Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

РГР1 Математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

2.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

преобразования не меняют ранга матрицы, то приведем матрицы А и AB к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

A			2		3	1	3	1строка и 2строка
			2		3	1	3	1строка и 2строка
		B 1			1	2	3 ~ поменяем местами ~
						2	3 ~ поменяем местами ~
					1	1	2
			3		1	1	2
1		1	2		3	1стр. 2 2стр.						~	1		1	2	3
1		1	2		3	1стр. 2 2стр.							1		1	2	3
~ 2	3		1		3 ~	1стр. 3 3стр.							0		1	3	3 ~
		1 1													2	7	7
3		1 1		2									0		2	7	7

										A
			2стр. 2					1		1		2		3
								1		1		2		3
									1			3		3	.
			~ 3стр.				~ 0		1			3		3	.
								0	0 13					13




										A	B
										A	B
Таким	образом,				rang A rang A					B 3,			следовательно,					система
Таким	образом,				rang A rang A					B 3,			следовательно,					система

совместна. Кроме того, ранг матриц совпадает с количеством переменных, поэтому система имеет единственное решение.

а) Для решения системы матричным методом запишем ее в матричном виде

			2				3 1	x	3
				1		1 2		y		3
				3		1 1				2
или				3		1 1		z		2
или							A X B,
							A X B,
где A – основная матрица системы,								B – матрица-столбец свободных
коэффициентов, X – матрица-столбец неизвестных.
Вычислим определитель матрицы коэффициентов
		2	3		1
		2	3		1
	A	1	1			2	2 1 18 3 4 3 13.
		3	1			1
		3	1			1

Поскольку A 13 0, то матрица А не вырождена, значит существует

обратная матрица, и решение системы можно найти по формуле
X A 1 B,	(3.2)
где A 1 – обратная матрица для матрицы А.
Обратную матрицу найдем по формуле

	1	A	A	A
	1	11	21	31
A 1		A	A	A	,	(3.3)
A 1		A	A	A	,	(3.3)
	A	12	22	32
	A	A	A	A
		A	A	A
		13	23	33

где Aij – алгебраические дополнения соответствующих элементов

матрицы A:	1				2							2 3
A 11 1	1				2	3,		A 1 2 3				2 3		7,
11			1		1			23				3	1
A 1 1 2			1		2	7,		A 1 3 1				3 1			5,
A 1 1 2			1		2	7,		A 1 3 1				3 1			5,
12			3		1			31	1				2
A 1 1 3		1			1		2,	A 1 3 2				2 1			3,
A 1 1 3		1			1		2,	A 1 3 2				2 1			3,
13			3		1			32				1	2
A 1 2 1			3		1	4,		A 1 3 3		2 3					1.
A 1 2 1			3		1	4,		A 1 3 3		2 3					1.
21			1		1			33			1		1
A 1 2 2				2	1		5,
A 1 2 2				2	1		5,
22				3	1

Подставив найденные значения алгебраических дополнений элементов матрицы А в формулу (3.3), получим обратную матрицу

	1	3	4	5
A 1		7	5	3	.

	13	2	7	1

Найдем матрицу неизвестных по формуле (3.2)

x	1	3	4	5		3	1	13		1
y		7	5	3	3				0		0 ,

	13		7	1			13		13
z		2				2					1

откуда следует, что x 1, y 0, z 1.

Ответ: 1;0; 1 .

б) Ранее было определено, что система имеет единственное решение, следовательно, возможно решение по формулам Крамера

x	x	, y	y	, z	z	,	(3.4)

где – определитель матрицы системы, x, y и z – определители,

полученные из определителя основной матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Вычислим значения выражений необходимые для формул (3.4)13 (вычислено выше),


		3		3	1
x		3		1	2		3 3 12 2 6 9 13,
		2		1	1
			2	3	1
			2	3	1
y			1	3	2		6 2 18 9 8 3 0,
			3	2	1
	2			3	3
	2			3	3
z	1			1	3	4 3 27 9 6 6 13.
	3			1	2

Найдем значения переменных, подставив полученные значения в формулы (3.4)

x 13 1, y 0 0, z 13 1.

13 13 13

Ответ: 1;0; 1 .

