13 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

13.1 Основные понятия

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем примеры.

Пример 29. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у вычисляется по формуле: S = х · у,

где S – является функцией двух переменных т.к. каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S.

Пример 30. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z определяется по формуле V = x y z .

Здесь V – функция трех переменных x y z.

Определение. Функцией n переменных х1, х2,…,хn, где (х1, х2,…,хn) D Rn будем называть правило или закон, по которому каждому

набору переменных (х1, х2,…,хn) D ставится в соответст-

вие единственное число у Е R. Тот факт, что задана функция n переменных будем записывать следующим

образом: у = f(х1, х2,…,хn) .

Будем рассматривать функции двух переменных, т.к. основные факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функции двух переменных, а также для функций двух переменных можно дать геометрическую интерпретацию.

Определение. Функцией двух переменных х, у будем называть правило или закон, по которому каждой паре чисел (х, у) D ставится в соответствие единственное число z Е.

91

Тот факт, что задана функция двух переменных, будем записывать в виде: z = f(x, у). При этом х и у будем называть независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество D(z) называется областью определения функции. Множество Е значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения функции.

Функцию двух переменных z = f(х, у), где (х, у) D можно рассматривать как функцию точки М(х, у) координатной плоскости Оху.

Значение функции z = f(х, у) в точке М0(х0, у0) называют частным значением

функции и обозначают одним из способов: z(х0, у0), z x = x0 , f(х0, у0).

y = y0

13.2 Способы задания функции двух переменных

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами.

1)Аналитический способ состоит в том, что функция z представлена

спомощью формулы. Если при этом область определения D(z) не указана, то под ней понимают множество таких пар значений (х, у), при которых заданная формула имеет смысл. Областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие

область, рисунок 62).

2) Табличный способ. В первой строке таблицы выписываются возможные значения переменной х: х1, х2, …, хn, в первом столбце – значения переменной у: у1, у2, …, уn, на пересечении строки и столбца указывается соответствующее значение функции, например: z11 = z(x1, y1), zij = z(xi, yj) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n).

92

3) Графический способ. Примем z за аппликату некоторой точки P(х, у, z) в пространстве. Всей области D(z) соответствует множество точек Р, образующее в пространстве некоторую поверхность. Графиком функции z = f(х, у) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является поверхность, каждая точка которой Р(х, у, f(х, у)).

Если поверхность является графиком функции двух переменных, то уравнение, определяющее эту функцию, является уравнением поверхности.

Например, функция z = 9 − х2 − у2 имеет областью определения

круг х2 + у2 ≤ 9 (рисунок 63) и изображается верхней полусферой с центром в точке О(0, 0, 0) и радиусом R = 3 (рисунок 64).

13.3 Предел функции

Понятия предела функции двух (и более) переменных и непрерывности вводится аналогично понятию предела и непрерывности функции одной переменной.

Определение. Расстоянием от точки М1(х1, у1) до точки М2(х2, у2) назовем

Определение. δ-окрестностью точки М0(х0, у0) назовем множество всех точек М(х, у) плоскости, таких, что ρ(М, М0) < δ.

Рисунок 65 Определение. Число b называется пределом функции z = f(х, у) в точке

М0(х0, у0), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек М(х, у) D(z), отличных от точки М0 и удовлетворяющих неравенству ρ(М, М0) < δ выполняется неравенство

│f(х, у) – b│ < ε .

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М0.

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число ε > 0, найдется δ-окрестность точки М0, что во всех точках М(х, у), отличных от М0, аппликаты соответствующих точек на поверхности z = f(х, у) отличаются от числа b по модулю меньше, чем на ε .

Отметим, что практически все теоремы о пределах, приведенные для функций одной переменной остаются справедливыми и для функции нескольких переменных.

ет, т.к. результат зависит от способа приближения (х, у) к началу координат (рисунок 66).

13.4 Непрерывность функции двух переменных

Определение. Функция z = f(х, у) называется непрерывной в точке М0(х0, у0) D(z), если её предел в этой точке совпадает со значением функции в данной точке,

т.е. lim f (х, у) = f (x0 , у0 ) .

х→ х0 у→ у0

Определение. Будем говорить, что функция z = f(х, у) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность (т.е. не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке) называются точками разрыва этой функции.

94

Точки разрыва функции z = f(х, у) могут образовывать целые линии разрыва. Например, функция у = х +х у имеет линию разрыва у = – х.

Можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями двух переменных приводят к непрерывным функциям – подобная теорема имеет место и для функции одной переменной.

