Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

РГР1 Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Ответ: M 2;5 – точка рыночного равновесия.

б) Если введен налог t 1, то система уравнений для определения точки равновесия примет вид

D: pD 2q 9,

S : pS q 3, pD pS 1.

Используя соотношение между ценой на рынке pC и ценой pS , полу-

чаемой поставщиками, имеем следующие выражения для определения точки рыночного равновесия

2q 9 q 4,

pD q 4.

Откуда находим новую точку рыночного равновесия

	5			17
M			;		(рис. 12).

		3		3

		Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась
на		17	5	2	ден. ед., а равновесный объем уменьшился на 2									5	1	ед.
на	3		5	3	ден. ед., а равновесный объем уменьшился на 2										3	ед.
	3			3	5		17						3		3
					5		17
		Ответ:		M		;			– точка равновесия после введения налога						t 1,

							3
					3		3			2
равновесная цена увеличилась на										2	ден. ед., равновесный объем умень-
равновесная цена увеличилась на										3	ден. ед., равновесный объем умень-
	1									3
	1
шился на				ед.
шился на				ед.
	3
								p				p M ’
							5		M			17/3
							5
												t
									q							q
					S		0		2		S’	0	5/3
					S				D		S’	S			D
									D			S			D

Рис. 11

Рис. 12

в) Если предоставляется субсидия, то система для определения точки равновесия имеет вид

D: pD 2q 9,

S : pS q 3, pD pS s.

Новый объем продаж равен 2 2 4 единицы, подставляем q 4 в систему, находим

pD 1;

pS 7;

s 7 1 6.

Ответ: субсидия, которая приведет к увеличению объема продаж на 2 ед. относительно изначального, должна быть равна 6 ден. ед. (рис. 13).

г) Если налог составляет 15%, то вся рыночная цена составляет 115%, из них 100% получают поставщики товара, 15% – государство. Итак, поставщики получают

pS		100	pD		20	pD .

	115			23

Таким образом, система для определения новой точки рыночного равновесия имеет вид

pD 2q 9,

pD q 3.

Решая эту систему, находим новую точку рыночного равновесия

	37		115

M		;		,
			21
		21

при этом доход правительства R будет равен

	20	37 115	185	38
R 1				1	.
	23
		21 21	147	147

На рис. 14 доход правительства соответствует площади заштрихованного прямоугольника.

	p		115/21		p M ”
			115/21		M
			R		M
			R
S	s 1	q	S’	0 37/21		q
S	0	4	S	0 37/21
		D	S			D
		D				D
	S’
	Рис. 13		Рис. 14

	37		115			38
					R 1
Ответ: M		;		– точка равновесия,			ден. ед. – доход
Ответ: M		;	21	– точка равновесия,			ден. ед. – доход
		21	21		147

правительства при введении налога, пропорционального цене и равного

15%.

д) Если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и предложения можно найти объемы спроса и предложения, соответствующие данной цене. Если минимальная цена выше равновесной цены, то объем предложения превышает объем спроса, тогда разницу между ними скупает правительство.

При p0 6 находим

qD p0 9 6 9 1,5 2 2

qS p0 3 6 3 3.

Таким образом, затраты правительства составят

qS qD p0 3 1,5 6 9.

На рис. 15 затраты правительства соответствуют площади заштрихованного прямоугольника.

Ответ: правительством будет израсходовано 9 ден. ед. на скупку излишка при установлении минимальной цены, равной 6.

	p0 p
	5
		q
S	0	2
S		D
		D

Рис. 15

Задача 5.4. Даны четыре точки A, B, С, D. Необходимо а) написать уравнения плоскостей ABC и ВCD;

б) написать уравнения прямых BC и AD;

в) найти расстояние от точки А до плоскости ВCD. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	A(5; 2; 7), B(7; 6; 9),		C	( 7; 6;3),		D(1; 5; 2);
2)	A( 2; 5; 1),	B( 6; 7;9),		C(4; 5;1),		D(2;1; 4);
3)	A( 6; 3; 5),	B(5;1;7),	C(3;5; 1),		D(4; 2;9);


4)	A(7; 4; 2),	B( 5;3; 9),		C(1; 5;3),		D(7; 9;1);
5)	A( 8; 2; 7),		B(3; 5;9),	C(2; 4; 6),			D(4;6; 5);
6)	A(4;3;1),	B(2;7;5), C( 4; 2; 4),				D(2; 3; 5);
7)	A( 9; 7; 4),		B( 4;3; 1),		C(5; 4; 2),		D(3; 4; 4);
8)	A(3;5;3),	B( 3; 2;8),		C( 3; 2;6),		D(7;8; 2);
9)	A(4; 2;3),	B( 5; 4; 2),		C(5; 7; 4),			D(6; 4; 7);


