Добавил:

Yuppie_ModeratorNGMU Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный медицинский университет

Предмет:

Математика

Файл:

Кравченко Н.И. УП_М_Ч2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

9 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

9.1 Производные высших порядков явно заданной функции

Определение. Производная от первой производной функции у = f (x) называется производной второго порядка.

Если функция f '(x) дифференцируема, то производная второго порядка обо-

	или f ′′(x),	d 2 y			d dy		dy′
значается y′′			2	,		,		. Итак, у''= (у')'

		dx			dx dx		dx

Определение. Производная от производной второго порядка, если она су-

ществует, называется производной третьего порядка и обо-

	или	f ′′′(x), d	3	y		. Итак, у''' = (у'')' .
значается у'''	или	f ′′′(x), d		y	,...	. Итак, у''' = (у'')' .
		dx		3
		dx

Определение. Производной n-го порядка (или n-й производной) называет-

ся производная от производной (n – 1) порядка:

у(n) = (у(n−1))′ .

Производные порядка выше первого называются производными выс-

ших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уV или y(5) - производная пятого

порядка).

Пример 16. Найти у'' (1), если у = arctgx.

Решение:

y′ = (arctgx)′ =

1 + х2

′

2х

2 1

= − 2

= − 1

y′′ =

= −

;

y′′(1) = −

(1 + х2 )2

(1 + 12 )2

+ х2

9.2 Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=S(t). Как уже известно, производная St′ равна скорости точки в данный

момент времени: St′ = V.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. St′′ = a.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V а в момент t + t – скорость равна V + V , т. е. за промежуток времени t скорость изменилась на величину V .

		55
Отношение	V	выражает среднее ускорение движения точки за вре-
Отношение	t	выражает среднее ускорение движения точки за вре-
	t

мя t. Предел этого отношения при t → 0 называется ускорением точки М

в данный момент t и обозначается буквой а: lim	V	= a , т. е. V ' = a.
t→0	t
Но V = St′ . Поэтому a = (St′ )′ , т. е. а = St′′ .

9.3 Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f (x) задана неявно в виде уравнения F (x; y) = 0 .

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и у' . Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у'' через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 17. Найти у''', если x2 +y2 = 9.

Решение. Дифференцируем уравнение x2 +y2 – 9 = 0 по х: 2х + 2у у' = 0.

Отсюда

y′ = −

. Далее имеем:

y′′ = − 1 y − x

y′ , т. е.

y 2

y − x

−

y 2

+ x2

y′′ = −

= −

(так как x

= 9), следовательно,

y 2

y′′′ = − − 9

′

= − 27x .

−

y 4

9.4Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f (x) задана параметрическими уравнениями

x = x(t),y = y(t).

Как известно, первая производная y′х находится по формуле (8.7): y′х = yt′ . xt′

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (8.7) следует, что

′

′′

′ ′

′

( y х)t

y хх = ( y х) х

= ( y х)t

t х

xt′

′′

′

( y

х)t

т. е.

y хх

(9.1)

xt′

Аналогично получаем

′′′

′

′′ ′

′′′

( y хх )t

( уххх )t

y ххх

xt′

y хххх

xt′

x = 3cos t,

Пример 18. Найти вторую производную функции

= 3sin t.

′

3cos t

Решение. По формуле (8.7)

y′

(3sin t)t

= −ctgt.

(3cos t)′

− 3sin t

′

sin

Тогда по формуле (9.1)

y′′

(−ctgt)t

= −

(3cos t)′

− 3sin t

хх

3sin

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

10.1 Понятие дифференциала функции

Пусть функция у = f (x) имеет в точке х отличную от нуля производ-

ную lim	y = f ′(x) ≠ 0 . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и
x→0	x	y
бесконечно малой функции, можно записать			= f ′(x) + α , где α → 0 при

x → 0 или	y = f ′(x) x + α x .	x

Таким образом, приращение функции		у представляет собой сумму

двух слагаемых f ′(x) x и α x , являющихся бесконечно малыми при x → 0 . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного

порядка с х, так как lim	f ′(x)		x	= f ′(x) ≠ 0 , а второе слагаемое есть
		x
x→0
бесконечно малая функция более высокого порядка, чем х:
lim		α	x =		lim	α = 0 .
x→0		x	′		x→0
Поэтому первое слагаемое						x называют главной частью при-
			f (x)

ращения функции у.

Определение. Дифференциалом функции у=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента ∆х, и обозначаемая dy(или df(х)):

dy = f ′(x) x.

(10.1)

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как y′ = x′ = 1, то, согласно формуле (10.1), имеем dy = dx = x , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой пере-

менной: dх = х.
Поэтому формулу (10.1) можно записать так:
dy =	′	(10.2)
	f (x)dx,

иными словами, дифференциал равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (10.2) следует равенство dydx = f ′(x) .

Теперь обозначение производной dydx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

10.2 Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику
функции у = f (x) в точке М (х; у) каса-
тельную МТ и рассмотрим ординату
этой касательной для точки x + x
(рисунок 37).
На рисунке АМ =	х, АВ= уКАС
Из прямоугольного треугольника МАВ
имеем: tgα = АВ	, т. е. АВ = tgα x .
x
Но, согласно геометрическому смыслу		Рисунок 37
производной, tgα = f ′(x) . Поэтому AB = f ′(x)		x . Сравнивая полученный

результат с формулой (10.1), получаем dy = АВ, т. е. дифференциал функции у=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение х. В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

10.3 Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала с производной функции (dy = f ′(x)dx) и соответст-

вующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у = с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy = c' dx = 0 dx = 0.

Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух диффе-

ренцируемых функций определяются следующими формулами: d(u + υ ) = du + dυ,

d(uυ ) = υ du + u dυ,

d	u	=	υdu − udυ	,	(υ ≠ 0).
	υ		υ 2

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем: d(uυ ) = (uυ )′dx = (u′υ + uυ ′)dx = υ u′dx + u υ ′dx = υdu + udυ .