Задача 3.4. Исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности системы найти ее общее решение. Выполнить проверку.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1 5x2 x3 3x4 x5 1,

1)3x1 x2 x3 3x4 2x5 2,5x1 4x2 6x4 x5 3;2x1 x2 x3 3x4 x5 1,

2)3x1 x2 x3 x4 2x5 2,4x1 x2 x3 x4 3x5 3;2x1 x2 x3 3x4 x5 1,

3)x1 3x2 x3 x4 2x5 1,4x1 5x2 x3 x4 5x5 3;2x1 x2 x3 3x4 x5 1,

4)3x1 x2 x3 x4 2x5 2,2x

	4x x			2	3x 5x		4	x	5	3;
		1			3
	x 2x 4x 3x x 1,
		1	2		3	4		5
5)	3x1 x2 2x3 x4 2x5 3,
	4x x 2x 2x x 4;
		1	2		3		4	5

1 x2 x3 3x4 x5 1,

6)x1 5x2 2x3 x4 2x5 2,x1 3x2 2x3 3x4 x5 4;2x1 x2 x3 3x4 x5 1,

7)3x1 x2 x3 x4 2x5 2,4x1 x2 3x3 5x4 3;

x1 7x2 5x3 3x4 x5 1,

8)3x1 x2 4x3 6x4 2,2x

x1 13x2 3x3 x5 4;

	3x x 4x 3x x 2,
		1 2	3		4 5
9)	x1	3x2 2x3 5x4 2x5 1,
	2x 3x x x 5x 1;
		1	2 3	4	5

1 3x2 3x4 1,

10)5x1 x2 7x3 13x4 6,

4x1 3x2 x3 6x4 2;4x3x

	3x x x 3x x 0,
		1	2		3		4	5
11)	3x1		x2	x3 x4 2x5 2,
	x 2x 4x x 5;
	1		3		4		5
	2x 5x 4x 2x 1,
		1		2		3		4
12)	3x1		x2	5x3		x4 2,
	5x 4x x x 3;
		1		2	3		4
	2x x x 3x x 1,
		1	2		3		4	5
13)	3x1		x2	x3 x4			2x5 2,
	4x x 3x 5x x 3;
		1	2		3		4	5
	x x 2x 3x x 5,
	1		2		3		4	5
14)	3x1		4x2		x3	x4 2x5 2,
	4x 3x x x 2x 1;
		1		2	3		4	5
	2x x x 3x x 1,
		1	2		3		4	5
15)	x1	x2 x3 4x4					2x5 2,
	x 3x x 4x 2x 3;
	1		2		3		4	5
	3x x 6x x 6,
		1	2		3		4	1,
16)	x1	6x2		3x3		2x4		1,
	4x 3x 5x x 0;
		1		2		3	4
	x 2x 3x 4x 5x 1,
	1		2		3		4	5
17)	3x1		x2	2x3		x4 7x5 2,
	x 3x 8x 9x 3x 0;
	1		2		3		4	5

1 7x2 6x3 3x4 4,

18)3x1 2x2 7x3 x4 2,x1 3x2 x3 8x4 4;2x

	2x 7x x x x 1,
		1		2	3	4	5
19)	3x1		5x3		2x4	x5 2,
	x 8x 6x x 3;
	1		2		3	4
	2x x x 3x x 5,
		1	2		3	4	5
20)	x1	6x2		7x3 x4			3x5 4,
	6x 3x x x 2x 0;
		1		2	3	4	5

	7x 6x 5x 2x x 1,
		1		2		3		2	5
21)	3x1		x2 4x3			2x4		4,
	4x 7x 9x x 5;
		1		2		3	5
	4x		x	3x		10,
		1	2		4	x4 4,
22)	3x1		x2 9x3			x4 4,
	x 4x x 6x 0;
		1	2		3		4
	2x		x	3x		5x		10,
		1	2		3		5	3x5 2,
23)	x1 3x2			4x3		5x4		3x5 2,
	4x 3x 2x x 2x 0;
24)		1		2		3	4		5
24)
6x 3x 3x 3x 0,
	1		2		3		4
3x1 x2 x3 2x4 7x5 8,
x 3x x 7x 2x 1;
1			2	3		4		5
	2x 5x 4x 3x 9,
		1		2		3		4
25)	3x1		8x2 4x3 x4					6,
	4x 3x 5x 3;
			1		2		3
	x 2x 3x 4x x 5,
		1	2		3		4		5
26)	3x1		6x2 2x3 x4					3,
	2x 3x x x 2x 0;
		1		2	3		4		5
	3x x 5x 3x 1,
		1	2		3		4		0,
27)	3x1		2x2 4x3				5x4		0,
	4x 3x x x 4;
		1		2	3		4

