Т4 Управление в ДС

Рис. 4.4.3. Структура нелинейной системы управления

Здесь Ob – объект управления, Программа – блок программного управления объектом, H – наблюдатель состояния, Kу – матрица

коэффициентов; ур – расчетное значение выхода объекта управления, у –

фактическое значение выхода объекта, у – отклонение фактического значения выхода объекта от расчетного, x – оценка отклонения состояния объекта, uр – расчетное значение управления объектом, u –

коррекция расчетного значения управления объектом, u – результирующее управление объектом.

В приведенной структуре выделяются два процесса управления: программного управления объектом и управление по отклонению. В общем случае оба вида управления различаются по своим характеристикам.

Программное управление осуществляет прямое управление объектом без обратной связи и осуществляется в «большом», т.е. охватывает в целом режимы функционирования объекта. Поэтому линеаризация динамических характеристик здесь, как правило, недопустима и необходимо учитывать существенные нелинейности объектов. Оптимизация программного управления может быть выполнена на основе принципа максимума Понтрягина или динамического программирования Беллмана. Оба подхода специально созданы для решения задач оптимального управления с учетом ограничений. Задачи программного управления фактически представляют собой класс задач исследования операций, которые динамически развиваются во времени.

Управление по отклонению решает задачу стабилизации движения объекта на программной траектории. Так как отклонения движения объекта от программной траектории для эффективной системы управления, как правило, относительно «малы», то при решении задач управления можно использовать линеаризованные модели. Отклонения от программной траектории обычно носят колебательный характер, поэтому

358

здесь допустимо использовать квадратичные оценки качества управления по типу среднеквадратичных уклонений.

Необходимо также обратить внимание на то, что в данной структуре системы управления темпы проходящих процессов на практике часто являются разными. Процессы программного управления являются обычно более медленными по сравнению с процессами в контуре управления по отклонению. Это означает, что при инженерных расчетах для программного управления могут использоваться упрощенные модели динамики объекта управления, в то время как для контура управления по отклонению необходимо использовать модели динамики с учетом быстрых движений.

4.4.3. Практические вопросы конструирования

Рассмотренные решения задач оптимального управления осуществляются при упрощающих допущениях, основными из которых являются следующие.

1.Решения формулируются в рамках типовой математической задачи определения экстремума функционала в функциональном пространстве при наличии ограничений. Подобная постановка отражает разомкнутую схему управления объектом без обратной связи, в то время как практические задачи управления, как правило, реализуются с обратной связью и ориентированы на разработку соответствующих законов управления.

2.Аналитические решения получены для линейных задач с квадратичными критериями качества. Однако реальные задачи управления в общем случае являются нелинейными, при этом технические условия на качество управления формулируются в виде равенств и неравенств.

3.Не учитываются сложные и плохо формализуемые технические условия.

Вследствие сказанного полученные решения задач оптимального управления на практике следует рассматривать как исходный материал для углубленного инженерного анализа причин оптимальности полученных решений и возможностей их использования при проектировании реальных систем управления.

При рассмотрении практических вопросов конструирования прежде всего обратим внимание, что решения задач оптимального управления, рассмотренные выше, приводят к двухступенчатым схемам реализации

359

управления – программного управления и следящего управления по отклонению. Обращаясь к практике управления технологическими процессами легко увидеть аналогию в структурах управления. Оптимизация и управление технологическими процессами носит, как минимум, также двухступенчатый характер. Здесь сначала рассчитывается оптимальная программа ведения технологического процесса. Затем для удержания режимных параметров вблизи расчетных используются методы автоматического регулирования. Обе задачи, как правило, не объединяются друг с другом в единую задачу. Вследствие существующего на производстве разделения труда программы ведения технологических процессов формируются технологами, специалисты по автоматике ведают системами автоматического регулирования.

Разделение на практике указанных задач имеет глубокий смысл. Дело в том, что программы ведения технологических процессов должны отражать не только динамический аспект управления. Решающую роль здесь играет эффективность собственно технологического процесса, включающая сюда качество выпускаемой продукции, энергетические и материальные затраты, надежность и др. Вследствие этого оптимизация программ ведения технологических процессов должна основываться на методах исследования операций, специально ориентированных для решения соответствующих классов задач.

Исходя из сказанного, в соответствии с общим подходом к оптимизации сложных систем выделение составляющей программного управления объектом можно рекомендовать как способ декомпозиции общей задачи оптимального управления на задачи разных уровней: технологического уровня и уровня автоматического регулирования. При этом решение задачи программного управления необходимо решать в более широком контексте технологии управления объектом в целом.

