Содержание экономико-математический (эконометрической) модели.

Содержанием любой модели является выраженная в формально-математических соотношениях, экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями – это результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами и величинами. Таким образом, модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме. По содержанию различают разнообразные модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Модели включают в себя показатели, сгруппированные различными способами, систему ограничений и целевую функцию. Показатели определяет и группирует статистика. Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми, целевая функция связывает между собой различные величины модели. В качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность), поэтому целевую функцию иногда называют экономической-критериальной. Критерий оптимальности – это экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции. Смешивать понятия критерия оптимальности и целевой функции нельзя. Критерий оптимальности – понятие модельное, экономическое. Он может быть натуральным или стоимостным, максимизируемым или минимизируемым.

Решение модели или допустимый план.

Решением модели или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет её системе ограничений. Модель имеет множество решений или множество допустимых планов, среди которых нужно найти единственное удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции называется оптимальным.Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково. Если модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько, поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение называют экстремальным планом или экстремальным решением. Целевая функция, зависящая от переменных величин в заданной области их изменения всегда достигает или наибольшего значения, или наименьшего значения, или вообще его не имеет. Экстремальные значения целевой функции достигаются внутри, а оптимальные значения, как внутри, так и на границах области изменения переменных величин. Поэтому экстремальные значения целевой функции могут совпадать с оптимальными. Однако это не значит, что все оптимальные значения целевой функции являются экстремальными. Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции. Для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может. Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить её модель по структуре включающую в себя систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.

Методика построения модели.

1. Формулируются предмет и цели исследования

2. В рассматриваемой системе выделяются структурные и функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов.

3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами модели.

4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и фрмализуются ,насколько это возможно, взаимосвязи между ними. Таким образом формулируется модель.

5. Осуществляются расчёты по модели и проводится анализ полученного решения.

Роль моделей.

Модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений может опираться лишь на интуицию,, однако при этом могут быть упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надёжный прогноз. Длялюбого экономического субъекта возмоность прогнозирования ситуации означает получение лучших резултатов или избежание потерь.

Неполнота модели.

По своему определению любая модель абстрактна и следовательна неполна, т.к. выделяя наиболее существенные факторы определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта она абстрагируется от других факторов, которые не смотря на свою относительную незначительность в совокупности могут опрелеоять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Например, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой либо товар определяется спросом потребителя, однако на величину спроса окахывают влияние и ругие факторы, такие как: вкусы и ожидания потерь, цены на другие товары, возедйствие моды, рекламы и т.д. Поэтому предполагают, что все факторы неучтённые явно в экономческой модели оказывают на объект относительно малое результирующее влздействие в интересующем аспекте. Состав учтённых в моделях факторов и её структура могут быть уточнены в ходе соверщенствования модели.

Вид модели.

Построенная модель должна иметь ограничения, которые должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, поэтому достаточно выявить только основные условия. Полученная модель ьулет упрощ1нной по сравнениб с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи . в упрощённом виде модель представляет собой:

1. систему ограничений ((равенство неравенство)

2ю условие неотрицательности переменнх, исходя иили изической сущности переменных.

3. условие целочисленности (округление дробных значений до целых в большую/меньшую сторону) в соответствии с полставленной целью.

4. Целевую функцию

Задача: На предприятии организуется дополнительный цех для использования остающихся от основного производства материалов. Цех может освоить выпуск продукции двух видов: письменные столы и книжные шкафы. Эти виды продукции могут производиться в любых соотношениях, т.к. сбыт заранее обеспечен. Но количество рабочих мест в цехе и ресурсы основных материалов ограничены заданными пределами. При этом, не требуется обязательного использования всего объёма ресурсов, но необходимо, чтобы расход рабочего времени и материалов был не больше заданных пределов. Задача состоит в том, чтобы запланироват цеху ежемесячный выпуск продукции, обеспечив при этом наибольшую возможную сумму прибыли. Перед решением таких задач из всего многообразия ресурсов, необходимо выбрать основные, которые в большей степени влияют на итог. Выберем три основных ресурса: рабочее время, древесина, стекло. Исходные данные поместим в стандартную таблицу.

Продукция	Норма затрат				Прибыль, тыс.
	Рабочее время	Древесина	Стекло
Стол	9,2	0,3	-	3
Шкаф	4	0,6	2	2
Объём ресурсозатрат в месяц	520	24	40	-

Начнём выпуск продукции с изготовления столов, т.к. они требуют меньшее количество ресурсов и обеспечивают более высокую прибыль за единицу. Определим, какое количество столов можно изготовить из ресурсов рабочего времени.