10)	A( 4; 2; 3),		B(2;5;7),			C(6;3; 1),			D(6; 4;1);
11)	A(3; 4;5),	B(1; 2;3),		C( 2; 3;6),				D(3; 6; 3);
12)	A( 7; 5;6),		B( 2;5; 3),				C(3; 2; 4),			D(1; 2; 2);
13)	A(1;3;1), B( 1; 4;6),			C( 2; 3; 4),				D(3; 4; 4);
14)	A(2; 4;1), B( 3; 2; 4),					C(3;5; 2),			D(4; 2; 3);
15)	A( 5; 3; 4),		B(1; 4;6),			C(3; 2; 2),			D(8; 2; 4);
16)	A(3; 4; 2),	B( 2;3; 5),				C(4; 3; 6),			D(6; 5;3);
17)	A( 4;6;3),	B(3; 5;1),			C(2;6; 4),				D(2; 4; 5);
18)	A(7;5;8),	B( 4; 5;3),				C(2; 3;5),			D(5;1; 4);
19)	A(3; 2;6),	B( 6; 2;3),				C(1;1; 4),			D(4;6; 7);
20)	A( 5; 4; 3),		B(7;3; 1),				C(6; 2; 0),			D(3; 2; 7);
21)	A(3; 5; 2),		B( 4; 2;3),			C(1;5;7),			D( 2; 4;5);
22)	A(7; 4;9),	B(1; 2; 3),				C( 5; 3;0),			D(1; 3; 4);
23)	A( 4; 7; 3),		B( 4; 5;7),				C(2; 3;3),			D(3; 2;1);
24)	A( 4; 5; 3),		B(3;1; 2),			C(5; 7; 6),			D(6; 1;5);
25)	A(5; 2; 4),	B( 3;5; 7),				C(1; 5;8),			D(9; 3;5);
26)	A( 6; 4;5),	B(5; 7;3),				C(4; 2; 8),			D(2;8; 3);
27)	A(5;3;6), B( 3; 4; 4),					C(5; 6;8),			D(4;0; 3);
28)	A(5; 4; 4),	B( 4; 6;5),				C(3; 2; 7),				D(6; 2; 9);
29)	A( 7; 6; 5),		B(5;1; 3),				C(8; 4;0),			D(3; 4; 7);
30)	A(7; 1; 2),		B(1; 7;8),			C(3; 7;9),		D( 3; 5; 2).

Пример 5.4
Даны четыре точки A( 6; 2; 5),	B( 1;1; 0),	C(3;0; 1),
D(1; 2; 2). Необходимо

а) написать уравнения плоскостей ABC и ВCD; б) написать уравнения прямых BC и AD;

в) найти расстояние от точки А до плоскости ВCD.

Решение

а) Для плоскостей, уравнения которых необходимо написать, известны координаты точек, принадлежащих этим плоскостям, значит, для составления уравнений воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки

		x x1	y y1	z z1	0,
		x2 x1	y2 y1	z2 z1	0,	(5.6)
где x1;y1;z1 ,		x3 x1	y3 y1	z3 z1
где x1;y1;z1 ,	x2;y2;z2 , x3; y3;z3 – координаты точек, принадлежа-
щих искомой плоскости.

Подставляя координаты соответствующих каждой плоскости точек в формулу (5.6), получаем

	x 6	y 2	z 5		x 1	y 1	z 0
ABC :	1 6	1 2	0 5	0, BCD:	3 1	0 1	1 0	0.
	3 6	0 2	1 5		1 1	2 1	2 0

Раскрывая определитель и упрощая полученные выражения, приводим

уравнения плоскостей к общему виду
ABC : x 6	1		5	y 2		5	5			z 5			5	1		0,
ABC : x 6	1		5	y 2		5	5			z 5			5	1		0,
	2		4			9	4						9	2
x 6	6 y			2 25		z				5 1			0,
		6x 25y z 19 0.
BCD: x 1		1	1		y 1			4		1	z	4		1	0,
BCD: x 1		1	1		y 1			4		1	z	4		1	0,
		3	2					2	2			2		3

x 1 5 y 1 10 z 10 0,

5x 10y 10z 5 0, x 2y 2z 1 0.

Ответ: ABC: 6x 25y z 19 0,

BCD: x 2y 2z 1 0.

б) Уравнения BC и AD составим как уравнения прямых, проходящих через две заданные точки

x x1	y y1	z z1	,	(5.7)
x2 x1	y2 y1
		z2 z1

где x1;y1;z1 , x2;y2;z2 – координаты точек, принадлежащих искомым

прямым.