13.5 Частные и полное приращения функции двух переменных

Пусть задана функция z = f(х, у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение. Дадим переменной х приращение ∆х, сохраняя значение переменной у неизменным. Тогда функция z получит приращение, которое назовем частным приращением z по х и обозначим ∆х z: ∆х z = f(x + ∆x, y) – f(х, у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

∆у z = f(x, у + ∆y) – f(х, у).

Наконец, если аргументу х дать приращение ∆х, а аргументу у – приращение ∆у, то получим полное приращение функции z: ∆z=f(x+∆x, y+∆у)–f(х, у).

Надо заметить, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных её приращений, т.е. ∆z ≠ ∆х z + ∆у z.

Геометрически полное приращение функции ∆z равно приращению аппликаты графика функции z = f(х, у) при переходе от точки М(х, у) к точ-

Рисунок 67

Пример 32. Найти частные и полное приращения функции z = ху.

Решение. ∆х z = (x + ∆x)·у – ху = ху + у·∆х – ху = у·∆х. ∆у z = х(у + ∆у) – ху = ху + х·∆у – ху = х·∆у.

∆z=(x + ∆x) ( y + ∆у) – ху=ху + у·∆х + х·∆у+∆х·∆у – ху= у·∆х + х·∆у + ∆х·∆у.

Получили, что ∆z≠ ∆х z + ∆у z.

95

13.6Частные производные первого порядка функции двух переменных и их геометрическая интерпретация

Определение. Частной производной по переменной х от функции z = f(х, у) называется предел отношения частного приращения функции ∆х z по переменной х к приращению ∆х

при стремлении ∆х к нулю (если этот предел существует). Частная производная по х от функции z = f(х, у) обозначается одним из сим-

Заметим, что частная производная функции двух переменных определяется, как производная функции одной из переменных при условии постоянства значения другой независимой переменной. Поэтому частные производные функции z = f(х, у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной и только требуется каждый раз помнить, по какой переменной ищется производная.

Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Известно, что графиком функции z = f(х, у) является некоторая поверхность (рисунок 68). Положив у = у0, получим функцию z = f(х, у0), график которой есть линия пересечения поверхности z = f(х, у) с плоско-

стью у = у0.

Исходя из геометрического смысла производной для функции одной

переменной заключаем, что ∂f (x0 , у0 ) = tgα , где α – угол между положи-

∂x

тельным направлением оси Ох и касательной, проведенной к линии пересечения поверхности z = f(х, у) и плоскости у = у0 в точке Р0(х0, у0, z0).

Аналогично, ∂f(х0 ,у0 ) = tgβ, где β – угол наклона касательной, про-

∂у

веденной в точке Р0(х0, у0, z0) к линии пересечения поверхности z = f(х, у) и плоскости х = х0, который она образует с положительным направлением оси Оу (рисунок 68).

z=f(x, y )

Рисунок 68

Пример 33. Найти частные производные функции z = x2 · sin(2x-3y).

Решение. = (х2 sin(2x − 3y))′ х = 2х sin(2x − 3y) + 2x2сos(2x − 3y) = (х2 sin(2x − 3y))′ у = −3x2сos(2x − 3y) .

13.7 Полный дифференциал функции z = f(х, у)

Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой окрестности точки М(х, у). Составим полное приращение функции в точке М:

∆z = f(x + ∆x, y + ∆у) – f(х, у).

Определение. Функция z = f(х, у) называется дифференцируемой (т.е. имеет полный дифференциал) в точке М(х, у), если её полное приращение можно представить в виде:

Сумма первых двух слагаемых в равенстве (13.1) есть выражение линейное относительно ∆х и ∆у и представляет собой главную часть приращения функции. Сумма двух последних слагаемых правой части равенства (13.1) является бесконечно малой высшего порядка относительно

лом dz: dz = А · ∆х + В · ∆у. (13.2)

Выражения А · ∆х и В · ∆у называют частными дифференциалами.

97

Теорема 9 (необходимое условие дифференцируемости функции).

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке М, то справед-

Замечание. Обратное утверждение вообще говоря не верно, т.е. из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Примем эту теорему без доказательства. Правила и формулы вычисления дифференциалов функции одной переменной справедливы и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

13.8Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из определения дифференциала функции z = f(х, у) следует, что при достаточно малых |∆х| и |∆у| имеет место приближенное равенство

98

Так как полное приращение функции равно

∆z = f(x + ∆x, y + ∆у) – f(х, у), то равенство (13.5) можно переписать в виде

точке М(х; у), если известны значения функции и ее производных в точке М(х; у).

По формуле (60) получаем приблизительное значение величины а:

а≈ f( 4,3 ) + dz М0 = 5 + 0,002 ≈ 5,002.