Теорема. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у = f (u) и u = ϕ (x) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у = f (ϕ(x)). По теореме о производной сложной

функции можно написать			y′	= y′	u′ .
			х	u	х
Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y′ dx = y′								u′ dx.
						х	u	х
Но y′хdx = dy	и u′хdx = du . Следовательно, последнее равенство можно пе-
реписать так:	′
реписать так:	dy = yu	du.	dy = y′		dx	и dy = y′ du , видим,
Сравнивая формулы			dy = y′		dx	и dy = y′ du , видим,	что диффе-
				х		u

ренциал функции у = f (x) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизмен-


ностью) формы дифференциала.
Формула dy = y′х dx по внешнему виду		совпадает с формулой
′	du , но между ними есть принципиальное отличие: в первой фор-
dy = yu
муле х – независимая переменная, следовательно,		dx =	x , во второй фор-
муле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря,		du ≠	u .

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу диффе-

ренциалов. Например, d(cos u) = (cos u)′							du = − sin u du .
					u
10.4 Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение						y	функции у = f (x) в точке х можно
представить	в	′		x + α			x , где α → 0 при x → 0 , или
		виде y = f (x)
y = dy + α	x .	Отбрасывая бесконечно малую α x более высокого по-
рядка, чем	x , получаем приближенное равенство
			y ≈ dy,				(10.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше x.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (10.3) широко применяется в вычислительной

практике. Подставляя в равенство (10.3) значения y и dy, получим

f (x + x) − f (x) ≈ f ′(x) x или f (x + x) ≈ f (x) + f ′(x) x. (10.4)

Формула (10.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 19. Вычислить приближенно 1,25 .

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = х. По формуле (10.4) имеем:

х + х ≈ х + ( х)′ х.

Так как х + х = 1,25 , то при х = 1 и x =0,25 получаем:

1,25 ≈	1 +	1	0,25 ≈ 1,125
		2 1
Можно показать,			что абсолютная погрешность формулы (10.4) не

превышает величины M ( x)2 , где М – наибольшее значение f ′′(x) на отрезке [x; x + x].

10.5 Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f (x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f ′(x)dx есть также функция х и можно найти дифференциал этой функции.

Определение. Дифференциал от дифференциала функции y = f (x) называ-

ется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d2y или d2f(x).

Итак, по определению d 2 y = d(dy) . Найдем выражение второго диф-

ференциала функции y = f (x).
Так как dx =	x не зависит от х, то при дифференцировании считаем
dx постоянным:
d 2 y = d(dy) = d( f ′(x)dx) = ( f ′(x)dx)′ dx = f ′′(x)dx dx = f ′′(x)(dx)2 ,
т. е.	d 2 y = f ′′(x)dx2 .	(10.5)
Здесь dx2 обозначает (dx)2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

d 3 y = d (d 2 y) = d ( f ′′(x)dx 2 ) = f ′′′(x)(dx)3.

Определение. Дифференциал n-го порядка функции у= f(х) есть дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка этой функции:

d n y = d (d n−1 y) = f (n) (x)(dx)n .

Отсюда находим, что f (n) (x) = d n y

. В частности, при n = 1, 2, 3 соот-

dxn

d 2 y

d 3 y

ветственно получаем: f ′(x) =

f ′′(x) =

f ′′′(x) =

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Замечание. Все приведенные выше формулы справедливы, если х – независимая переменная. Если же функция y = f (x) – сложная функция, где х -

функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам дифференциала второго порядка.

10.6Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике

Вп. 8.2 было установлено, что производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический

смысл производной.

Издержки производства у будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции х. Пусть ∆х – прирост продукции, тогда ∆у –

приращение издержек производства и		у	– среднее приращение издержек
приращение издержек производства и		х	– среднее приращение издержек
		х		у
производства на единицу продукции.	Производная у′ = lim			у	выражает
			х→0	х

предельные издержки производства и характеризует приближенно допол-

нительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества

выпускаемой продукции) х и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производи-

тельность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного (маржинального) анализа. Предельные ве-

личины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей

во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и пре-

дельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков. Суммарный доход (выручку) от реализации продукции R можно оп-

ределить как произведение цены единицы продукции р на количество продукции q, т.е. R = pq.

В условиях монополий одна или несколько фирм полностью контролируют предложение определенной продукции, а следовательно, цены на них. При этом, как правило, с увеличением цены спрос на продукцию падает. Будем полагать, что это происходит по прямой, т.е. кривая спроса P(q) – есть линейная убывающая функция P = аq + b, где а < 0, b > 0.

Тогда суммарный доход от реализованной продукции составит R = (aq + b)q = aq2 + bq (рисунок 38). В этом случае средний доход на

единицу продукцииRср = Rq = аq + b , а предельный доход, т.е дополнитель-

ный доход от реализации единицы дополнительной продукции, составит

R′ = 2аq + b.

Следовательно, в условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода.

В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене, например, р = b. При этом суммарный доход составит R = bq, соответст-

венно средний доход Rср =	R	′

	q	= b и предельный доход Rq = b (рисунок 39).

Таким образом, в условиях свободного конкурентного рынка в отличии от монопольного средний и предельный доходы совпадают.

Монопольный рынок

ыR

(суммарный

доход)

Rср

(предель-

ный

доход)

Свободный конкурентный рынок

R(суммарный доход)

bRср (средний доход) Rq (предельный доход)

Рисунок 38

Рисунок 39

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции. Определение. Эластичностью функции Ех(у) называется предел отношения

относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при ∆х → 0:

( у) =

у′

lim

(10.6)

х→0 у

х→0

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у=f(х) при изменении независимой переменной х на 1%.

Свойства эластичности функции

1.Эластичность функции равна произведению независимой переменной х на темп изменения функции Ту = ( ln у)′ = уу′ , т.е.

Ех( у) = хТу

(10.7)

2.Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

Ех(uv) = Ех(u) + Ех(v),		(10.8)
u	= Ех(u) − Ех(v).	(10.9)
Ех
v

3. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины:

Ех( у) =	1	.	(10.10)
	Еу (х)

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Если эластичность спроса (по абсолютной величине) Ех( у) > 1, то

спрос считают эластичным, если Ех( у) < 1 – неэластичным относительно цены (или дохода). Если Ех( у) = 1, то говорят о спросе с единичной эла-

стичностью.