Таким образом, подставляя координаты соответствующих прямым точек в формулу (5.7), получаем

						BC :							x 1										y 1					z 0				,
						BC :																										,
													3 1										0 1					1 0
											x 1										y 1						z		.
											4																		.
											4											1				1
					AD:							x 6										y 2								z 5				,
					AD:																													,
												1 6											2 2							2 5
									x 6									y 2							z 5						.
																															.
											7									4							7
Ответ: BC:			x 1					y 1									z				,
Ответ: BC:																					,
4									1							1
	AD:			x 6						y 2										z 5				.
	AD:																							.
7											4								7
в) Расстояние M,											от точки M до плоскости																									найдем по сле-
дующей формуле														Ax0					By0 Cz0 D
	d M,																																,				(5.8)



где Ax By Cz D 0																			A2 B2 C2																	x0,y0,z0 – коор-
где Ax By Cz D 0											– уравнение плоскости ,																									x0,y0,z0 – коор-
динаты точки M .
Уравнение плоскости BCD было найдено ранее в пункте а), координа-
ты точки A даны в условии задачи
		BCD: x 2y 2z 1 0,																										A( 6, 2, 5),
подставляем эти данные в формулу (5.8)
A, BCD							1 6 2 2 2 5 1																												13		13
							1 6 2 2 2 5 1																												13		13
																																						.

																																					9
															12 22 22																					9
13															12 22 22																					9
13
Ответ:		.
Ответ:		.
9

Задача 5.5. Даны уравнения плоскостей и , а также уравнения прямых l1 и l2 . Определить

а) взаимное расположение плоскостей и и найти угол между

ними;

б) взаимное расположение прямых l1 и l2 , найти угол между ними;

в) взаимное расположение прямой l1 и плоскости , найти угол между прямой l1 и плоскостью . В том случае, если прямая и плос-

кость параллельны, найти расстояние между ними; в случае, если

прямая и плоскость пересекаются (в частности перпендикулярны) – найти точку их пересечения.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:


1) :2x 3y 2z 5 0;																									: x 1,5y z 1 0;
l :		x 1				y 2								z					; l							:				x 2							y 1									z 1						;
		1				1,5																																							4
1									1														2								2							1
2) :2x 3y 2z 5 0; :3x 2y 6z 3 0;
l :		x 3					y 2									z 1									; l						:	x 2								y 1									z 1						;
		1
1							1											1												2			1									2			4
3) :3x y 2z 5 0; : x y z 1 0;
l :		x 1			y 2												z				; l									:	x 2								y 1									z 1						;
		3					1
1														4														2			2								2						1
4) : x y 2z 2 0; : x 2y 3z 1 0;
l :		x 1			y 2								z						; l										:	x 2							y 1									z 1							;
		1
1							1		2														2								2							2							4
5) : x y 2z 1 0; : 2x y 3z 1 0;
l :		x 1			y 2									z					; l							:				x 2						y 1									z 1							;
		1
1							1 1																2								2							2								4
6) : x 2y 2z 1 0; : 2x 2y 4z 1 0;
l :		x 1			y 2								z						; l										:	x 2							y 1									z 1							;
		1
1							1		2														2								3							2							1
7) : x 2y 2z 1 0;																					: x 4y 1,5z 3 0;
l :	x 1				y 1						z						; l									:			x 2						y 1								z 1							;

1		1					1 2															2								1							2								1
8) :2x y z 5 0; :4x 2y 2z 7 0;
l :		x	y 2					z 1											; l							:				x 2						y 1									z 1							;
		2
1				1					1														2								2							3							4
9) : x 3y 3z 5 0; :3x 2y z 1 0;
l :		x 3					y 2								z 1									; l							:	x			y 1									z 1							;

1		3					2											1												2	1						2								3
10) :3x 2y z 0;																		: x z 1 0;
l :		x 2					y			z		; l											:				x 2							y							z 1						;

1		3					2		3											2										2				1								1
11) : y 2z 2 0;																			: x 3z 1 0;

l :

x 1

y 2

; l

y 1

z 1

;

12)

: x 3y 2z 1 0;

:x 2y 1 0;

l :

y 2

z 3

; l

x 2

y 1

z 1

;

13)

: x 2y z 1 0; : x 2y z 3 0;

l :

x 1

y 2

; l

x 2

z 1

;

14)

: x 2y z 1 0; : x 4y z 0;

l :

x 1

y 1

; l

y 1

z 1

;

3 2

15)

: y 2z 5 0; :2y 4z 1 0;

l :

x 1

y 2

; l

y 1

z 2

;

2 1

16)

:2x 3y 2z 5 0; :3x 2y 6z 3 0;

l :

x 3

y 2

z 1

; l

y 3

z 1

;

17)

: y 2z 5 0; : x y 2z 0;

l :

x 3

y 2

; l

x 2

y 1

z 1

;

18)

: 3x y z 2 0;

: x 2y 3z 0;

l :

x 1

y 1

; l

x 2

z 1

;