1) 520/9.2=56,5~56 (РВ на столы)

2) 24/0,3=80 (Максимум древесины);

3) стекла не требуется

4) limРВ=56

5) Определить остатки ресурсов после выпуска столов. 520 – 9,2*56=4,8

6) 24-0,3*56=7,2

7) 40 – 0 =40

8) Какое количество шкафов можно сделать из остатков? 4.8:4=1.2~1

9) 7.2:0,6=12

10) 40:2=20

11)limРВ=1 шкаф

Итого: 56 столов и 1 шкаф.

Pr=170

12) 520 -9,2*56 – 4*1=0.8

13)24 – 0,3*56 – 0.6*1=6.6

14)40-1*2=38

2 программа:

1) 520:4=130

2)24:0,6=40

3) 40:2=20

4) limС=20 шкафов

5) 520 – 4*20=440

6) 24 – 0,6*20=12

7) 40-2*20=0

8) 440:9.2=47.8

9) 12:0.3=40

10) limД=40

40 столов и 20 шкафов=40*3+20*2=160 

11) 520 – 9.2*40-0.6*40-4*20=72

12) 24-0.3*40-0.6*20=0

16) 40-2*20=0

Условие задачи представим в математической форме: Х1 – количество выпускаемых столов, Х2 = шкафов. Выразим математические ограничения

1) 9.2Х1 + 4Х2=<520

2)0,3Х1+0,6Х2=<24

3) 2Х2=<40

3Х1+2Х2 ->max

Х1 и Х2 >=0 (условие неотрицательности)

4) Выразим ограничение графически. По оси абсцисс откладываем столы (Х1), по оси ординат – шкафы (Х2).в первом уравнении – (0;130), (56.5;0), во втором (0;40), (80;0). В третьем (0:20).

Градуировка: по оси абсцисс до 80, по ординат до 130. Получаем точки OABCD.

Для нахождения оптимальной точки необходимо построить прямую прибыли. Для этого максимизируемую функцию подставить какую-либовиртуальную прибыль любое число кратное коэффициентам уравнения.

3х1+2х2 =<120; (0;60), (40:0).

Для нахождения оптимальной точки переместить прямую прибыли параллельно самой себе таким образом, чтобы получить единственную точку касания прямой прибыли и области допустимых решений. В данном случае это точка С. То есть точка С – оптимальная точка.

Для нахождения координат точки С необходимо решить систему уравнений.

{ 9,2Х1+4Х2=520

{ 0.3Х1+0.6Х2=24

Х1=50 столов, Х2=15 шкафов

13) 50*3+15*2=180

14) 520-9,2*50 – 4*15=0

15) 24 – 0.3*50 – 0.6*15=0

16) 40 – 2*15=10

Таким образом модель позволила определить максимальную прибыль, рационально использование ресурсов, оптимальное сочетание продукции и возможность прогнозирования ситуации.

Обратная модель.

Задача. Ежедневный рацион кормления КРС может включать несколько видов кормов в различных соотношениях и пропорциях. Это позволяет ставить задачу определения наиболее дешёвого кормового рациона с тем условием, чтобы он содержал необходимое по научным нормам количество кормовых единиц белка, витаминов, минеральных веществ и др. компонентов. Пусть рацион состоит из двух видов кормов, сена и концентратов, а требования к его качеству ограничиваются содержанием трёх компонентов: кормовые единицы, белок, кальций. В отличие от первого примера, данная задача не на максимум, а на минимум, т.к. требуется найти самый дешёвый рацион. Ограничение также имеют другой характер. Если в первой задаче расход ресурсов не должен был превышать заданный объём, в данном случае содержание питательных веществ должно быть не меньше установленной потребности. В стандартной таблице необходимо указать числовые данные о суточной потребности одного животного в питательных веществах, о содержании питательных веществ в 1 кг кормов каждого вида и о себестоимости корма.

Вид корма	В 1 кг				Себестоимость 1 кг
	КЕ	Б	К
Сено	0.5	50	10	1.5
Концентрат	1	200	2	2.5
Суточная потребность	20	2000	100	-

Обозначим количество сена как х1. Количество концетратов х2. Сформулируем математически условие задачи.

1) 0.5Х1+Х2>=20 (0:20); (40;0)

2) 50x1+200x2>=2000 (0:10); (40:0)

3) 10x1+2x2>=100 (0; 50); (10;0)

1.5x1+2.5x2 ->min- себестоимость

1,5x1+2,5x2=30 (0;12); (20;0)

Bлежит на пересечении первой и третьей прямых.

{0,5х1+х2=20

{10х1+2х2=100

Х1=6,667; Х2=16,667

Себестоимость=1.5*6.667+2.5*16.667=10.001+41.668=51.669

Избытки(КЕ)=20-0.5*6.667 – 1*16.667=-0.001

Избытки(Б)=2000-50*6.667 – 2000*16.667=-1666.75

Избытки(К)=100 – 10*6.667 – 2*16.667=0.004