если в уравнении косвенных измерений имеются только знаки умножения и деления, то относительное стандартное отклонение косвенно измеряемой величины равно корню квадратному из суммы квадратов относительных стандартных отклонений всех прямо измеряемых величин:

δu = (δx)2 +(δy)2 +... +(δz)2 .

¾Если в уравнении косвенных измерений, кроме знаков умножения и деления, присутствует и операция возведения в степень для любого числа сомножителей, то есть

u = f (x, y,..., z)= xNx y Ny z Nz ,

то формула для относительного стандартного отклонения косвенно измеряемой величины имеет вид:

δu = (Nx δx)2 +(N y δy)2 +... +(Nz δz)2 ,

где N x , N y , N z – соответствующие показатели степени при величинах x, y, z .

* * * * * * *

Пример 2.

Вывести формулу относительной погрешности (α = 0) для ускорения свободного падения g , рассчитываемого методом

математического маятника, в предположении малости систематических погрешностей, если расчетная формула имеет вид:

32

g = 4π2 ((l1 −l2 )),

T12 −T22

где (l1 −l2 ) – относительное изменение положения маятника в серии из двух измерений величин l1 и l2;

T1 – значение периода колебаний маятника, соответствующее длине

нити l1 ;

T2 – значение периода колебаний маятника, соответствующее длине

нити l2 ;

π =3.14...

Очевидно, для оценки среднего арифметического значения g

Сначала найдем частные производные по модулю (применим удобную форму записи, выделяя сомножитель g ):

Упрощая (здесь dl1 = dl2 = dl и dT1 = dT2 = dT ), получим

33

Выборочное стандартное отклонение для искомой величины согласно (21) имеет вид:

Для оценки относительной погрешности имеем относительное

стандартное отклонение

Первым слагаемым подкоренного выражения, имеющим отношение к π , можно заведомо пренебречь, приняв π =3.142 . Оценка двух

других слагаемых, связанных с S l и S T , заранее невозможна и

определяется методикой проведения измерений. Методикой проведения эксперимента определяется также правомерность пренебрежения систематическими ошибками.

***** §4 *****

34

§5. Оформлениерезультатовизмерений

Главные требования к форме представления результатов измерений, их обработки и анализа – однозначность, полнота и наглядность. Результаты экспериментальных исследований должны быть оформлены студентом в лабораторном журнале для физического практикума в виде законченной, целостной исследовательской работы.

Оформленная лабораторная работа, как правило, должна состоять из четырех основных частей:

1)вводная часть;

2)результаты прямых измерений;

3)анализ и обработка результатов прямых измерений;

4)окончательные результаты обработки и выводы.

Вводная часть должна содержать в себе наименование работы, краткое описание метода исследования, основных узлов установки и используемых при этом приборов. В качестве необходимых элементов вводной части должен быть схематичный чертеж, рисунок или схема с соответствующими пояснениями, наглядно и кратко поясняющие идею примененного метода, а также расчетные формулы с обозначениями физических величин, встречающихся в задаче.

Во второй части приводятся результаты прямых измерений с указанием условий измерений. Для всех физических величин должны быть приведены единицы измерения. Результаты всех измерений должны заноситься сразу в журнал (без использования черновиков) ручкой (а не карандашом) в систематизированном виде (например, в виде таблиц).

Втретьей части фиксируется вся последовательность анализа и обработки полученных данных, содержащая как расчетные формулы, так и величины, используемые при расчетах. Для каждой косвенно определяемой физической величины необходимо сначала привести расчетную формулу, затем значения физических величин, подставляемых в нее и, наконец, результат вычислений. Если промежуточные результаты вычислений важны для дальнейшего анализа, то и их необходимо привести.

Для наглядности и контроля результатов обработки и анализа необходимо графическое изображение полученных зависимостей физических величин. Этому посвящен следующий параграф.

Вчетвертой части необходимо привести результаты анализа и обработки в виде значений искомых физических величин с указанием стандартных отклонений или доверительных интервалов случайных и

35

систематических погрешностей и основные выводы, сделанные по существу выполненной работы.