1 x2 3x4 1,

28)x1 x2 3x3 5x4 0,4x1 3x2 x3 6x4 1;x32x

	x	5x		6x		3x		x		11,
	`		2		3	4			5
29)	x1	9x2		11x3 5x4					10,
	7x 3x x 2x 1;
		1		2	3		5
	2x		x	2x		x	12,
		1	2		3	5	2,
30)	3x1		2x2		x3	x4	2,
	x 3x x x 0.
	1		2		3	4

Пример 3.4

Исследовать систему линейных уравнений на совместность, в случае совместности системы найти ее общее решение. Выполнить проверку.

x 3x x 2x x 1,
	1	2 3	4 5
2x1 x2 2x3 3x4 2x5 2,
x 4x x x 3.
	1	2	4 5

Решение

Для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде применимы методы Гаусса и Жордана Гаусса. Составим расширенную матрицу системы

	1	3	1	2	1	1
A	B 2	1	2	3	2	2 .
		4	0	1	1

	1					3

В соответствии с методом Жордана Гаусса будем выполнять следующие операции: в ненулевой строке основной матрицы системы выберем элемент – разрешающий элемент; в столбце, соответствующем выбранному элементу с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы получим нули. Далее будем повторять аналогичные действия (выбирать элементы необходимо в разных строках матрицы) до тех пор, пока разрешающие элементы не будут выбраны во всех строках:

A		1			3	1	2	1				1						~	1строка 2 2 строка									~
		1			3	1	2	1				1							1строка 2 2 строка
	B 2				1 2		3 2					2
			1		4	0	1 1					3
			1		4	0	1 1					3							1строка 1 3строка


			1		3	1	2						1			1						1 ~
			~ 0		7	4	1					4					4		~ 3строка			1 ~
					7	1	3						0				2
			0		7	1	3						0				2
		1	3		1	2	1		1								3строка 4 2строка										~
		1	3		1	2	1		1								3строка 4 2строка
	~ 0		7		4 2		4		4 ~

									2								3строка 1 1строка
		0		7	1	3	0
		0		7	1	3	0
			1		4 0		1				1			3								1
			~ 0		21	0	11			4					12				~ 2 строка					~
			~ 0		21	0	11			4					12				~ 2 строка					~
					7 1		3				0			2									4
			0		7 1		3				0			2									4
			0
1		4			0	1	1			3								1 5 4 0					7 4 0			0


~ 0		21			0 11		1			3 ~								0		21 4 0		11 4			1	3 ~
			4			4														7	1		3		0	2
0		7			1	3	0			2								0		7	1		3		0	2
0		7			1	3	0			2								0


~	2строка и3строка			1	5 4	0	7 4	0	0
~	поменяем местами			~ 0	7	1	3	0	2	.
					21 4	0	11 4	1	3
rang A rang A		B 3,		0	21 4	0	11 4	1	3
			значит,		система совместна. Кроме того, ранг
			значит,		система совместна. Кроме того, ранг

матриц меньше количества переменных, поэтому система имеет бесконечно много решений.

Столбцы, в которых в процессе решения были выбраны разрешающие элементы, образуют единичную матрицу, а соответствующие им переменные являются базисными.

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений, которую записываем на основе последней матрицы

x				5		x		7		x	0,

	1		4		2			4	4
											2,
		7x2 x3 3x4
		21				x	11			x x 3,

			4		2			4	4		5

x1, x3, x5 – базисные переменные, x2, x4 – свободные переменные.

Выразим из каждого уравнения базисные переменные через свободные


x			5		x	2			7	x	4	,

1	4						4

	7x2 3x4 2,
x3
		21						11		x4 3,
x5				x2

	4						4

Свободные переменные принимают произвольные значения, а значения базисных переменных вычисляются в соответствии с полученными выражениями.