Обращаясь к задачам автоматического регулирования, прежде всего необходимо отметить, что общее решение задач оптимального управления здесь получено в основном для линейных систем с квадратичными критериями качества. Однако оптимальность систем управления в смысле квадратичного функционала, вообще говоря, не связана с их инженерными показателями качества. Более того, еще в 1964 г. Р. Калманом было показано11, что любая сколь угодно «плохая» с инженерной точки зрения система управления является оптимальной в смысле некоторого положительно-определенного функционала. С другой стороны, это обстоятельство свидетельствует о том, что рациональным выбором структурных параметров положительно определенного функционала

11 Калман, Р.Е. Когда линейная система является оптимальной? / Р.Е. Калман // Тр. амер. общ-ва инж.-мех. Серия Д, №1: Мир, 1964. – С. 69-84.

360

можно определить систему управления, оптимальную с точки зрения инженерных показателей качества.

Ранее в разделе 3.4.3 очерка 3 было показано, что структурные параметры квадратичного функционала, заданного в интегральной форме, могут быть интерпретированы как структурные параметры соответствующих корректирующих операторов в дифференциальной форме. Этот факт также следует из структуры решений задач оптимального управления, рассмотренных выше. Данное обстоятельство позволяет рассматривать инженерные показатели качества и квадратичные показатели как разные группы показателей, дополняющих друг друга, и поставить задачу оптимизации по комплексу инженерных и квадратичных критериев.

Рассмотрим соответствующую стратегию решения задач конструирования систем управления.

На первом исходном этапе на основе инженерного опыта и эвристик проводятся исследования по конструированию системы управления заданным объектом с допустимыми значениями инженерных показателей качества управления в соответствии с техническими условиями (этап инженерного исследования). Здесь необходимо обратить внимание, что реальные технические объекты, как правило, проектируются таким образом, чтобы они были управляемыми и по возможности наблюдаемыми. Этой цели служат использование различных рычагов управления, исполнительных механизмов, измерительных приборов и т. п. Этой же цели служат также различные методы коррекции динамических характеристик системы на основе использования корректирующих динамических звеньев, дополнительные связи, вводимые для обеспечения автономности и инвариантности управления и другие инженерные решения. Все указанные средства следует рассматривать как средства обеспечения качества управления по инженерным критериям. В зависимости от постановки задачи их можно отнести как к объекту управления, так и к управляющей подсистеме. При отнесении к объекту управления подобный объект можно рассматривать как специально сконструированный с целью обеспечения допустимого качества управления по инженерным критериям – объект управления с нормализованной динамикой.

На втором этапе решается задача оптимизации структурных параметров автоматической системы, построенной на предыдущем этапе.

С этой целью сначала формулируются технические условия на конструируемую систему. Например, многие инженерные показатели качества, входящие в состав технических условий, формулируются как ограничения. Ограничения с математической точки зрения описываются в форме равенств и неравенств. При постановке задач оптимизации

361

инженерные критерии выбора решений, как правило ранжируются по важности выполнения. Математически данный факт можно выразить на основе назначения весов ограничений. В итоге математическая постановка задачи оптимизации по инженерным критериям в общем случае может быть сформулирована, например, как задача решения системы взвешенных неравенств:

где i – вес соответствующего ограничения.

Каждое из ограничений (3.1) можно определить также на основе квадратичных неравенств

будут квадратичными.

Как было указано ранее, оптимальные системы являются асимптотически устойчивыми. Однако для них могут быть характерны малые запасы устойчивости. В этом случае запас устойчивости по i -ому состоянию можно определить, например, как квадратичный функционал

где zi - аддитивное возмущение состояния xi , ограниченное по норме, определяемой тем или иным способом; xi - невозмущенное состояние системы, xi - возмущенное состояние системы, определяемое ее динамическими свойствами при воздействии возмущения zi .

Качество переходного процесса в системе может быть задано, например, неравенствами

технических ограничений (4.4) в заданные моменты времени.

Технические ограничения (3.4) могут быть заданы квадратичной функцией

После того как сформулированы частные показатели потерь, например (3.2)-(3.5), итоговый показатель потерь формулируется как квадратичный функционал

362

соответствующего технического условия.

Функционал потерь (3.6) зависит от варьируемых структурных параметров c , куда входят искомые конструктивные параметры системы управления, а также собственные неопределенные параметры функционала.

На заключительном этапе (этап поиска синтетических решений) на основе полученных решений совместно с процедурами вычисления исходных инженерных показателей качества (3.1), (3.3), (3.4) осуществляется построение вычислительной модели системы управления в целом. В этом случае инженерные показатели качества будут связаны вычислительными зависимостями с вектором варьируемых структурных параметров c . Варьируя на вычислительной модели структурные параметры c можно на основе тех или иных методов решить задачу синтеза системы управления по критерию минимума целевого функционала (3.6) и группе прямых инженерных показателей качества (3.1), (3.3), (3.4), которые выступают здесь как ограничения.

