Т4 Управление в ДС

при граничных условиях x(t0 ) x0 и λ(tT ) 0 . При задании конечных условий для x последнее граничное условие заменяется: x(tT ) xT .

Уравнения (1.18)-( 1.20) называются уравнениями ЭйлераГамильтона в канонической форме. Решение указанных уравнений позволяет найти управляющее воздействие u(t) , которое минимизирует функционал потерь.

Интерпретация постановки задачи оптимизации в терминах

представляет полную энергию системы, x, u следует выбирать из условия минимума (максимума) в каждый момент времени функции H . Это условие дает уравнение (1.19). Уравнения (1.18), (1.19) представляют собой уравнения движения системы в аналитической механике Гамильтона.

Понтрягиным Л.С.6 в терминах уравнений аналитической механики была дана постановка задачи оптимального управления, которая сводит задачу к оптимизации некоторой координаты. В соответствии с принципом оптимальности Понтрягина, вводится нулевая координата

t

x0 (t) 0 [x( ), u( ), z( ), ]d ,

t0

так что x0 (t) 0 [x(t), u(t), z(t), t] . Оптимизация x0 (t) в момент времени t tT соответствует оптимизации показателя потерь (качества), так как

tT

I0 x0 (tT ) 0 [x(t), u(t), z(t), t]dt ,

t0

что соответствует оптимизации исходного функционала потерь (качества). Третий вариант аналитического решения поставленной задачи дает

принцип оптимальности Беллмана7.

В этом случае формулируется так называемая функция Беллмана

(1.21)

Функция Беллмана представляет собой показатель потерь, минимизированный выбором оптимального вектора управления на

6Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, В.Ф. Мищенко. – М.: Физматгиз, 1961.

7Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. – М.: ИЛ, 1960.

348

минимизирует функционал потерь, то устраняется зависимость правой части (1.21) от вектора управления u , тем самым функция Беллмана зависит только от аргументов x( ) и . При этом обратим внимание, что при tT функция Беллмана будет иметь значение

T [x(tT ), u(tT ), z(tT ), t

(1.24)

Согласно принципу оптимальности Беллмана управление на каждом из последующих участков времени должно быть оптимальным независимо от состояния системы на предыдущих интервалах, т.е. при оптимально управлении функционал потерь должен быть минимальным и на участке [ , tT ]. Это порождает рекуррентное соотношение для функции

Беллмана, записанной в виде (1.24). Принимая условие, что отрезок времени достаточно мал, можно на основе эквивалентных математических преобразований и предельных переходов получить уравнение для функции Беллмана

имеющее граничное условие (1.23). Решая уравнение (1.25), можно определить оптимальное управление, которое минимизирует функционал потерь.

Особенность рассмотренных аналитических подходов (1.21)-( 1.25) состоит в том, что здесь постановки задач оптимального управления не содержат в качестве исходного требования отрицательной обратной связи по выходу объекта. Это связано с тем, что исходной базовой схемой управления здесь является не структурная схема с отрицательной обратной связью, принятая в инженерной практике, а теоретическая схема решения экстремальных задач с ограничениями, принятая в вариационном исчислении. Вследствие этого задачи оптимального управления здесь ориентированы на поиск прямого управления объектом без обратной связи. Решения задач управления с обратной связью здесь получаются

349

лишь в случае, если удается в явном виде выразить зависимость управления от состояния объекта. Однако подобные решения могут оказаться непрактичными.

4.4.2. Типовые задачи

10. Оптимальные линейные задачи

Предположим, что поведение объекта управления описывается уравнениями

x A(t)x B(t)u,

предпочтений по минимизации ошибки движения системы (yр Cx) и ее

состояния x ; K - симметричная положительно-определенная матрица весовых коэффициентов, ограничивающих мощность управления.

Уравнение (2.1.5) состоит из 2n линейных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих 2n неизвестных x1, x2 , . . . , xn ;

1, 2 , . . . , n . Они подчинены n граничным условиям при t t0 : x(t0 ) =x0 , а также n граничным условиям на конце интервала времени: либо

350

λ(tT ) 0 , либо x(tT ) xT в зависимости от постановки задачи. Решение уравнения (2.1.5) позволяет получить оптимальное управление uopt (t) в интервале времени t0 t tT .

Решение уравнения (2.1.5) невозможно осуществлять в реальном времени, так как оно зависит от граничных условий в двух точках: начальной и конечной. Более того, оптимальное управление зависит от значений вектора состояния, которые в соответствии с уравнением (2.1.5) необходимо знать с упреждением. Подобное управление физически нереализуемо. Поэтому данное решение следует рассматривать как решение задачи планирования управления. Полученный план оптимального управления в дальнейшем можно использовать для разомкнутого управления реальным объектом либо использовать стратегию модельно-упреждающего управления.

Рассмотрим вопрос разделения двухточечной краевой задачи, которую представляет собой задача (2.1.5) в две одноточечные задачи, из которых одна решается в реальном времени, а вторая с упреждением во времени8.

С этой целью введем линейную связь между векторами x и λ , обусловленную уравнением (2.1.5)

переменных; v - переменный вектор.

Подстановка соотношения (2.1.6) во второе уравнение (2.1.5) дает

Rx Rx v (CтPC Q)x AтRx Aт v CтPyр .

Далее, подстановка x из первого уравнения (2.1.5) с учетом соотношения (2.1.6) приводит к уравнению

(R RA AтR RBKBтR CтPC Q)x v (Aт BKBт )v CтPyр .

Так как это выражение должно выполняться для всевозможных x , то условием этого служат уравнения

R RA Aт R RBKBтR CтPC Q 0 ,

дифференциальных уравнений первого порядка типа Риккати. Второе уравнение (2.1.7) является системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка, сопряженной к уравнениям системы, замкнутой по управлению. В случае отсутствия ограничений на x(t) в конечной точке t tT краевое условие принимается λ(tT ) 0 . Тогда

8 Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления (для инженеров) / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз - М.: Наука, 1970.- С. 572-573.