Пусть x2 a, x4 b, тогда получим общее решение системы

						5				7				21			11
		X						a				b;a;7a 3b 2;b;			a				b 3 , a R,b R.
		X						a				b;a;7a 3b 2;b;		4	a		4		b 3 , a R,b R.
						4				4				4			4
	Для проверки подставим найденное решение в исходную систему
		5				7								21			11
			a				b 3a 7a 3b 2 2b									a				b 3 1,
			a			4	b 3a 7a 3b 2 2b									a				b 3 1,
		4		5		4		7						4			4				21		11
				5				7			a 2 7a 3b 2			3b 2							21		11
2						a				b												a		b 3	2,
2						a		4		b											4	a	4	b 3	2,
				4				4				21	11								4		4
				5		7						21	11
					a				b 4a b				a	b 3				3.
					a				b 4a b				a	b 3				3.
				4		4						4	4
				4		4						4	4

Упростив каждое уравнение в системе, получим

1 1,

2 2,

3 3.

Все равенства верные, значит, решение системы найдено верно.

Ответ:

	5	7		21	11
X		a	b;a;7a 3b 2;b;		a	b 3	, a R,b R.
				4
	4	4			4

Задача 3.5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)34 12 ;

2)13 04 ;

3)12 12 ;

4)21 22 ;

5)43 32 ;

6)65 22 ;

7)12 41 ;

8)10 12 ;

9)24 12 ;

10)52 12 ;

	2	1				2	0
11)	4	1 ;		;	21)	4	2 ;
	3	3				4	1
12)	2	2			22)	2	1 ;
13)	14	05 ;			23) 23		12 ;
	2	4				3	3
14)	1	3 ;			24)	1	1 ;
15)	02	13 ;			25)	15	06 ;
	0	3	;			2	1
16)	1	2	;		26)	3	4 ;
17) 14		32 ;	;		27)	02	12 ;
	0	1				1	3
18)	1	2			28)	2	4 ;
19)	02	22 ;			29)	14	14 ;
20)	13	13 ;			30)	62	13 .

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	4		2	1	;	2)	5		4	4	;	3)	4		5	2	;
		1	3	1				2	1	2				5	7	3
		1	2					2	0	3				6	9	4
				2

4)	2			1	0			;		13)	3			2		2		;				22)	1			3		3		;
4)		1		2	0			;		13)		2		1		2		;				22)		2		6	13			;
		1		1 1								2		2		3								1		4		8
		1		1 1								2		2		3								1		4		8
5)	3			1	1			;		14)	3			2		2		;				23)	4		1 1				;
5)		0		2	1			;		14)		0			3	0		;				23)		2	3		2		;
		0		1	2							0	2			1								1	1		2
		0		1	2							0	2			1								1	1		2
6)	5			1	1			;		15)	5			2		2		;				24)	2		1 1			;
6)		0		4	1			;		15)		0			5	0		;				24)		1	2	1		;
		0		1	4							0	2			3								0
		0		1	4							0	2			3								0	0 1
7)	6			2	1				;	16)	7			4		4		;				25)	3		0 0
7)		1		5	1				;	16)		2			3	2		;				25)		1	2	1 ;
		1		2		4						2	0			5								1	1		2
		1		2		4						2	0			5								1	1		2
8)	3 1				1					17)	7			6		6		;				26)	5		0		0
8)			2	2	1 ;					17)		4		1		4		;				26)		1	4	1 ;
		2 1			4							4		2		5								1	1		4
		2 1			4							4		2		5								1	1		4
9)	2 0				1			;		18)	7			6		6		;				27)	6		1 1				;
9)		1		1	1			;		18)		2			3	2		;				27)		2	5		2		;
		1 0			2							2	2			3								1	1		4
		1 0			2							2	2			3								1	1		4
10)		2 1			0		;			19)	13 2					2				;		28)	3			2	2				;
10)			1	2	0		;			19)		6			9	6				;		28)		2		5	2				;
			1 1		3							2			2		5							2		2		1
			1 1		3							2			2		5							2		2		1
11)		4 1			0		;			20)	0 1					0		;				29)	5			2	4				;
11)			1	4	0		;			20)		4			4	0		;				29)		0		1		0			;
			1 1		5							2 1				2								2		2		7
			1 1		5							2 1				2								2		2		7
12)		5 1			1					21)	1				4		8				;	30)	7			4	2
12)			2	4	1 ;					21)		4			7		4				;	30)		2		5	2			.
			2 1		6							8			4			1						0		0		9
			2 1		6							8			4			1						0		0		9
	Пример 3.5
	Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
												0			3		0
													1		2		0		.
													1		1		1
													1		1		1