Эффективное решение указанной задачи может быть выполнено на основе метода взвешенных ограничений (см. раздел 2.5 очерка 2). В этом случае алгоритм решения задачи состоит из двух частей, определяющих дискретный переборный процесс и непрерывный решающий процесс. Решающий процесс реализует минимизацию квадратичного функционала (3.6), переборный процесс выделяет максимально совместную подсистему технических условий (3.1). При решении задачи рекомендуется использовать интерактивные методы оптимизации.

Другой подход к конструированию синтетических решений на основе сочетания классических частотных методов и методов оптимального управления изложен в работе12. В общем случае для построения синтетических решений могут быть использованы различные подходы, отражающие инженерное содержание решаемых задач.

Необходимо отметить, что решение поставленной задачи рекомендуется осуществлять с использованием принципа минимальной сложности при ограничениях, определяемых техническими условиями. С этой целью целесообразно построить шкалу сложности вариантов построения системы управления. В качестве показателя сложности можно использовать, например, количество состояний, используемых в структуре

12 Александров, А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Александров. – М.: Машиностроение, 1986. – 272 с.

363

наблюдателя состояния и в управлении. В этой шкале в качестве системы минимальной сложности можно принять допустимую по техническим условиям систему минимальной реализации, построенную на основе инженерных методов. В качестве системы максимальной точности естественно принять систему, оптимальную по точностным характеристикам. Эффективное решение определяется на основе компромисса между показателями точности и сложности на шкале сложности построений систем управления.

4.5 Модельно-упреждающее управление

Модельно-упреждающее управление основывается на решении задач идентификации и собственно управления в реальном времени на заданном интервале упреждения.

Рассмотрим вначале задачу идентификации линейного одномерного объекта. Для данного случая динамика объекта управления может быть представлена во временной области интегральным соотношением

где u(t) - входное воздействие, w(t, ) - весовая функция линейной нестационарной системы, y(t) - выходная реакция объекта. При решении задачи идентификации в соотношении (1) известными считаются входной

Применение оператора усреднения (4) к выражению квадрата ошибки приводит к формуле экспоненциальной среднеквадратичной ошибки

364

(6)

Выражение (5) представляет собой квадратичный функционал относительно неизвестной функции w(t, ) . Минимум данного функционала достигается решением линейного интегрального уравнения

Решение линейного интегрального уравнения (7) можно выполнить с использованием численных методов, например, методом сеток путем сведения его к системе линейных алгебраических уравнений.

С этой целью проведем дискретизацию оси времени с некоторым

уравнению (7) будет соответствовать система линейных алгебраических уравнений

Решение системы уравнений (8) определяет решение {wkj } задачи

идентификации весовой функции w(t, ) .

Как следует из материала раздела 3.4.3 очерка 3, постановка задачи идентификации по единственному критерию точности E2 (t) является некорректной. Здесь необходимо использовать дополнительные критерии, отражающие в том или ином смысле сложность искомого решения, позволяющие регуляризовать постановку задачи. В качестве такого критерия можно использовать, например, интегральную полосу пропускания системы

В этом случае задача идентификации ставится как задача минимизации функционала

Интегральное уравнение, которому удовлетворяет искомая весовая функция

365

Система уравнений (12) имеет решение при любых входных данных u(t) , y(t).

Точность решения рассматриваемой задачи можно усилить, если априори будет известна номинальная весовая функция системы wн (t, )

допустимой сложности, относительно которой текущая весовая функция w(t, ) представляет собой уклонение от номинала. Тогда в качестве критерия регуляризации постановки задачи можно использовать квадрат нормы уклонения от номинальной весовой функции

Регуляризующий функционал вида (13) можно назвать стабилизирующим, так как он осуществляет стабилизацию решения в окрестности заданного номинала.

Далее, аналогично предыдущему случаю ставится задача минимизации функционала

j

Задача идентификации в соответствии с уравнениями (15), (16) имеет гарантированную точность решения не хуже точности номинальной весовой функции при любых входных данных u(t) , y(t) .

Построенное выше решение задачи идентификации для одномерного динамического объекта допускает естественное обобщение на многомерный случай.

Соответственно поведение многомерного динамического объекта может быть описано соотношениями

366

реакция объекта по l -ому выходу, wl (t, ) - вектор весовых функций

линейной нестационарной системы по l -ому выходу.

Выражения экспоненциальных среднеквадратических ошибок по l - ому выходу будут иметь вид

j

__________________________________________

Рассмотрим решение задачи упреждающего управления.

367