Выясним, например, как влияет эластичность спроса относительно цены на суммарный доход R = pq при реализации продукции. Выше мы предполагали, что кривая спроса P = P(q) – линейная функция; теперь будем полагать, что P = P(q) – произвольная функция. Найдем предельный

(

)′

(

)

′

рq

′

q + p

′

доход Rq =

q = рq

= p 1

рq

= р1

+ Еq ( р)

Учитывая, что в соответствии с формулой (10.10) для эластичности взаимообратных функций эластичность спроса относительно цены обратна

эластичности цены относительно спроса, т.е. Еq ( р) =	1	, а также то,
	Еp (q)

что Ер(q) < 0, получим при произвольной кривой спроса

			1
R′	= P 1 −		1		.	(10.11)
R′	= P 1 −				.	(10.11)
q		Е	р	(q)
			р

если спрос неэластичен, т.е. Ер(q) < 1, то в соответствии с (10.11) пре-

дельный доход					R′	отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, т.е.
					q
	Е	р	(q)	> 1, то предельный доход R′			положителен. Таким образом, для не-
	Е		(q)	> 1, то предельный доход R′			положителен. Таким образом, для не-
						q

эластичного спроса изменения цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса – в разных. Это означает, что с возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.

10.7 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Терема Ролля. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема в интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется по крайней мере одна точка с (а; b), в которой производная f ' (х) обращается в нуль, т.е. f ' (с) = 0.

Доказательство: так как функция непрерывна на отрезке [а; b], то на этом отрезке она достигает своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если М = m, то функция f(х) постоянна на [а; b] и, следовательно, ее производная f ' (х) = 0 в любой точке отрезка и теорема доказана.

Предположим, что m ≠ М. Тогда функция достигает по крайней мере одно из значений m или М, так как f(a) = f(b).

Предположим для определенности, что функция принимает свое наибольшее значение М при х =с, с (а; b), т.е. f(с) = M. Тогда для всех х (а; b)

выполняются неравенства f(с)≥ f(x) или f(с)≥f(с + x) и

y = f(c + x) – f(c)≤0.

Если

х < 0, то

f (c +

x) − f (c)

≥ 0

и поэтому

lim

y = f ′(c) ≥ 0

x→−0

Если

х > 0, то

f (c +

x) − f (c)

≤ 0

lim

= f ′(c) ≤ 0 .

x→+0

В силу теоремы о существовании и единственности предела функции в точ-

ке		односторонние пределы		lim	y	и	lim	y	существуют и равны
f	′		′	x→−0	x		x→ +0	x
	′		′
	(c) . Поэтому f		(c) = 0, что и требовалось доказать.

в которой выполняется равенство:

М			у=f(x)
			у=f(x)
m	а	х1	х2
0	а	х1	х2	b

Рисунок 40

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

На графике функции у = f(х), удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (рисунок 40).

Алгебраическая интерпретация теоремы Ролля

Если функция у = f(х), удовлетворяет условиям теоремы Ролля, принимая на концах отрезка значения, равные нулю, то это означает, что между двумя корнями функции существует хотя бы один корень производной.

Терема Коши. Если функция f(х) и φ(х) непрерывны на отрезке [а; b], дифференцируемы в интервале (а; b), причем φ(х) ≠ 0 для всех х (а; b), то найдется хотя бы одна точка с (а; b), такая, что выполняется ра-

венство	f (b) −	f (a)	=	f ′(c)
	ϕ (b) − ϕ (a)			ϕ ′(c)

Доказательство: отметим, что φ(b) – φ(а) ≠ 0 для всех х (а; b), так как в противном случае φ(b) = φ(а) и по теореме Ролля нашлась бы точка с, в которой φ'(с) = 0, что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомога-

тельную функцию F(x) = f (x) − f (a) −	f (b) − f (a)	(ϕ (x) − ϕ (a)).
	ϕ (b) − ϕ (a)

Она удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема внутри него и F(b) = F(а) = 0. Из этой теоремы следует,

что найдется такая точка с (а; b), в которой F'(с) = 0.
F ′(x) = f ′(x) −		f (b) − f (a)	ϕ ′(х) , следовательно,
F ′(x) = f ′(x) −		ϕ (b) − ϕ (a)	ϕ ′(х) , следовательно,			f ′(c)
		ϕ (b) − ϕ (a)
F ′(с) = f ′(с) −		f (b) − f (a)	ϕ ′(с) . Откуда следует	f (b) − f (a)	=		, что
F ′(с) = f ′(с) −	ϕ (b) − ϕ (a)		ϕ ′(с) . Откуда следует	ϕ (b) − ϕ (a)	=	ϕ ′(c)	, что
	ϕ (b) − ϕ (a)			ϕ (b) − ϕ (a)		ϕ ′(c)

и требовалось доказать.

Терема Лагранжа. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема внутри него, то найдется хотя бы одна точка с (а; b),

f (b) − f (a) = f ′(c) b − a

Доказательство: эту теорему можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Полагая φ(х) = х, найдем φ(b) – φ(а) = b – а, φ'(х) = 1, φ'(с) = 1 и

подставим в равенство теоремы Коши			f (b) − f (a)	=	f ′(c)	.
подставим в равенство теоремы Коши			ϕ (b) − ϕ (a)	=		.
			ϕ (b) − ϕ (a)		ϕ ′(c)
Получим	f (b) − f (a)	= f ′(c) .
Получим	b − a	= f ′(c) .
	b − a

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Если функция у = f(х) непрерывна

на отрезке [а; b] и дифференцируема
на отрезке [а; b] и дифференцируема
внутри него, то на графике функции					С
f(х) найдется точка, в которой каса-					С


тельная параллельна хорде, соединяя-


ющей точки (а, f(а)) и (b, f(b)). Действи-				А


тельно, отношение	f (b) − f (a)	равно	0	а

					с
					с
	b − a
угловому коэффициенту хорды АВ				Рисунок 41

B	у
	у
	=
	f
	(
	х
	)
b

(рисунок 41), а f ' (с) – угловому коэффициенту касательной к графику

функции в точке с абсциссой х = с.

