Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значение уровней временных рядов могут содержать следующие компоненты: Тренд, сезонная компонента, циклическая компонента, случайная составляющая. Основной тенденцией развития (трендом) называется плавная и устойчивая изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний - это систематическая составляющая долговременного действия. Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – это периодические составляющие рядов динамики. Если периоды колебания не превышают одного года, их называют сезонными.Чаще всего, причины их возникновения бывают природно-климатические условия (колебание цен на картофель). При большом периоде колебания считается, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию развития, освобождённую от действия различных случайных факторов. С этой целью, ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построение графика исследуемого показателя. Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции развития в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Одновременно уменьшается количество интервалов. Среднее, исчисленное по укрупнённым интервалам позволяет выявлять направление и характер основной тенденции развития. Рассмотрим применение метода укрупнения интерваловна ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятия

Месяц	Объём производства, млн руб	Месяц	Объём производства
Январь	5,1	Июль	5,6
Февраль	5,4	Август	5,9
Март	5,2	Сентябрь	6,1
Апрель	5,3	Октябрь	6,0
Май	5,6	Ноябрь	5,9
Июнь	5,8	Декабрь	6,2

Квартал	За квартал (млн руб)	В среднем за месяц
I	15,7	5,23
II	16,7	5,57
III	17,6	5,87
IV	18,1	6,03

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей средней. Для определения скользящей средней формируем укрупнённые интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включатьy1,y2…,yn. Второй уровень –y2,y3,…,yn+1. Третий –y3,y4,…,yn+2. Таким образом интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом равным единице. По сформированным укрупнённым интервалам определяем сумму значений уровней на основе которых рассчитываем скользящие средние. Полученное среднее относится к середине укрупнённого интервала, поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее укрупнённый интервал составлять из нечётного числа уровней. Нахождение скользящей средней по чётному числу уровней создаёт неудобства, вызываемые тем, что средняя может быть отнесена только к середине между 2 датами. В этом случае необходимо дополнительная процедура центрирования средних.

Y1

Y2 находим ∑ трёх и : 3. (y1,y2,y3)

Y3

Y4 затем берём (y2,y3,y4) ∑:3 и т.д.

Y5

Нередко выбор интервала сглаживания осуществляется произвольно, однако при этом нужно учитывать количество уровней в анализируемом ряду динамики, т.к. при использовании метода скользящей средней сглаженный ряд сокращается по сравнению с исходным рядом, на число уровней равное m-1 (гдеm– интервал сглаживания). Вместе с тем, чем продолжительнее интервал сглаживания, тем сильнее усреднение. А потому выявляемая тенденция развития получается более плавной. Чаще всего интервал сглаживания может состоять из 3, 5, 7 уровней. Рассмотренные приёмы сглаживания динамических рядов укрупнения интервалов и метод скользящей средней могут рассматриваться как важное вспомогательное средство облегчающее применение других методов. Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени используется аналитическое выравнивание ряда динамики. В этом случае, фактические уровни заменяются уровнями вычисленными на основе определённой кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя. При аналитическом выравнивании закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени.

Y(^) =f(t)

Уровни динамического ряда вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению, на момент времени t. Выбор формы кривой во многом определяет результаты экстраполяции тренда. Экстраполяция – продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При выборе вида кривой, для выравнивания возможно использование метода конечных разностей. Свойства конечных разностей заключаются в следующем:

1. Если общая тенденция выражается линейным уравнением, y(^)_t=b₀+b₁t, тогда получаем постоянными первые разности (абсолютные приросты) Δ’i=yi-y_i-1 и нулевыми вторые разности, это разность между абсолютными приростами.Δ’’i=Δ’i-Δ’_i-1

T=0, y0=b0. T=2, y2=b0+2b1. T=3, y₃=b0+3b₁

Δ’1=y1-y0=b1; Δ’2=y2-y1=b1; Δ’’1=Δ’2-Δ’1=0

2. Если тенденция выражается параболой второго порядка, то получим постоянными вторые разности, нулевыми - третьи разности

Y(^)t=b0+b1t+b2t^2

T=0, y0=b0

T=1, y1=b0+b1+b2

T=2, y2=b0+2b1+4b2

Δ’1=y1-y0=b1+b2

Δ’2=y2-y1=b1+3b2

Δ’3=y3-y2=b1+5b2

Δ’’1=Δ’2-Δ’1=2b2

Δ’’2=Δ’3-Δ’2=2b2

Δ’’3=Δ’4-Δ’3=2b2

Δ’’’1=Δ’’2-Δ’’1=0 И ТАДЭ

Основываясь на указанных свойствах конечных разностей для различных видов кривых сделан вывод о применимости для выравнивания линейной функции, если любые 3 равноотстоящие уровня имеют нулевую вторую разность. Порядок разности остающихся примерно равными друг к другу принимается за степень выравнивающего многочлена. I.e., если примерно одну и ту же величину имеют вторые разности, то для выравнивания используется парабола второго порядка. Можно указать и ряд других признаков, которые могут помочь при выборе формы кривой. Если примерно постоянными оказываются цепные темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция. Если первые разности имеют тенденцию уменьшаться с постоянным темпом, то следует остановиться на модифицированной экспоненте. Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений рассчитанных по уравнению тренда.

∑(y_t-y(^)t)^2=>min

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерии.