Решение

Составим характеристическое уравнение

A E 0,

где A – заданная матрица, Е – единичная матрица, – независимая

переменная.
	A E	0	3		0		разложим определитель по


		1		2	0
		1		1	1		элементам тертьего столбца
		1		1	1		элементам тертьего столбца
	1				3	1 2 1 3
	1				3	1 2 1 3
				1	2

1 2 2 3 0.

Решая полученное уравнение, найдем его корни 1, 2, 3 –

собственные значения исходной матрицы

1 2 2 3 0,1 0, 2 2 3 0,

1 3, 2 1, 3 1.

Далее найдем собственные векторы матрицы, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть XT x1, x2, x3 – искомый собственный вектор.

Составим систему однородных уравнений A E X 0

		3	0				x1				0
1		2	0				x	2	0
								2
	1	1
	1	1	1				x3					0
или			3x								0,
x			3x		2						0,
		1			2						0,
	x1 2 x2					1 x					0,
		x	x	2		1 x				3	0.
		1		2						3

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как определитель ее матрицы коэффициентов равен нулю.

Пусть 1 3, тогда система примет вид

3x		3x	2				0,
	1		2				0,
	x1	x2			2x		0,
	x	x		2	2x	3	0.
	1			2		3

Найдем общее решение системы методом Жордана – Гаусса

	3	3	0	0	0	0	6	0
A	B 1	1	0	0 ~ 0		0	2	0 ~
						1

	1	1	2	0	1		2	0

0	0	1	0	0	0	0	0
~ 0	0	1	0 ~ 0		0	1	0 ,
	1	2			1	0
1	1	2	0	1	1	0	0

откуда

x3 0,x1 x2 0,

x1, x3 – базисные переменные, x2 – свободная переменная,

следовательно, общее решение системы имеет вид

XT x	x	2	0 , где x	2	– любое число.
2		2		2

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное

решение системы. Положим x2 1,	тогда собственный вектор,
соответствующий собственному числу 1	3, будет равен

1 X 1 1 .

При 2 1 и 3 1 аналогично приведенному выше

решению составляем и находим решение соответствующей системы однородных уравнений.

Пусть 2 1, тогда система примет вид

x1x1

3x2 0,

x2 0,

x2 0.

Общее решение системы данной системы найдем методом Жордана – Гаусса, откуда получим,

x2 0,x1 0,

x1, x2 – базисные переменные, x3 – свободная переменная, таким образом, общее решение системы имеет вид

XT 0 0		x , где x	3	– любое число.
Положим x3 1,		3
	тогда	собственный вектор, соответствующий
собственному числу 2	1, будет равен

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.201636.14 Кб89Расшифровка кабелей.docx
#
19.09.2019265.22 Кб0ратько оксана.doc
#
09.05.2015603.31 Кб17РГР 3 геодезия.pdf
#
08.05.2015695.81 Кб39РГР 3.doc
#
16.03.20161.08 Mб7РГР 1 КТУР 1Семестр Лектор Карпета Т В .pdf
#
16.03.20162.31 Mб38РГР1 Математика.pdf
#
11.08.20192.04 Mб1Ребяткам моим любимым..docx
#
07.07.201933.05 Кб2Регламентация труда водителя.docx
#
16.03.2016908.8 Кб17Резников Е.А. - Высшая математика.doc
#
04.12.2018516.1 Кб138РЕЙКИ. КРАТКОЕ СОВРЕМЕННОЕ РУКОВОДСТВО. .doc
#
25.11.2019154.11 Кб3Рекл_Лекция 11-12_Радио ТВ Интернет.doc