20

4 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

4.1 Предел функции в точке

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Определение. Число b называется пределом функции в точке х0 (или при х → х0), если для любого положительного сколь угодно

малого ε найдется такое положительное число δ(ε), что для всех х ≠ х0 , удовлетворяющих неравенству х − х0 < δ ,

Иными словами, точки графика функции у = f (x) лежат внутри полосы

шириной 2ε, ограниченной прямыми у = b + ε, у = b − ε для всех х из δ- окрестности точки х0 (рисунок 19). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ = δ(ε).

4.2 Односторонние пределы

В определении предела функции lim f (x) = b считается, что х стре-

x→ x0

мится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Определение. Число b1 называется пределом функции y = f (x) слева в точке х0, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 существует число δ = δ (ε )> 0 такое, что приx (x0 − δ ; x0 ), выполняется неравенство f (x) − b < ε . Предел слева запи-

сывается так:

21

lim f (x) = b1 или коротко:

x→ x0 −0

f (x0 − 0) = b1 (обозначение Дирихле) (рисунок 20).

Рисунок20 Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с по-

Определение. Пределы функции слева и справа в точке х0 называются односторонними пределами.

Сравнивая определения предела функции при х → х0 и односторонних пределов, приходим к следующему утверждению.

Теорема (о существовании предела). Число b является пределом функции y = f (x) при х → х0 тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f (x) при х → х0 ± 0 и оба они равны b.

4.3 Предел функции на бесконечности (при х →∞)

Определение. Пусть функция у = f (х) определена в промежутке (−∞; ∞). Число b называется пределом функции f (x) при х →∞,

если для любого положительного сколь угодно малого числа ε существует такое число М = М (ε)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству х > М выполняется неравенство

4.4 Бесконечно большие функции. Ограниченные функции

(б.б.ф.) при х→ 12 .

Если f (x) стремится к бесконечности при х → х0 и принимает лишь положительные значения, то пишут lim f (x) = +∞ ; если лишь отрицатель-

ные значения, то lim f (x) = −∞.

x→x0

x→x0

Определение. Функция y = f (x), заданная на всей числовой прямой, назы-

вается бесконечно большой при х →∞, если для любого числа М > 0, как велико бы оно ни было, найдется такое число N = N (M) > 0,сколь угодно большое, что при всех х,

удовлетворяющих неравенству х >Ν , выполняется неравенство f (x) > M . Коротко:

( M > 0 N > 0 x : x > N f (x) > M ) lim f (x) = ∞.

x→∞

Например, у = х есть бесконечно большая функция при х →∞.

Замечание. Введенное понятие предела функции и его обобщения не означают, что в каждой точке функция обязана иметь предел, либо быть бесконечно большой при х → х0. Существуют функции не имеющие никакого

предела. Например, функция у = sinx не имеет предела при х → ∞.

23

Определение. Функция y = f(x) называется ограниченной при х → х0, если найдутся такие δ > 0 и М > 0, что f (x) ≤ M для всех х

(х0 - δ, х0 + δ).

Примерами ограниченных функций являются тригонометрические функции у = sinx, y= cosx: sin x ≤ 1, cos x ≤ 1 для любого х R.

Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности. Но не всякая неограниченная функция является б.б.ф. (например, у = xcosx).

Нетрудно показать, что сумма и произведение ограниченных функций при х → х0 есть ограниченная функция. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Если функция у = f(х) имеет конечный предел при х → х0, то она ограничена при х → х0.

Теорема 2. Если функция у = f(х) имеет предел при х → х0, отличный от нуля, то функция f 1(x) также ограничена при х → х0.

5 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

5.1 Определение и основные теоремы

Определение. Функция у=f(x) называется бесконечно малой при х→х0,

если lim f (x) = 0. (5.1)

x→x0

По определению предела функции равенство (5.1) означает: для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется число δ (ε )> 0 такое, что для

всех х, удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ , выполняется неравенство f (x) < ε .