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой gt=b0+b1tрассчитывается по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

{∑уi=b0n+b1∑ti

{∑yiti=b0∑ti+b1E^2i

Поиск параметров уравнения можно упростить, если отчёт времени производить так, чтобы сумма показателей времени, изучаемого ряда динамики была равно нулю. (∑ti=0). При нечётном числе уровней ряда динамики для получения суммы ∑ti=0 уровень находящийся в середине ряда принимается за условное начало отсчёта времени. Этому периоду или моменту времени придаётся нулевое значение. Даты времени, стоящие выше этого уровня обозначаются натуральными числами со знаком «-». Даты времени, стоящие выше этого уровня –Nсо знаком «+». Если число уровней динамического ряда чётное, периоды времени верхней половины ряда от середины нумеруются -1, -3, -5 и т.д. А нижние +1, +3, +5 и т.д.

Янв -2 либо не с нуля

Фев -1

Март 0

Апр 1

Май 2

При этом условии ∑ti=0, и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом

{∑yiti=b0∑ti+b1E^2i b0=∑y / n =yср

{∑уi=b0n+b1∑ti b1=∑ yt / ∑t^2

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряд динамики строительства жилья.

Годы	Построено жилья, млн (y)	Условные периоды (t)	Yiti	T^2	Выровненные уровни y(^)	Yi-y(^)t	(yi-y(^)t)^2	Δ’=yi-yi-1	Δ’’=Δ’-Δ’i-1	t^4	Yi*t^2	Y(^)i	(yi-y(^))^2
2007	1,8	-2	-3,6	4	1,68	0,12				16	7,2
2008	1,9	-1	-1,9	1	1.95	-0,05		0,1		1	1,9
2009	2,1	0	0	0	2,22	-0,12		0,2	0,1	0	0
2010	2,4	1	2,4	1	2,49	-0,09		0,3	0,1	1	2,4
2011	2,9	2	5,8	4	2,76	0,14		0,5	0,2	16	11,6
Итого	11,1		2,7	10	11,1		0,059			34	23,1		0,001

B0=11,1 / 5=2,22

B1= 2,7 / 10 = 0,27

Yt(^)=2,22 +0,27t

Используя данное уравнение рассчитаем для каждого года теоретические значения.

Y(^)=2,22 + 0,27*(-2)=1,68

Правильность расчёта уровней выравниваемого ряда может быть проверена следующим образом - ∑значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выравненного ряда ∑yi=∑y(^)_ti

Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции.

Интерполяция – нахождение неизвестного промежуточного уровня ряда динамики. Экстраполируя при t=3, находим уровень в 2012 году.

Y(^)12= 2,22+0,27*3=3,03 млн м^2

Возможность экстраполяции обеспечивается двумя обстоятельствами:

1. Общие условия определяющие тенденцию развития в прошлом не претерпевают существенных изменений в будущем

2. Тенденция развития явления характеризуется тем или иным аналитическим уравнением.

Общая тенденция развития может быть охарактеризована с помощью содержательного экономического анализа. Вместе с тем, расчёт таких показателей как скорость роста (абс прирост), темпы роста, пункты роста (прирост) позволяют ориентироваться в наличии или отсутствии устойчивой тенденции развития и обосновать форму уравнения тренда. Если условие формирования уровня ряда изменяются, то расчёт параметров уравнения не следует вести по данным за весь рассматриваемый период. В этом случае целесообразно развить ряд динамики на ряд этапов, ориентируясь на устойчивость абсолютных приростов или пунктов роста. Значение y(^)tполучено в результате экстраполяции используют для определения прогнозного значения на будущее.

При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так наызваемые доверительные интервалы прогноза, которые определяются по следующему выражению:

y(^)t+-t_a*(Sy(^)_t /n^1/2)

t(альфа) – табличное значениеt-критерия Стьюдента, при уровне значимости альфа.

Sy(^) – среднее выравненное отклонеие от тренда.

Sy(^)=(∑(yi-y(^))^2 / n-m))^1/2, где yi & y(^)t фактические и расчётные значения уровней ряда, n – число уровней ряда, m – количество параметров в уравнении тренда. Для прямой m=2 (возврат в таблицу)

Sy(^)t=(0,059/5-2)^2=0,14 млн м^2

Альфа=0,05

3,03 +- 3 0,059 /5^1/2

3,03 +- 0,1878

2,9=<y12=<3,2

Таким блядь образом, с вероятностью 95% можно ожидать, что в 2012 году будет построено жилья не меньше чем 2,9 млн м^2, но не больше чем 3,2 млн м^2, но если воспользоваться методом конечных разностей для выбора формы уравнения тренда, то из данных расчётной таблицы можно видеть (опять в таблицу) абсолютные приросты не являются постоянными, а начиная с 2009 года примерно постоянными будут вторые разности (разности абсолютных приростов). В этом случае для выравнивания может использоваться парабола второго порядка y(^)t=b0+b1t+b2t^2

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения параболы при соблюдении принципа отчёта от условного нуля будет иметь вид:

∑yi=b0n+b2∑t^2

∑yiti=b1∑t^2

∑yit^2=b0∑ti^2 +b2∑t^4

Таблоид возврат

{11,1=b0*5+b2*10

{2,7=b1*10

{23,1=b0*10+b2*34

B0=2,09

B1=0,27

B2=0,06

Yt=2,09+0,27t+0,06t^2