Самое главное – думать!

Для того, чтобы правильно применить формулу средней, необходимо сначала записать или мысленно представить словесную формулу расчёта показателя. Изучить имеющиеся в распоряжении данные и воспользоваться правильно, если в исходной формуле расчёта показателя неизвестен числитель, используют формулу САВ. Если неизвестен знаменатель – формулу ГСВ.

Структурные средние и показатели вариаций.

Структурные средние – мода и медиана.

Мода – чаще всего встречающиеся значения признака у единиц исследуемой совокупности

Размер обуви	33	34	35	36	37	38	39
Число продаж	2	10	30	45	60	92	40
						МОДА

В интервальном ряду модой приближённо считают центральный вариант так называемого модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту или частость. В пределах интервала надо найти то значение, которое будет являться модой.

Формула моды: Мо = X_Мо+I_о*дробьF_мо-f_мо-1/ (F_мо-F_мо-1) + (f_Мо–f_мо+1)

Xмодальное – нижняя граница модального интервала

Iмодальное – величина модального интервала

Fмо – частота модального интервала

F_мо-1– частота интервала предшествующая модальному

F_мо+1 – частота интервала, следующего за модальным

Медиана– величина, делящая численность упорядоченного вариационного на 2 равные части (пополам). Одна часть имеет значение варьирующего признака, меньше чем средний вариант, а другая больше. Прежде чем определить медиану вариационного ряда, необходимо его проранжировать, т.е. построить в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин. Затем определитьномер медианы по формуле:

№_Ме=n+ 1 / 2

№ – число вариантов значений признака, или объём совокупности, и затем определить конкретное значение медианы.

Для ранжированного ряда с чётным числом членов, медианой будет среднее арифметическая простая из двух смежных вариантов

6, 8, 9, 11, 12, 13

№=6+1 / 2 = 3,5

Ме=9+11 / 2 = 10

Для ряда с нечётным числом членов медиана является вариантом расположенной в центре ряда.

6,8,9,11,12,13,15

№=7+1 / 2=4

Ме=11

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий:

1. Располагают индивидуальные значения признака по ранжиру.

2. Определяют для данного ранжированного ряда накопленные частоты

3. По данным о накопленных частотах находят номер медианного интервала, а саму медиану определяют:

Ме = X_Ме+I_Ме * дробь (∑fi/2) –S_Ме-1 /F_Ме

Xме – нижняя границ интервала

Iме – величина медианного интервала

∑ fi– сумма частот ряда

Sме-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу

Fме – частота медианного интервала

Стаж, лет, x	Число рабочих, чел, f	Середина интервала	x*f	S
До 2	4	1	4	4
2-4	23	3	69	27
4-6	20	5	100	47
6-8 (МОДА)	35	7	245	82
8-10	11	9	99	93
10 и >	7	11	77	100
Итого	100		594

X(средний стаж работы) = ∑x*f/Ef= 594 / 100= 5,94 года

Мо=6 + 2 * (35-20 / (35-20) + (35-10)) =6,77г

№=Ме=100+1 / 2 = 50,5

Ме=6+2* (100:2-47/35)=6,17

X<Ме<Мо – левая асимметрия,X>Ме>Мо – правая

Наиболее распространённым является стаж 6,77 года. В тоже время половина рабочих имеет стаж до 6,17 года, вторая половина – выше 6,17, при среднем уровне 5,94 года.

Показатели вариации.

Различия индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности, в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под влиянием разнообразных факторов. Колеблемость отдельных значений характеризует показатели вариации, которые могут быть абсолютнымииотносительнымивеличинами. Наиболее простой показатель – размах вариации – разность между наибольшим и наименьшим значением признака.

R=Xmax-Xmin

Среднее линейное отклонениеопределяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней без учёта знака этих отклонений.

d= ∑ |Xi-X| /nX= ∑x/n- невзвешенное

d= ∑ |X–X|f/ ∑fX=∑xf/ ∑f– взвешенное (если разбиты по неединичным группам)

Дисперсия – средний квадрат отклонений, определяемый как среднее из отклонений, возведённых в квадрат.

δ^2= ∑ (Xi–X)^2 /n- невзвешенное

δ^2=∑ (Xi–X)^2fi/Efi

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение

δ= (∑ (Xi–X)^2 /n)^1/2

δ= (∑ (Xi–X)^2fi/Efi)^1/2

Среднее квадратическое отклонение является мерой надёжности средней, чем меньше его величина, тем меньше разброс значений признака вокруг средней, тем лучше средняя отражает собой всю представляемую совокупность.

На практике среднее квадратическое отклонение (СКО) всегда больше среднего линейного отклонения.

Для распределений близ к нормальному, или симметричному

δ ~~ 1,25 d

d ~ 0,85

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчёты:

1. Если из всех значений вариантов отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится

δ^2_(Хi-A)=δ^2

2. Если все значение вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшиться от этого в А^2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз

δ^2(xi/A) = δ^2/А^2

3. δ^2= X^2– (X)^2 – способ моментов

Размах вариации, среднелинейное и СКО являются величинами именованными и имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака. Для того чтобы показать, как изменяется признак в совокупности нужно найти верхний (Х+ δ) и нижний (X– δ) предел средней и представить данные в диапазонеXср-δ =<Xср=<Xср + δ

Наиболее распространённым показателем относительной колеблемости является коэффициент вариации, который рассчитывается V= δ / Хср * 100%.

Если коэффициент вариации превышает 33%, то совокупность считается неоднородной и распределение признака - несимметричным.