13.9Производная неявной функции

Напомним, что функция одной переменной называется неявной, если она задается уравнением:

F(х, у) = 0. (13.7)

Предположим, что функция F(х, у) и её частные производные

∂F , ∂F непрерывны в некоторой области Д, содержащей точку М(х, у).

∂х ∂у

Дадим переменной х приращение ∆х. Функция у получит приращение ∆у. В силу равенства F(х, у) = 0 будем иметь: F(х + ∆х; у + ∆у) = 0.

Следовательно, F(х + ∆х; у + ∆у) - F(х, у) = 0.

Левую часть равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных, по формуле (13.1) можно переписать так:

∂у

Пример 35. Найти ddух, если х3 + у3 = 3х + 3у. Решение. В данном случае F(х, у) = х3 + у3 - 3х - 3у.

∂F = (х3 + у3 - 3х - 3у)'х = 3х2 – 3 = 3(х2 – 1).

∂х

∂F = (х3 + у3 - 3х - 3у)'у = 3у2 – 3 = 3(у2 – 1).

∂у

13.10Частные производные и полные дифференциалы высших порядков

Частные производные и полный дифференциал можно рассматривать как функции переменных х и у. Следовательно, для этих функций можно ставить вопрос о вычислении частных производных и полных дифференциалов.

Определение. Частной производной второго порядка называют частную производную от частной производной.

Частные производные второго порядка определяются и обозначаются следующим образом:

101

Окончательно имеем:

d 2 z = 6хsin 2 уdx2 + 6х2 sin 2 ydxdy + 2x3сos2 ydy 2 .

13.11 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Предположим, что в каждой точке Р некоторой области D нам задано значение скалярной физической величины u, т.е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и т.д. При этом u называется скалярной функцией точки; записывается это так: u =u (P ).

Область D, в которой определена функция u (P ), может совпадать со

всем пространством, а может являться некоторой его частью. Определение. Если в области D задана скалярная функция точки u (P ), то

говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Мы будем считать, что скалярное поле стационарное, т.е. что величина u (P ) не зависит от времени t. Если величина u будет зависеть не только

от точи Р, но и от времени t, то будем иметь нестационарное поле. Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать

векторное поле, например силовое поле, электрическое поле напряжённости, магнитное поле и др.

Если скалярное поле отнесено к системе координат Охуz, то задание точки Р равносильно заданию её координат х, у, z; и тогда функцию u (P )

можно записать в обычном виде функции трёх переменных: u (х,у,z ).

102

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция u принимает постоянное значение, т.е. u (х,у,z )=С.

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (т.е. поверхностями равного потенциала).

Если в частном случае скалярное поле плоское, т.е. мы изучаем распределение значений физической величины в какой-то плоской области, то функция u зависит от двух переменных, например, х и у. Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции u ( х,у), т.е. u (х,у)=С.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.

Производная по направлению.

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Если еλ - единичный вектор, направленный по лучу λ , то его проекциями будут направляющие косинусы

еλ ={cosα ,cosβ ,cosγ }.

Пусть точка P1 (х1 ,у1 ,z1 ) лежит на луче λ ; расстояние РР1 обозна-

чим через ρ . Проекции вектора РР1 на оси координат будут, с одной стороны, равны ρcosα , ρcosβ , ρcosγ , а с другой стороны, - разностями х1 −х,

у1 − у и z1 −z . Следовательно,

х1 = х+ρcosα , y1 = y+ρcosβ , z1 = z+ρcosγ .

Рассмотрим теперь приращение функции u при переходе из точки Р в точку Р1 :

u (P1 )−u (P )=u ( х+ρcosα , y+ρcosβ , z+ρcosγ )−u (x ,y ,z ).

Если точка Р1 будет изменять своё положение на луче λ , то в выражении для разности u (P1 )−u (P ) будет меняться только величина ρ . Составим

отношение u (P1 )−u (P ) и перейдём к пределу при ρ→0 , предполагая, что

ρ

этот предел существует.

называется производной от функции u (х,у,z ) по направлению λ в точке Р. Этот предел будем обозначать символом ∂∂λu или u ′ ( x ,y ,z ). Величина его зависит от выбранной точки Р(х,у,z ) и от направления

сеть только от направления луча λ .

Из определения производной по направлению следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением оси Ох, т.е. α = 0 ,

скорость изменения функции u в направлении осей координат, так и производная по направлению u λ′ будет являться скоростью изменения функции

u ( х,у,z ) в точке Р по направлению луча λ . Абсолютная величина производной u λ′ по направлению λ определяет величину скорости, а знак произ-

водной – характер изменения функции u (возрастание или убывание). Вычисление производной по направлению производится при помощи

следующей теоремы.

Теорема. Если функция u (х,у,z ) дифференцируема, то её производная u λ′ по любому направлению λ существует и равна