При записи значений искомых величин и их доверительных интервалов (или стандартных отклонений) необходимо провести правильное округление результатов вычислений. Важно при этом, с одной стороны, не внести погрешность округления, сравнимую или превышающую другие погрешности, а с другой − оставить только достоверные значащие цифры. Округление значения физической величины проводится с учетом найденного значения стандартного отклонения. Необходимо руководствоваться при этом следующими правилами:

(значащей является первая и все последующие ненулевые цифры);

–последняя значащая цифра значения искомой физической величины должна соответствовать последней значащей цифре стандартного отклонения (доверительного интервала).

Первое утверждение определяется тем, что стандартные отклонения (доверительные интервалы) вычисляются неточно по причине приближенности самих формул для оценки стандартных отклонений. Для экспериментов, выполняемых в условиях физического практикума, можно считать, что относительная погрешность вычисления стандартного отклонения составляет не менее 10 – 15 %.

На основании вышеизложенного, можно сформулировать следующий порядок действий для правильной записи результата измерений.

1.В ходе промежуточных вычислений значений искомых величин и стандартных отклонений необходимо оставлять достаточное (4–5 и более) число значащих цифр.

2.После окончания вычислений сначала следует округлить значение стандартного отклонения (или доверительного интервала). Если первая значащая цифра – единица или двойка, то после округления следует оставить две значащие цифры, если тройка или более – то одну. Это правило связано с тем, что вносимая при этом относительная погрешность округления не превышает 15 %.

Примеры.

до округления – σx = 0.0192714 ; после округления – σx = 0.019;

36

до округления – σy = 0.81938692 ; после округления – σ y = 0.8 ; до округления – сумм = 287.32; после округления – сумм = 290.

3.Далее округляется значение искомой величины таким

образом, чтобы ее последняя значащая цифра находилась на той

же позиции, что и последняя значащая цифра стандартного отклонения (доверительного интервала).

–z =72160, σz = 290.

4.Если вычислялся доверительный интервал (с использованием коэффициента Стьюдента или Чебышева), то в окончательной записи должно быть указано значение коэффициента доверия α.

5.Если для искомого значения указан порядок (например, 102 или 10−3 ), то такой же порядок должен быть указан и для значения доверительного интервала.

6.При записи окончательного результата сначала указывается искомое значение, затем ставится знак «±», далее значение доверительного интервала, порядок (если необходимо), затем единицы измерения и потом значение коэффициента доверия α.

***** §5 *****

§6. Построениеиоформлениеграфиков

Выбор бумаги и координатных осей. График выполняется на миллиметровой (или специальной) бумаге, на которую наносятся

37

координатные оси. По оси абсцисс, как правило, откладывается переменная, принятая за независимую (аргумент), по оси ординат – функция. Размер листа выбирается достаточно большим, чтобы было удобно строить график и пользоваться им. Удобны листы миллиметровки в 1 или 2 стандартных формата писчей бумаги (210 x 297 мм), выпускаемые в виде планшетов.

При нанесении осей оставьте место (и снизу, и сверху) для заголовка и поясняющих подписей, а также поля для вклейки или подшивки графика в лабораторный журнал.

Графические зависимости, снимаемые с экрана осциллографа, выполняются на кальке, которая затем наклеивается на лист более плотной бумаги. При необходимости количественной обработки графика, на кальку наносят координатную сетку, либо переносят график на миллиметровку.

Выбор интервалов. Интервалы изменения переменных по осям выбираются независимо друг от друга так, чтобы была представлена лишь экспериментально исследованная область изменения измеренных величин, а сам график занимал бы практически все поле чертежа. При этом начало координат (точку 0;0) не обязательно помещать на графике. Это разумно лишь в том случае, когда не потребуется значительного увеличения размеров графика, или когда точка 0;0 есть наиболее надежный результат измерения (например, при измерении сопротивления точка U =0, I =0).

Выбор масштабов и нанесение шкал по осям. Ценность графика во многом зависит от удачного выбора масштаба. За единицу масштаба выбирают отрезки, кратные 5, 10, 50, 100 мм, позволяющие легко отсчитывать на миллиметровой бумаге доли отрезков координатной сетки.