Замечание. Формулу, полученную в теореме Лагранжа, называют формулой о конечных приращениях.

Запишем формулу в виде: f (a) − f (b) = f ′(c) (b − a) , из которой сле-

дует, что приращение дифференцируемой функции на отрезке [а; b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой точке интервала (а; b).

Правило Лопиталя. Пусть функции f(х) и φ(х) непрерывны и диффе-

′

ренцируемы в окрестности точки х0, причем ϕ

(х0 ) ≠ 0 и

f ′(x)

f (x0 ) = ϕ (x0 ) = 0 . Тогда, если существует предел отношения

ϕ ′(x)

f (x)

f ′(x)

при х → х0, то существует и

lim

равный

lim

, т.е.

ϕ ′(x)

f (x)

f ′(x)

x→x0

ϕ (x)

x→x0

lim

ϕ ′(x)

x→x0

ϕ (x)

x→x0

Доказательство. Применим к функциям f(х) и φ(х) теорему Коши на отрезке

[х0, х].

f (x)

f (x) − f (x0 )

f ′(c)

, где с ( х0, х).

ϕ (x)

ϕ (x) − ϕ (x0 )

ϕ ′(c)

Учитывая, что f(х0) = φ(х0) = 0, получили

f (x)

f ′(c)

. Ясно, что если х→х0,

ϕ (x)

ϕ ′(c)

′

f (x)

f ′(с)

то и с → х0, поэтому

lim

= lim

f (x0 )

, что и

ϕ ′(с)

ϕ ′(x0 )

требовалось доказать.

x→x0

ϕ (x)

x→x0

ϕ ′(с)

с→ x0

Замечание. В приведенной формулировке правило Лопиталя раскрывает

	0		. Учитывая связь между бесконечно большими
неопределенности вида	0		. Учитывая связь между бесконечно большими
	0

и бесконечно малыми величинами, легко убедиться в том, что правило Ло-

	∞
питаля справедливо и для неопределенностей вида	.
	∞

11 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ

ФУНКЦИЙ

11.1 Возрастание и убывание функций

Одним из приложений производной является ее применение к иссле-

дованию функции и построению графика функции.

В главе 2.3 было дано определение возрастающей и убывающей

функций. Говорят, что функция монотонна на интервале (а, b), если она ли-

бо возрастает, либо убывает на этом интервале. Установим необходимые и

достаточные условия монотонности функции.

Теорема 1 (необходимые условия). Если дифференцируемая на ин-

тервале (а, b) функция у = f(х) возрастает (убывает) на нем, то её произ-

водная не отрицательна (не положительна) на (а, b), т.е. f ' (х) ≥ 0

(f '(х)≤0).

Доказательство.

)

Пусть функция у = f(х) возрастает на интерва-

ле (а, b). Произвольному аргументу х (а, b)

дадим приращение ∆х, причем х + ∆х (а, b)

и рассмотрим отношение

f (x + x) − f (x)

х =

0 а

Так как функция f(x) возрастает на интерва-

Рисунок 42

ле (а, b), то при

∆х > 0 х + ∆х > х

и f(х + ∆х) > f(х)

при

∆х < 0 х + ∆х < х

и f(х + ∆х) < f(х)

В обоих случаях

f (x +

x) − f (x) =

f (x) > 0 , т.к. числитель и знаменатель

дроби имеют одинаковые знаки.

По условию теоремы функция f(x) дифференцируема в точке х, следо-

вательно, f ′(x) =

lim

f (x +

x) − f (x) ≥ 0 , что и требовалось доказать.

х→0

Аналогично доказывается случай, когда функция f(x) убывает на ин-

тервале (а,b).

Замечание. Доказанная теорема геометрически означает, что касательные к

графику возрастающей функции образуют острые углы с положительным

направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 42 в точке с абс-

циссой х0) параллельны оси Ох.

Если функция f(x) убывает на интервале (а, b), то угол наклона каса-

тельной тупой (или в отдельных точках касательная горизонтальна).

Теорема 2 (достаточные условия). Если функция у = f(х) диффе-

ренцируема на интервале (а, b) и f'(x) > 0 (f'(x) < 0) для всех х (а, b), то функция возрастает (убывает) на интервале (а, b).

Доказательство. Пусть, например, f'(x) > 0 на (а, b). Тогда по определению

производной f ′(x) = lim

f (х)

. В силу основной теоремы теории пределов

f (x) = f ′(x) + α (

х→0

x) , где α (

х) - бесконечно малая величина при ∆х→0.

f (x)

Из того, что α ( х) сколько угодно мало следует, что знак

та-

f (x)

кой же, как и знак f'(x), если ∆х достаточно мало. Но, если

> 0 , то

функция у = f(х) возрастает. Что и требовалось доказать.

Пример 20. Исследовать функцию f (x) =

на монотонность.

х2 + 1

Решение. Функция определена на R = (− ∞ , ∞). Её производная

f ′(x) =

х2

+ 1 − 2х2

1 − х2

положительна, если

1 − х2

> 0

или

(1 + х2 )2

(1 − х)(1 + х)

> 0, т.е. при х (-1, 1), и отрицательна, если

1 − х2

< 0 , т.е.

(1 + х2 )2

+ х2 )2

при х (- ∞, -1) (1, ∞).

Ответ: функция возрастает на интервале (-1, 1) и убывает на интервалах

(- ∞, -1) и (1, ∞).

11.2 Максимум и минимум функций

Пусть функция у = f(х) непрерывна на интервале (а, b).

Определение. Точка х0 (а, b) называется точкой максимума функции

у = f(х), если существует такая δ-окрестность точки х0, что для для всех х ≠ х0 из этой δ-окрестности выполняется неравенство

у					(x	)		f(х0) > f(х).
у								f(х0) > f(х).
			у =	f				Аналогично определяется точка минимума функ-



								ции: х1 – точка минимума функции у = f(х), если



								для всех х из достаточно малой δ-окрестности
								для всех х из достаточно малой δ-окрестности
								точки х1 имеем f(x1)<f(x) (рисунок 43).
								точки х1 имеем f(x1)<f(x) (рисунок 43).
	а x0	x1				b	х	Значение функции в точке максимума
	а x0	x1				b	х	Значение функции в точке максимума
	Рисунок 43						(минимума) называется максимумом (минимумом)

функции.

