Теория ошибок.

Ошибки измерения.

Измерение объектов не могут быть произведены абсолютно точно, и каждое конкретное измерение даёт лишь приближённое значение величины явления, истинное значение которой неизвестно. Ошибки измерения представляют собой разность между результатом измерения величины явления и истинным его значением. E– ошибка Х – результат измерения, А – истинное значение (Е=Х-А).

Рассмотрим такие измерения, производимые одним наблюдателем, одним и тем же инструментом в одинаковых условиях. Это так называемое равноточные измерения. Различают два вида ошибок измерения:

1. Систематические – такие, которые при данных условиях проведения измерения имеют определённое значение, например ошибка измерительного прибора.

2. Случайные ошибки 0 такие, которые являются результатом взаимодействия большого числа незначительных в отдельности факторов и имеют в каждом отдельном случае различные значения.

Задача статистики предусмотреть возможность возникновения систематических ошибок и добиться либо их ликвидации, либо сведения к минимуму. Случайные ошибки измерения обладают рядом свойств: при большом числе измерений – крупные ошибки встречаются реже мелких, и число положительных оценок примерно равно числу отрицательных.

Если ошибки получаются весьма малыми по сравнению с величиной явления, то ими или пренебрегают, или учитывают только наибольшую возможную ошибку, чтобы обезопасить себя от влияния случайной неточности.

В теории ошибок изучаются такие ошибки, которые вялясь с одной стороны ошибками случайного характера по своему абсолютному значению настолько велики, что ими пренебречь нельзя, а с другой стороны для низ существует закон, позволяющий установить зависимость между величиной ошибки и вероятностью её появления. Закон случайных ошибок Гаусса состоит в том, что случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Точность одного измерения и средняя ошибка сводного результата измерения.

Принимая за действительное значение измеряемой величины при равноточном измерении среднюю арифметическую из всех результатов измерений можно охарактеризовать точность одного измерения из абсолютных величин значений ошибок.

Еср.=∑|x-xср.| /n– точность одного измерения,X– измерение, Хср. - измерение

Eср (от хср.) =Eср. /– среднее

δ =

А за меру точность соответствие принятой средней арифметической истинному значению измеряемой величины Aпринимают среднюю ошибку сводного результата измерения.

Квадратическая точность измерения и средняя квадратическая ошибка.

Если в качестве меры точности одного измерения принять несреднюю арифметическую из абсолютных средних значений ошибок, а среднюю квадратическую из ошибок измерений, так называемую квадратическую точность измерения (δ), то средняя квадратическая ошибка найденной средней арифметической из ошибок вычисления вычисляется по формуле

δср(хср)=δ/

Между средней квадратической ошибкой и средней ошибкой и средней ошибкой сводного результата измерения существует следующая связь.

δср(хср)/Eср.(хср)=~1,25 (1,250-1,259).

Если находится в этом интервале, То случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения.

Вероятная ошибка.

За меру точности одного измерения иногда принимают вероятную ошибку

r(xср.)=2/3δср(хср)

Наиболее вероятные границы сводных результатов измерения.

В качестве значения измеряемой величины применяется среднее арифметическое всех измерений (если они равноточны). Использование отклонений результатов измерений от средней из них (X-Xср.), называемых в теории ошибок кажущимися ошибками позволяет произвести оценку точности соответствия средней арифметической неизвестному истинному значению измеряемой величины А. Для этой цели используют утроенную среднюю квадратическую среднюю квадратическую ошибку сводного результата измерения. Найденные границы соблюдаются с большой вероятностью (99,7)

A=Xср +- 3δср(хср)

Задача: произведено 10 измерений. Определить:

1) точность одного измерения

2) среднюю ошибку сводного результата измерения

3) квадратическую точность измерения

4) среднюю квадратическую ошибку

5) связь между средней квадратической ошибкой и средней ошибкой сводного результата измерений.

6) вероятную ошибку

7) вероятные границы сводных результатов измерений.

140, 141, 142, 138,, 143, 139, 141, 142, 144, 145

п/п	Х	Х-Xср	\|x-xср\|	(x-xср)^2
1	138	-3,5	3,5	12,25
2	139	-2,5	2,5	6,25
3	140	-1,5	1,5	2,25
4	141	-0,5	0,5	0,25
5	142	0,5	0,5	0,25
6	143	1,5	1,5	2,25
7	144	2,5	2,5	6,25
8	145	3,5	3,5	12,25
9	142	0,5	0,5	0,25
10	141	-0,5	0,5	0,25
Итого	141,5		17	42,5