Шкала должна легко читаться, поэтому расстояние между соседними делениями шкалы (единицами масштаба) должно соответствовать «круглому» числу единиц измеряемой величины (1, 2,

5, реже – 4, или те же цифры, умноженные на 10±n ). Число делений с цифрами на каждой оси должно быть минимально необходимым для ясного понимания шкалы и составляет обычно от 4 до 10. Рядом с осью или в конце оси указывается откладываемая величина и ее

размерность. Множитель 10±n , определяющий порядок величины, включается в единицы измерения, например: «U ,10−6 , B ». Пример обозначения безразмерных величин: «η, отн. ед.»; « N ,103 , ед.».

Выбрав масштаб и разметив шкалы, проверьте себя: найдите координаты 2-х – 3-х произвольно взятых на листе точек. Если на

38

определение координат каждой точки затрачивается более 10 секунд или возникают ошибки, шкалы размечены неудачно.

При изменении величин в широком диапазоне значений (на несколько порядков) и при исследовании функциональных зависимостей широко применяют логарифмические координатные сетки. Они бывают двух типов: полулогарифмическая (логарифмический масштаб взят только для одной координатной оси) и двойная логарифмическая или просто логарифмическая сетка (логарифмические шкалы строят на обеих осях). Выпускается бумага с логарифмической и полулогарифмической сетками.

Логарифмическая шкала неравномерна. На оси откладывают отрезки, пропорциональные логарифму измеряемой величины, однако цифры проставляют в соответствии со значениями самой измеряемой величины, а не ее логарифма. Примером могут служить шкалы классической логарифмической линейки: шкала « x » – логарифмическая неравномерная, а шкала «lg x » – равномерная. На

координатной оси графика полезно давать разметку обеих шкал. Если нет логарифмической бумаги, несложно разметить

логарифмическую шкалу на миллиметровке с достаточной для большинства применений точностью. Для этого полезно запомнить: lg 2 ≈ 0.3; lg 3 ≈ 0.5; lg 5 ≈ 0.7 . Поэтому на логарифмической шкале

интервалы от 1 до 2, от 2 до 5 и от 5 до 10 составят 0.3; 0.4 и 0.3 соответствующего интервала в пределах первой декады, а цифра «3» расположится посередине между «1» и «10». Масштаб выбирается так, чтобы на декаду приходился отрезок, который удобно делить на части, например, 50 или 100 мм.

Физические величины обладают размерностью, поэтому вычисляют логарифмы не самих величин, а их отношения к единице измерения, общей для всех экспериментальных точек, по которым строится график. В связи с этим на логарифмической оси должны присутствовать отрезки, пропорциональные логарифму измеряемой величины (например, справа для оси ординат), и цифры (в нашем примере слева), соответствующие значениям самой измеряемой величины, вместе с единицей измерения на конце оси. При этом в заголовке графика должно присутствовать указание на логарифмическую зависимость той или иной физической величины. Например: «Зависимость амплитуды колебаний маятника от времени, построенная в полулогарифмическом масштабе для оси ординат (логарифм десятичный)».

Нанесение точек и погрешностей. Точки на график нужно наносить точно и тщательно, обводя их кружком или другим знаком.

39

Если на одном листе представляются результаты нескольких экспериментов, точки, относящиеся к различным группам опытов, обозначают разными знаками (кружки, треугольники и т. д.).

Погрешности указывают для одной или для обеих измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал или стандартное отклонение, в центре которых расположены экспериментальные точки, или в виде прямоугольника, стороны которого равны доверительным интервалам или стандартным отклонениям (рис.1). Толщины линий и размер точек на рисунке намеренно многократно увеличены.

Поскольку указание погрешностей загромождает график, делайте это лишь тогда, когда информация об ошибках действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой, а также в случаях, когда погрешность сильно меняется в пределах графика. Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Рис. 1. Нанесение погрешностей

При точных измерениях погрешность может быть «не видна» на графике. Такой график годится для наглядного представления результатов эксперимента, но для графического анализа данных без потери точности, нужно построить дополнительный график, выбрав масштаб и откладываемые по осям величины так, чтобы погрешность измерений или разброс экспериментальных точек составили несколько мелких делений шкалы.

Проведение кривой по экспериментальным точкам. Если нанесенные на график экспериментальные точки недостаточно наглядно отражают результаты эксперимента, то поводят «наилучшую» кривую, проходящую через доверительные интервалы возможно ближе к экспериментальным точкам. Не следует соединять точки ломаной линией. Обычно физические зависимости

40