Максимум и минимум функции объединяются общим названием -

экстремум функции.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие существования экстремума). Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х0 и дифференцируема в этой точке, то её производная в этой точке равна нулю: f'(x) = 0.

Доказательство. Для определенности будем считать, что х = х0 – точка максимума. Значит, в окрестности точки х0 выполняется неравенство:

f(x0) > f(x0 + ∆x).

Тогда	у	=	f (x0 + х) − f (х0 )	< 0 , если ∆x > 0 и	у	> 0 , если ∆x < 0.
	х		х		х

По условию теоремы функция у = f(х) дифференцируема в точке х0, т.е.

f ′(x) = lim f (x0 + x) − f (x0 ) существует . Переходя к пределу при

х→0 х

∆х→0, получим f '(x) ≤ 0 при ∆х > 0 и f '(x) ≥ 0 при ∆х < 0.

у
		у=f(x)
0	x0	х
	Рисунок 44

В силу единственности предела f '(x0) =0. Аналогично доказывается теорема, если х0 – точка минимума.

Геометрически равенство f '(x0) = 0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у = f(х) касательная к её графику параллельна оси Ох (рисунок 44).

Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. если f '(x0) = 0, то это не значит, что х0 – точка экстремума. Например, производная функции у = х3 равна нулю при х = 0, но точка х = 0 не является точкой экстремума (рисунок 45). Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = │х – 1│в точке х = 1 не диф-

ференцируема, но точка х = 1 является точкой минимума (рисунок 46). Отсюда следует, что непрерывная функция может иметь экстремум

лишь в точках, в которых производная функции равна нулю или не сущест-

вует. Такие точки называются критическими точками 1-го рода.

у	у=х3	у
	у=х3	у	1
			-
			х
		=
		у
0 1 х		0 1 х
	Рисунок 45	Рисунок 46

Теорема 4 (достаточные условия существования экстремума). Пусть непрерывная функция у = f(х) имеет производную в некоторой δ- окрестности критической точки х = х0 , исключая, быть может, саму точку. Если при переходе аргумента через эту точку (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то в критической точке функция имеет максимум. Если знак производной меняется с минуса на плюс, то функция имеет минимум в этой точке. Если знак производной не меняется, то в критической точке х0 экстремума нет.

Доказательство. Предположим, для определенности, что при переходе аргумента через критическую точку производная меняет знак с плюса на ми-

нус. Рассмотрим δ-окрестность точки х0, в которой для х (х0 - δ, х0) у' > 0, а для х (х0 , х0 +δ) у' < 0. В силу достаточных условий монотонности на

интервале (х0 - δ, х0) функция возрастает, а на интервале х (х0 , х0 +δ) – убывает. Из определения возрастающей функции следует, что f(х) < f(х0),

х (х0 - δ, х0), а из определения убывающей функции f(х) < f(х0),

х (х0 , х0 +δ). Но это означает, что для всех х (х0 - δ, х0) х (х0 , х0 +δ) имеет место неравенство f(х0) > f(х). По определению точка х = х0 есть точка

максимума, что и требовалось доказать.

Аналогично теорема доказывается для случая, когда f '(х) < 0

х (х0 - δ, х0) и f '(х) > 0 х (х0 , х0 +δ).

Схема исследования функции у = f(х) на экстремум

Из приведенных выше утверждений вытекает, что для нахождения экстремумов функции следует:

1.Найти область определения функции D(у);

2.Вычислить производную функции у' ;

3.Определить критические точки функции у = f(х), из условий: у' = 0, у' – не существует;

4.Разбить область определения функции D(у) критическими точками на интервалы и определить знак производной на каждом из них;

5.Пользуясь достаточными условиями существования экстремума, найти точки экстремума, если они существуют;

6.Определить экстремумы функции.

Пример 21. Исследовать на экстремум функцию у = х 1 − х2 . Решение. 1) Функция определена при –1 ≤ х ≤ 1, т.е. D(у) = [–1, 1].

	2) Найдем производную функции: у′ =												1 − х2 −		х2		= 1 − 2х2 .
	2) Найдем производную функции: у′ =												1 − х2 −		1 − х2		= 1 − 2х2 .
															1 − х2	2				1 − х2		2
	Производная равна нулю при 1 – 2х2 = 0; отсюда х1 = −															2			,	х2 =		2
	Производная равна нулю при 1 – 2х2 = 0; отсюда х1 = −															2			,	х2 =		2
	(критические точки); у' не существует при х = ± 1, т.е. на границах об-
	ласти определения функции. 3) Разобьем критическими точками область
	определения функции на интервалы и проверим знак производной на ка-
	ждом из них. Исследование оформим в виде следующей таблицы

				2				2		2		2		2		2
				2	−			2		2	;	2		2		2
х		-1	− 1;−	2	−	2			−	2	;	2		2		2		;1				1
х		-1		2		2				2		2		2		2						1

у'		не сущ.	–			0					+			0				–			не сущ.

у							−	1						1
								2						2

						min								max

								70
В точке х =			−		2	функция имеет минимум,
В точке х =			−	2		функция имеет минимум,
				2
		2				2	1 − 1 = − 1 , а в точке х =		1
уmin=	у −			= −		2			1	- максимум,
уmin=	у −			= −						- максимум,
		2				2	2	2	2
		2				2	2	2	2
	2	= 1 . В критических точках х = ± 1 экстремума нет, так как по
уmах= у	2
уmах= у
	2	2
	2	2

определению точками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции.

11.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и согласно теореме Вейерштрасса такая функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений на этом отрезке. Предположим, что на данном отрезке функция f(х) имеет конечное число критических точек 1-го рода. Если наименьшее значение функция достигает внутри отрезка [а; b], то это значение будет ее минимумом (наименьшим среди всех имеющихся минимумов на указанном отрезке); возможно, что наименьшим ее значением будет значение на одном из концов отрезка. Аналогично рассуждая, можно сказать, что и наибольшее значение функция f(х) достигает либо на одном из концов отрез-

ка, либо его внутренней точке отрезка,

которая является точкой максимума.

