16

Рассматривая функции издержек (полных затрат) с(q) и дохода фирмы r(q), мы можем установить зависимость прибыли π(q) = r(q) – с(q) от объема производства q (рисунок 17) и выявить уровни объема производства, при которых производство продукции убыточно (0< q < q2) и приносит прибыль (q2 < q < q4), дает максимальный убыток (q = q1) и максимальную прибыль (q = q3), и найти размеры этих убытков или прибыли.

3ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1Числовая последовательность

Определение. Под числовой последовательностью х1, х2, х3, … , хn,… понимается функция целочисленного аргумента

заданная на множестве N натуральных чисел.

Кратко последовательность обозначается в виде {xn } или xn , n N.

Число х1 называется первым членом последовательности, х2 - вторым, …, хn - общим или n-м членом последовательности.

Последовательность считается заданной, если известен закон составаления каждого ее члена. Формула (3.1) общего члена позволяет вычислить

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М>0, что для любого n N выполняется неравенство хn ≤ М ( хn ≥ М).

17

Легко видеть, что последовательности {U n } ограничена сверху, {Vn }- снизу, {zn }- неограниченная последовательность.

Определение. Последовательность {xn } называется возрастающей

(убывающей), если для любого n выполняется неравенство xn+1 > xn ( xn+1 < xn ).

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями.

Если все элементы последовательности {xn } равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

3.2 Предел числовой последовательности

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn },

если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое число N, что при всех n > N выполняется неравенство

вают N = N(ε).

18

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности. Неравенство (3.2) равносильно неравенствам -ε < хn – а < ε или

Рисунок 18 Поэтому определение предела последовательности геометрически

можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {xn }, если для любой ε-окрестности точки а найдется такой номер N

члена последовательности, начиная с которого все последующие члены попадут в ε-окрестность точки а (рисунок 18).

Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N, но в любом случае внутри ε-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное их число.

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонно возрастающая (убывающая), ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет конечный предел.

В качестве примера на применение этого признака рассмотрим после-

19

Из равенства (3.3) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается, а число 1n убывает, поэтому величи-

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (3.3) на единицу а числа 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2. Тогда получаем неравенство

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про-

Итак, последовательность ограничена, при этом для n N выполняются

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь-

Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается ln x, т. е. ln x = loge x .