351

граничные условия, накладываемые на R и v в соответствии с уравнением (2.1.6), состоят в равенстве нулю элементов R и v в конечной точке t tT .

Определив R и v , можно получить закон управления оптимальной системы в результате подстановки уравнения (2.1.6) в уравнение (2.1.4):

системы управления с обратной связью.

С этой целью произведем замену переменных во втором уравнении

линейных алгебраических уравнений. Если определитель системы уравнений (2.1.9) отличен от нуля, то система уравнений имеет однозначное решение

Если система уравнений недоопределена, то в качестве решения принимается, например, одно из базисных решений, свободные составляющие решения обнуляются.

При определенных R и xp закон управления оптимальной системы

Рис. 4.5.2. Структура оптимальной системы управления

352

Интерпретация построенной структуры оптимальной системы управления следующая.

При решении задачи оптимального управления на стадии оптимального планирования осуществляется расчет матрицы коэффициентов усиления R и расчетного вектора состояний xp .

Оптимальное планирование сводится к решению краевых задач (2.1.10) в обратном времени от t tT к t t0 при заданных конечных условиях.

После того как получены оптимальная матрица коэффициентов усиления R и расчетный вектор состояний xp , в реальном времени

«вперед» от t t0 к t tT решается задача оптимального регулирования

состояния объекта управления с обратной связью по ошибке регулирования.

Таким образом, задача оптимального управления распадается на две последовательные стадии решения задачи: оптимального планирования и оптимального регулирования. Отметим, что полученный здесь формальный результат находится в полном соответствии с общей логикой решения задач системными методами: планирование операции (L2) и

реализация операции (L3), если под операцией здесь понимать операцию

по управлению объектом. Как и в общем случае, планирование операции управления здесь осуществляется в обратном времени, реализация операции – в реальном времени.

20. Решение линейных задач методом динамического

программирования

Рассмотрим синтез терминального управления линейным объектом

На основе общего уравнения для функции Беллмана (1.25) с использованием соотношений (2.2.1), (2.2.2) получим уравнение для функции Беллмана в рассматриваемом случае

353

Граничные условия для уравнений (2.2.9), (2.2.10) можно получить на основании общего требования к граничным условиям функции

Здесь R(t) и ρ(t) определяются уравнениями (2.2.9), (2.2.10).

Как и в предыдущем примере для получения структуры системы управления с регулирующей обратной связью по отклонению произведем замену переменных

Рассмотрим вопрос устойчивости оптимальной системы.

С этой целью определим полную производную функции Беллмана по времени

оптимальные управляющие воздействия и отвечающие им траектории координат объекта, то это уравнение можно представить в виде

Поэтому функция V стремится с течением времени к минимуму. Данное условие является условием асимптотической устойчивости замкнутой системы управления. При этом функция V выступает здесь как функция

355

Ляпунова, которая лежит в основе метода Ляпунова оценки устойчивости динамических систем.

30. Структура оптимального регулятора

Рассмотренные выше оптимальные законы управления линейным объектом построены на знании вектора состояния объекта. Однако в действительности вектор состояния непосредственно не наблюдаем, поэтому необходимо использовать специальные устройства – наблюдатели состояния, которые восстанавливают состояние объекта по результатам наблюдения. Таким образом, конструкция регулятора состоит из собственно регулятора + наблюдатель состояния.

Для построенной указанным образом системы регулирования справедливо следующее9.

Пусть даны уравнения объекта, уравнение системы оценки его состояния и закон управления

x Ax Bu, y Cx,

Доказательство данного положения весьма простое. Достаточно произвести замену переменных в уравнениях (2.3.1) по правилу: x x xˆ . Это преобразование линейно и взаимно однозначно и, следовательно, не влияет на многочлен s . В новых координатах уравнения (2.3.1) примут вид

x (A BKу )x BKуxˆ,

(2.3.3)

xˆ (A KнC)xˆ.

Характеристический многочлен s является характеристическим многочленом матрицы, представляющей уравнения (2.3.3)

Из рассмотрения матрицы (2.3.4) видно, что в определитель системы уравнений (2.3.3), а следовательно и в характеристический многочлен s ,

9 Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб. – М.: Мир, 1971.

356

справедливость соотношения (2.3.2). Полученный результат может быть сформулирован в виде теоремы10.

Теорема. Рассмотрим линейный объект, обладающий свойствами управляемости и наблюдаемости. Выберем матрицу Kу , определяющую

устойчивый закон управления, т.е. выберем Kу так, чтобы многочленA BKу был устойчивым многочленом. Точно также выберем матрицу Kн ,

определяющую устойчивую систему оценки состояния; в этом случае многочлен A KнC также устойчив. Определим регулятор как систему,

состоящую из системы оценки состояния и закона управления. Тогда система управления в целом (объект + регулятор) описывается уравнением

(2.3.1).

Эта замкнутая система устойчива. Более того, динамическое поведение этой системы есть прямая сумма динамического поведения контура регулирования (определяемого матрицей A BKу ) и контура

оценки состояния (определяемого матрицей A KнC ).

40. Управление нелинейными объектами

В общем случае объекты управления являются нелинейными динамическими системами. При наличии существенных нелинейностей общего метода решения задач оптимального управления для конкретных объектов не существует. Каждую конкретную систему здесь необходимо рассматривать индивидуально и разрабатывать свой способ решения задачи, исходя из общих принципов оптимизации.

Достаточно общей структурой нелинейной системы является структура, представленная на рис. 4.4.3.

10 Там же, стр. 76-77.

357