Предположим, что функция f(х)

дифференцируема на отрезке [а; b],

у=f(x)

за исключением, быть может, конеч-

х1

ного числа точек. На рисунке 47

функция имеет 2 точки минимума

х2

х3

b х

Рисунок 47

х = х1, х = х3 и точку максимума х = х2 и достигает своего наименьшего значения в точке минимума х=х1, а наибольшее - на конце отрезка х=b. Получаем следующее правило нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке [а; b]:

1)вычислить у′; 2) найти критические точки 1-го рода функции;

3)вычислить значения функции в критических точках, попавших в интервал [а; b] и на концах отрезка [а; b]; 4) среди вычисленных значений функции выбрать наименьшее и наибольшее.

Замечание. Если функция у = f(х) на [а, b] не имеет критических точек первого рода, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом.

Пример 22. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = х4 – 2х2 – 5 на отрезке [-2; 0,5].

Решение. Производная заданной функции равна f '(x) = 4х3 – 4х.

Находим критические точки данной функции	f '(x) = 0, 4х3 – 4х = 0,
х1 = 0 [-2; 0,5], х2 = -1 [-2; 0,5], х3 = 1	[-2; 0,5].

Вычислим значения функции на концах отрезка: х = -2, х = 0,5 и в критических точках: х = 0, х = -1.

f(-2) = (-2)4 – 2 · (-2)2 –		5 = 3;	f(0,5) = 0,54 – 2 · 0,52 – 5 = -5,4375
f(0) = - 5;	f(-1)	= 1 – 2 – 5 = -6.

Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:

max	f (x) = f (−2) = 3	, min	f (x) = f (−1) = −6 .
[−2; 0,5]		[−2; 0,5]

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, экономики, химии и других дисциплин.

Пример 23. Определить размеры цилиндра, который бы имел наибольший объем при данной полной поверхности S.

Решение. Обозначим радиус основания цилиндра через х, а высоту через у.

S − 2πx 2

Тогда S = 2πx + 2πху, т.е. у =

2πх

− 2πх

. Тогда объем ци-

2π

V = πх2 у = πх2

х − πх3 .

линдра выразится так:

− 2πх

2π

Задача сводится к исследованию функции V(х) на максимум при х > 0.

Найдем

= S

− 3πх2

и приравняем её к нулю:

S − 3πх2 = 0 , отсюда

х =

. При х <

dV > 0 , а при х >

< 0 . Поэтому при

6π

х =

, у = 2

объем имеет наибольшее значение.

6π

							72
11.4 Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Определение.	График дифференцируемой функции называется выпук-
	лым (вогнутым) на интервале (а, b), если он расположен
Определение.	ниже (выше) любой её касательной на этом интервале.
Определение.	Точка графика функции, отделяющая выпуклую часть
	графика от вогнутой, или наоборот, называется точкой
	перегиба графика функции.
у							На рисунке 48а) кривая у = f(х) выпук-
	у						ла на интервале (а, с), вогнута на ин-
	у
	=						тервале (с, b), точка (c; f(с)) – точка
	f
	(
	x
α(х)	)			α(х)			перегиба.
α(х)				α(х)			перегиба.
а	с				b	х
Рисунок 48 а)					у=f(x)			Пусть график функции у = f(х)
					у=f(x)			выпукл (вогнут) на интервале
у								выпукл (вогнут) на интервале
у								(а, b). Обозначим через α(х) угол,
								(а, b). Обозначим через α(х) угол,
								образуемый касательной к графи-
α3	α					α		ку функции в точке (х, f(х)) с по-
α3	2					4
	α1 х1 х2 х3				х4		х	ложительным направлением оси
Рисунок 48 б)								Ох. Из рисунка 48(б, в) видно, что
у								график функции у = f(х) выпукл
у								(вогнут) тогда, когда функция α(х)
								(вогнут) тогда, когда функция α(х)
			(x)					убывает (возрастает). Так как
		f
	=
	у							функция у = tgх - возрастающая,
α1				α3				функция у = tgх - возрастающая,
α1	α2 х		х	α3	х		х	то у' = tgα(х) убывает и возраста-
	α2 х		х		х		х	то у' = tgα(х) убывает и возраста-
	1			2	3			ет одновременно с α(х), а следова-
								ет одновременно с α(х), а следова-
	Рисунок 48 в)							тельно, у'' ≤ 0 (у'' ≥ 0).
Теорема 5 (необходимое условие выпуклости (вогнутости). Если
функция у = f(х) дважды дифференцируема на интервале (а, b) и её гра-
фик выпукл (вогнут) на этом интервале, то у'' ≤ 0 (у'' ≥ 0).

Теорема 6 (достаточные условия выпуклости (вогнутости). Если функция у = f(х) дважды дифференцируема на интервале (а, b) и у'' < 0 (у'' > 0), то график этой функции выпукл (вогнут) на этом интервале.

Определение. Критическими точками второго рода для функции

у = f(х) называются точки из области определения функции, в которых у'' = 0 или не существует.

Теорема 7 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если график дважды дифференцируемой на интервале (а, b) функции

у = f(х) имеет в точке (х0, f(х0)) перегиб (х0 (а, b)), то вторая производная функции в точке х = х0 равна нулю или не существует.

Доказательство. Так как функция у = f(х) имеет вторую производную на интервале (а, b), то f ''(х) является непрерывной функцией на этом интервале. Из определения точки перегиба следует, что в точке (х0, f(х0)) меняется направление выпуклости графика функции. Для определенности допустим, что для х (х0 - δ, х0) график функции у = f(х) выпуклый и тогда f ''(х) ≤ 0, а для х (х0 , х0 +δ) график вогнутый и f ''(х) ≥ 0. В силу непрерывности функции f ''(х) имеем, что f ''(х0) = 0, что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что точкой перегиба может быть лишь критическая точка второго рода. Однако не всякая критическая точка второго рода является точкой перегиба. Например, для функции у = kх + b любая точка – критическая точка второго рода (у'' = 0), но на графике этой функции (прямой) нет точек перегиба.