Бесконечно малые функции (б.м.ф.) обозначают обычно греческими буквами α, β и т. д.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть α (x) и β (x) - две б.м.ф. функции при х→х0. Это зна-

число δ1 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

Пусть δ - наименьшее из чисел δ1 и δ2. Тогда для всех х, удовлетво-

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа бесконечно малых функций.

Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена при х→х0. Тогда существует такое число М > 0, что

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и δ2. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ , выполняются оба неравенства (5.4) и

(5.5). Следовательно, f (x) α (x) = f (x) α (x) < Mε M = ε . А это означает, что произведение f (x) α (x) при х→х0 есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение бесконечно малых функций на число есть функция бесконечно малая.

25

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

жет быть представлена в виде произведения б.м.ф. а(х) на ограниченную

Теорема4. Еслифункцияα(х) - бесконечномалая(α≠0) прих→х0, тофункция α 1(x) естьбесконечнобольшаяфункцияприх→х0 инаоборот: если функция

f(x) - бесконечнобольшаяприх→х0 , то f 1(x) - бесконечномалаяприх→х0.

большая. Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание. Доказательства теорем приводилось для случая, когда х→х0, но они справедливы и для случая, когда х→∞.

5. 2 Основная теорема теории пределов (о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией)

Теорема. Функция f(x) при х→х0 имеет предел, равный b, тогда и только тогда, когда ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции α(х) при х→х0, т.е. f (x) = b + α (x).

Доказательство. Пусть lim f (x) = b . Следовательно,

x→ x0

( ε > 0 δ > 0 x : 0 < x − x0 < δ ) f (x)− b < ε

Положим f(x) – b=α(x). В силу данного определения предела функции по

26

любому ε>0 найдется δ=δ(ε)>0 такое, что α(х) < δ как только х - х0 <δ. Это

означает, что α(х) – б.м.ф. в точке х = х0, тогда имеем f(x) = b + α(x).

Обратно, пусть f (x) = b + α (x), где α(х) – б.м.ф. при х→х0, т.е. lim α (x)= 0

x→ x0

Тогда ( ε > 0 δ > 0 x :0 < x − x0 < δ ) α(x) < ε , а так как по условию f(x) = b + α(x) то α(х) = f(x) – b. Тогда получаем

( ε > 0 δ > 0 x :0 < x − x0 < δ ) f (x) − b < ε , а это и означает, что

lim f (x)= b

x→ x0

5.3 Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х→х0 и

х→∞, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы

lim f (x), lim ϕ (x) существуют.

x→ x0 x→ x0

Теорема 1 (единственность предела). Функция может иметь только один предел при х→х0.

b1 − b2 есть б.м.ф. при х→х0. Ясно, что константа может быть бесконечно малой, если она - нуль. Поэтому b1 − b2 = 0 , т. е. b1 = b2 .

(x). Следовательно, f (x) + ϕ (x) = b1 + b2 + (α (x) + β (x)). Здесь α (x) + β (x) -

27

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б. м. ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

28

сти точки х0. Но это противоречит условию. Следовательно, наше предпо-

ложение b < 0 было неверным. Это означает, что lim f (x) ≥ 0.

x→x0

Следствие. Если f (x)≥ q(x) в некоторой окрестности точки х0 и суще-

ствуют пределы обеих функций при х→х0, то lim f (x) ≥ lim q(x).

x→x0 x→ x0

Теорема 6 (о пределе промежуточной функции). Если функция f(x) за-

ключена между двумя функциями ϕ(х) и q(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если

Доказательство. Из равенств (5.6) вытекает, что для любого ε > 0 существует δ1 – окрестность точки х0, в которой выполняется неравенство

и δ2 – окрестность точки х0, для точек которой справедливо неравенство

Пусть δ - меньшее из чисел δ1 и δ2. Тогда в δ-окрестности точки х0 выполняются оба неравенства (5.8) и (5.9).