19)

: x 2z 1 0; :3x 2y 3z 2 0;

l :

x 1

y 4

z 1

; l

y 1

z 1

;

3 2

20)

: x 2z 7 0;

: y 3z 5 0;

l :

x 1

z 2

; l

x 2

y 1

;

21)

: x 2y 1 0;

: x 4y z 0;

l :

x 1

z 5

; l

x 2

z 1

;

22)

:2x z 5 0;

: 4x 2z 7 0;

l :

x 1

z 3

; l

x 2

y 1

;

23)

: x y z 5 0;

: x 2y 3z 2 0;

l :

x 3

y 2

z 1

; l

x 2

y 1

;

2 4

24)

:3x y z 5 0; : x 2y 3z 1 0;

l :

x 1

z 2

; l

y 1

z 1

;

3,5

25)

: x y 2z 0;

: x 2y 1 0;

l :

x 1

y 3

z 1

; l

y 1

z 1

;

26)

: x y z 1 0;

: 2x y 5 0;

l :

x 3

y 2

; l

x 3

z 1

;

2 2

27)

: x 2y 0;

: 2x y 3z 1 0;

l :

x 1

y 2

; l

y 1

z 4

;

0,5

1,5

28)

: x 2z 1 0;

:4y z 3 0;

l :

x 1

y 1

z 2

; l

x 3

z 1

;

29)

: x y 5 0;

:3x 3y 2 0;

l :

x 1

y 1

; l

x 2

y 1

z 1

;

30)

: x 2z 5 0;

: 2x z 1 0;

l :

x 3

z 1

; l

z 1

Пример 5.5

: x y 3z 2 0

Даны

уравнения

плоскостей

: 3x 2y z 1 0,

также

уравнения

прямых

l :

x 1

y 2

z 1

и l

x 2

y 1

z 1

. Определить

, найти угол между

а) взаимное расположение плоскостей и

ними;

б) взаимное расположение прямых l1 и l2 и угол между ними;

в) взаимное расположение прямой l1

и плоскости , найти угол

между ними.

В том случае, если прямая и плоскость параллельны,

найти расстояние между l1 и ; в случае, если прямая и плоскость пе-

ресекаются (в частности перпендикулярны) – найти точку их пересечения.

Решение

а) Запишем координаты векторов нормали n1 и n2 соответственно плоскостей и (коэффициенты при переменных в уравнениях данных плоскостей)

n1 1;1;3 ; n2 3;2;1 .

Определим взаимное расположение векторов n1 и n2, т.к. если n1 n2 ,

то , если n1 n2, то , иначе l.

1 1 3

3 2 1

координаты векторов нормали заданных плоскостей не пропорциональны, следовательно, и не параллельны,

n1 n2 1 3 1 2 3 1 8 0

скалярное произведение векторов нормали заданных плоскостей не равно нулю, следовательно, и не перпендикулярны, таким образом, плоско-

сти пересекаются под углом по прямой l.

Найдем угол между плоскостями и

cos		n1	n2				8			8	arccos		8	.
										8			8

	n1			n2
	n1			n2		11 14		151				151
Ответ: l,					arccos			8	.
Ответ: l,					arccos				.
						151

б) Запишем координаты направляющих векторов a1 и a2 соответст-

венно прямых l1 и l2 (знаменатели в уравнениях данных прямых)

a1 3;5; 1 ; a2 1;3; 1 .

Определим взаимное расположение векторов a1 и a2 , т.к. если a1 a2 ,

то l1 l2, если a1 a2, то l1 l2, иначе l1 и l2 либо пересекающиеся, ли-

бо скрещивающиеся.

3 5 1

1 3 1

координаты направляющих векторов заданных прямых не пропорциональны, следовательно, l1 и l2 не параллельны,

a1 a2 3 1 5 3 1 1 19 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.201636.14 Кб89Расшифровка кабелей.docx
#
19.09.2019265.22 Кб0ратько оксана.doc
#
09.05.2015603.31 Кб17РГР 3 геодезия.pdf
#
08.05.2015695.81 Кб39РГР 3.doc
#
16.03.20161.08 Mб7РГР 1 КТУР 1Семестр Лектор Карпета Т В .pdf
#
16.03.20162.31 Mб38РГР1 Математика.pdf
#
11.08.20192.04 Mб1Ребяткам моим любимым..docx
#
07.07.201933.05 Кб2Регламентация труда водителя.docx
#
16.03.2016908.8 Кб17Резников Е.А. - Высшая математика.doc
#
04.12.2018516.1 Кб138РЕЙКИ. КРАТКОЕ СОВРЕМЕННОЕ РУКОВОДСТВО. .doc
#
25.11.2019154.11 Кб3Рекл_Лекция 11-12_Радио ТВ Интернет.doc