РГР1 Математика

8) Сеть трубопроводов связывает три станции опреснения воды с тремя городами. Ежедневное предложение опреснительных станций составляет 80, 40 и 60 тыс. куб.м. воды, города ежедневно потребляют 30, 50 и 90 тыс. куб.м. воды. Кроме того каждая станция может также перекачивать воду в города через специальные насосные станции. Описанная сеть показана на рисунке.

25 - - 11

Стрелками обозначены направление использования трубопроводов для подачи воды. Каждое направление характеризует два значения – пропускная способность (тыс. куб.м., первое число) и, через два тире, стоимость подачи 1 куб. м. (руб.).

Составьте такой план подачи воды, при котором обеспечивалась бы ее минимальная общая стоимость.

9) Брокеру биржи клиент поручил разместить 100 000 дол. США на фондовом рынке, сформировать портфель с ценными бумагами, чтобы получить максимальные годовые проценты с вложенного капитала. Выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций – акции А, Б, В, Д, которые позволяют получить дополнительный доход размерах соответственно 6%, 8%, 10% и 9% годовых от вложенной суммы. При этом клиент поручил не менее половины инвестиций вложить в акции А и Б. Прогнозы рыночных аналитиков свидетельствуют о том, что не менее 25 % общей суммы капитала нужно поместить в акции Д, а в акции B не более 15% капитала. Специфика налогообложения указывает на необходимость вложения в акции А не менее 30% капитала. Определить распределение инвестиций капитала, обеспечивающего максимальный дополнительный доход.

100

10) В таблице отражены 5 проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании.

Значения в таблице следует понимать так: 1 - это вложение средств, кратных 1 ед., +0,3 это получение 0,3 единиц на одну вложенную единицу, 0 – это деньги в проект вложены, но не возвращаются в текущем периоде, прочерк – отсутствие возможности вложения средств.

Максимальная сумма которая может быть вложена в проект А составляет 500 000 единиц. В течение четырех лет компания планирует оперировать начальной суммой 1 000 000 единиц и средствами, полученными за счет инвестиций. В дополнении к этому компания может получать по 12 процентов годовых за вложения средств на год, которые не были инвестированы в проекты. Как инвестировать имеющиеся средства для получения максимальной прибыли к конечному периоду?

Задача 6.3. Из A листов железа первого размера и B листов железа второго размера выкраиваются три вида деталей. В таблице даны нормы выхода деталей в зависимости от размера листа

Требуется не менее m деталей I вида, не менее n деталей II вида и не менее p деталей III вида. Каким образом осуществить раскрой, чтобы количество израсходованных листов было минимальным? Решить задачу графическим методом.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 1 по 15:

101

Из листа железа выкраивается три вида деталей двумя различными способами. В таблице даны нормы выхода деталей и остатки сырья при различных вариантах раскроя

Требуется не менее m деталей I вида, не менее n деталей II вида и не менее p деталей III вида. Каким образом осуществить раскрой, чтобы количество остатков было минимальным? Решить задачу графическим методом.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 16 по 30:

102

Пример 6.3. Из 50 листов железа первого размера и 70 листов железа второго размера выкраиваются три вида деталей. В таблице даны нормы выхода деталей в зависимости от размера листа

Требуется не менее 300 деталей I вида, не менее 122 деталей II вида и не менее 192 деталей III вида. Каким образом осуществить раскрой, чтобы количество израсходованных листов было минимальным? Решить задачу графическим методом.

Решение

Составим математическую модель данной задачи. Предположим, что при раскрое будет израсходовано x1 лист размера 1 и x2 листов размера

2. Поскольку есть требование по количеству выкраиваемых деталей каждого вида и ограничения по количеству имеющихся листов, то должны выполняться неравенства

3x1 4x2 300,4x1 x2 122,3x1 2x2 192,

x1 50,

x2 70.

Количество израсходованных листов не может быть величиной отрицательной и дробной, поэтому

x1 0, x2 0,

x1, x2 – целые. Общее количество листов составит

F x1 x2.

Таким образом, получаем следующую математическую задачу: среди всех целых неотрицательных решений x1,x2 системы линейных нера-

венств

3x1 4x2 300,4x1 x2 122,3x1 2x2 192,

x1 50,

x2 70.

103

требуется найти такие, при которых функция F x1 x2 принимает ми-

нимальное значение.

Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Определим многоугольник решений. Для этого в ограничениях заменим знаки неравенств на равенства и построим соответствующие прямые:

l4 : x1 50; l5 : x2 70; l6 : x1 0; l7 : x2 0.

Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость. Полуплоскость, не удовлетворяющую ограничению, отметим на рисунке штриховкой.

Найдем полуплоскость, определяемую каждым неравенством системы ограничений задачи. Во всех случаях возьмем точку с координатами 1;1 :

3 1 4 1 300 – неверно;

4 1 1 122 – неверно;

3 1 2 1 192 –неверно;

1 50 – неверно;

1 70 –неверно;

1 0 – верно;

1 0 – верно;

Таким образом, относительно прямых l6 , l7 искомыми являются полу-

плоскости, в которых лежит точка 1;1 , прямых l1 l5 полуплоскости, в

которых точка 1;1 не лежит. Пересечение этих полуплоскостей и опре-

104

Следовательно, для получения требуемого количества деталей каждого вида требуется раскроить 28 листов размера 1 и 54 листа размера 2, при этом общее количество израсходованных листов:

105

1)

2)

106

108

109