Теорема 8 (достаточное условие существования точек перегиба).

Если функция у = f(х) дважды дифференцируема на интервале, содержащем критическую точку второго рода х = х0, за исключением, быть может самой этой точки, и при переходе аргумента через эту точку вторая производная меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(х) < 0 при х <х0 и f ''(х) > 0 при х > х0. Это означает, что слева от х = х0 график функции выпуклый, а справа – вогнутый. Следовательно, точка (х0, f(х0)) графика функции является точкой перегиба.

Схема исследования функции у = f(х) на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

1.Найти область определения функции D(у);

2.Вычислить у'';

3.Определить критические точки второго рода из условий: у'' = 0 или у'' - не существует;

4.Разбить D(у) критическими точками второго рода на интервалы и определить знак у'' в каждом из этих интервалов. Интервалы, в которых у'' < 0 являются интервалами выпуклости, а интервалы в которых у'' > 0 – интервалами вогнутости;

5.Если при переходе аргумента через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет свой знак, то эта точка - абсцисса точки перегиба. Вычислить значение функции у = f(х) в точках перегиба;

6.Выписать интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Пример 24. Найти точки перегиба кривой у = 3 (х − 5)5 + 2 . Решение. 1) Заданная функция определена при любом значении х, т.е.

	5	2			10	(х − 5)−	1		10
D(у)=R. 2) Найдем у'': у′ =		(х − 5) 3	,	у′′ =			3	=		.
	3				9				93 х − 5

3)Вторая производная функции нигде не обращается в нуль и не существует в точке х = 5 D(у).

4)Разобьем D(у) критической точкой второго рода х = 5 на интервалы

(- ∞; 5) и (5; ∞) и проверим знак второй производной в каждом из них. Составим таблицу, в первой строке которой запишем интервалы и критическую точку х = 5. Во второй строке отметим знаки второй производной в интервалах. В третьей строке покажем направление кривой на каждом интервале и значения функции в точке перегиба х = 5.

х	(– ∞; 5)	5	(5; ∞)

у′′	–	не сущ.	+	упер = у(5) = (5 − 5)5 + 2 = 2
у		2

		точка
		перегиба

11. 5 Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными (параллельными оси Оу) (рисунок 49 а)и наклонными (невертикальными) (рисунок 49 б).

)

(

)

(

x=а

Рисунок 49 а)

Рисунок 49 б)

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графи-

ка функции у = f(х), если lim

f (x) = ∞ , или

lim

f (x) = ∞

х→а

х→а−0

или lim f (x) = ∞. Таким образом, прямая х = а является вертикальной

х→а+0

асимптотой к графику функции у = f(х) тогда и только тогда, когда точка х = а является точкой разрыва второго рода или граничной точкой D(у), в которой бесконечен односторонний предел функций.

Следовательно, при нахождении вертикальных асимптот достаточно найти точки разрыва второго рода.

Уравнение наклонной (невертикальной) асимптоты будем искать в виде

у = kx + b.

(11.1)

Найдем k и b. Из определения следует, что при х → ∞ f(x) – kx – b → 0.

Разделим обе части на х:

f (x)

− k

− b

→ 0. Перейдя к пределу при х → ∞,

(x)

получаем:

lim

lim k +

х→∞

Так как

b → 0 при х → ∞, то

k = lim

f (x)

(11.2)

х→∞ х

Из условия f(x) – kx – b → 0 при х → ∞ находим b:

b = lim ( f (x) − kx)	(11.3)
х→∞

Замечание. В связи с тем, что некоторые функции ведут себя по-разному при х → + ∞ и при х → – ∞, следует при нахождении наклонных асимптот различать эти случаи.

Итак, если у = kx + b асимптота, то k = lim	f (x)	, b =	lim ( f (x) − kx) .
	х
х→±∞			х→±∞

Верно и обратное утверждение: если существуют выше полученные пределы (11.2), (11.3), то прямая у = kx + b – асимптота.

В частности, если k = 0, то b = lim f (x) . Поэтому у = b – уравнение

х→∞

горизонтальной асимптоты.

Замечание. Если хотя бы один из пределов (11.2) или (11.3) не существует, то график функции у = f(х) наклонных асимптот не имеет.

Пример 25.

Найти асимптоты графика функции у =

х2

− 2

х + 3

х +

Решение. Функция определена при х (– ∞, –2) (-2, ∞)

lim у(x) =

lim

х2

− 2х + 3

= ∞ , т.е. х = -2 – вертикальная асимптота.

х + 2

х→−2

Найдем наклонные асимптоты в виде у = kx+ b, где k =

lim

х2 − 2х

+ 3

= 1,

(х + 2)

х→±∞

х2

−

2х + 3

х2 − 2х + 3 −

х2 − 2

b = lim

− х

lim

х + 2

х→±∞

х + 2

х→±∞

= lim

− 4х + 3

= −4.

х + 2

х→±∞

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение у = х – 4.

11.6Общая схема исследования функции у = f(х) и построения графика

Исследование функции у=f(x) целесообразно вести в следующей последовательности:

1.Найти область определения функции;

2.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва (если они существуют) и выяснить их характер;

3.Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида;

4.Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;

5.Определить асимптоты графика функции;

6.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

7.Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции;

8.На основании проведенного исследования построить график функции.

Пример 26. Исследовать функцию и построить её график у =	4	+	1
	х		х4
Решение. 1) Функция не определена при х=0, значит,

D(у): х (– ∞,0) (0,∞).

2) Т.к. функция элементарная, то она непрерывна в своей области определения, т.е. на интервалах (– ∞,0) и (0, ∞). Тогда х = 0 – точка разрыва. Чтобы установить характер разрыва найдем односторонние пределы функции в этой точке:

	у(x) =		4		1			4х3 + 1
lim		lim		+		=	lim		= +∞
				+		=			= +∞
			х		х4			х4
х→−0		х→0	х		х4		х→0	х4
		х<0					x<0
	у(x) =		4		1			4х3 + 1
lim		lim		+		=	lim		= +∞
				+		=			= +∞
			х		х4			х4
х→+0		х→0	х		х4		х→0	х4
		x>0					x>0

Следовательно, в точке х = 0 функция терпит разрыв второго рода. 3) Исследуем функцию на четность и нечетность:

у(− х) =

. Т.к. у(-х) ≠ у(х) и

= −

−

− х

(− х)4

х4

у(-х) ≠ – у(х), то данная функция общего вида, ее график симметрией не обладает.

4) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Точки

у = 0

4х3

+ 1

4х3 + 1 = 0

пересечения с осью Ох:

= 0,

у =

х4

х ≠ 0

х = −3

≈ −0,6 . Полученной точкой разобьем D(у) на интервалы и опре-

делим знак функции на них. Функция отрицательна на интервале

− ∞;

−

и положительна на интервалах

−

; 0

и (0;

∞ ). Полу-

3 4

ченные интервалы, на которых функция сохраняет свой знак, и являются интервалами знакопостоянства функции.

С осью Оу график функции не имеет точек пересечения, т.к. х ≠ 0.

5) Так как х = 0 – точка разрыва второго рода, то х = 0 - уравнение вертикальной асимптоты. Выясним наличие наклонной асимптоты:

у(x)

k =

lim

= 0 ,

х2

х5

х→±∞

b =

lim

( у(x) − kx) =

lim

х4

= 0 .

х→±∞

Следовательно,

у = 0 – горизонтальная асимптота.

6) Находим интервалы монотонности и экстремумы функции. Т.к.

1 ′

− 4(х3 + 1)

у′ =

= −

−

, то критической точкой 1-го рода

х2

х5

х4

является х = -1

(у' = 0),

у' – не существует при х = 0,

но х = 0 D(у). Все

дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

(−1, 0)

(−∞, −1)

−1

(0, + ∞)

у'

−

-3

min

В точке х = −1 функция имеет минимум, уmin = у(−1) = −3. На интервалах (−∞, −1), (0, ∞) функция убывает, а на интервале (−1, 0) - возрастает.

7) Находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба. Для этого

определим у'' : у′′ =	8	+	20	=	8х3 + 20	. Найдем критические точки 2-го
	х3		х6		х6

рода: у''

= 0 при 8х3 + 20 = 0, х = −3 2,5 ≈ −1,4 - критическая точка второго

рода. у'' – не существует при х = 0, но х = 0 D(у).

Составим таблицу:

(− ∞,

− 3 2,5)

− 3 2,5

(− 3 2,5, 0)

(0,

∞)

у''

−

53 2,5 ≈ −2,6

точка перегиба

График функции вогнутый на интервалах (− 3 2,5,

0) и (0, ∞), выпук-

лый на интервале (− ∞,

− 3 2,5).

2,5, −

- точка перегиба.

Точка −

53 2,5

8) Построим график функции.

Определим дополнительные точки:

-2 -1 0

-1 1

х1 = -2, у1

= -1

; х2

= 1, у2 = 5;

-3

х3 = 2,

у2

= 2

1 .

Рисунок 50

11.7 Численные методы решения уравнений

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [а; b] и

внутри него имеет производные до второго порядка включительно.

Рассмотрим уравнение

f(х) = 0.

(11.4)

Определение. Корнем уравнения (10.4) называется такое значение х = ξ,

при котором данное уравнение обращается в тождество.

Геометрически корни уравнения (11.4) представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ох (рисунок 51). Иногда удобно заменить уравнение (11.4) равносильным уравнением f1(х) = f2(х). Тогда корни уравнения (11.4) находятся как абсциссы точек пересечения кривых у = f1(х) и у = f2(х) (рисунок 52).

			= f(x)		= f2(x)
			= f(x)		= f1(x)
					= f1(x)
ξ1	0	ξ2	ξ3	0	ξ
				0	ξ
		Рисунок 51			Рисунок 52

Предположим, что уравнение f(х) = 0 имеет единственный корень

ξ (а; b), причем выполнено условие f(a) f(b) < 0 (на концах отрезка функ-

ция принимает значения разных знаков). Укажем некоторые простые прие-

мы для приближенного нахождения этого корня.

1. Метод хорд

Пусть (а; b) – интервал, содержащий корень ξ уравнения f(х) = 0, причем

f ′′(х) сохраняет знак на этом интервале. Составим уравнение хорды АВ,

воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через 2 точки А(а; f(а))

и В(b; f(b)) (рисунок 53):

у− f (a)

= x − a

. Найдем точку а1 – пересечения

f (b) − f (a)

b − a

этой хорды с осью Ох. Для этого положим в полученном уравнении х = а1,

у = 0. Получим:

0 − f (a)

= а1 − a , отсюда а

= а−

f (a)

(b − a) .

f (b) − f (a)

b − a

f (b) − f (a)

Число а1 принимаем за первое приближе-

B(b, f(b))

ние корня ξ. Полученную формулу можно

применить к тому из отрезков [а; а1] или

)

[а1; b], на концах которого функция f(х)

(

а1

а2

принимает значения различных знаков.

Применяя этот метод несколько раз,

А(а, f(a)) А1

получаем последовательность чисел

а1, а2, а3, …, аn, которые находятся по

Рисунок 53

формуле

аn = аn−1 −

f (an−1)

(b − an−1)

(11.5)

f (b) − f (an−1)

и стремятся к корню ξ.

2. Метод касательных (Ньютона)

Пусть (а; b) – интервал, в котором находится корень ξ уравнения f(х) = 0, и

f ′′(х) сохраняет постоянный знак на этом интервале.

Проведем в точке В(b; f(b)) касательную к графику функции у = f(х).

Её уравнение: у – f(b) = f ′(b)(х – b). Положив в этом уравнении у = 0, х = b1,

найдем точку пересечения касательной с осью Ох. 0 – f(b) = f ′(b)(b1 – b).

Приближенное значение корня ξ равно b

= b − f (b) .

′(b)

Получили новый, более узкий, интервал

B(b, f(b))

(а; b1), содержащий корень уравнения ξ.

)

Проводя затем касательную в точке

f (

В1(b1, f(b1)) находим более точное значе-

ние корня b2. Повторяя этот прием нес-

колько раз, получим последовательность

b2 b1

чисел b1, b2, b3, …, bn, стремящуюся

А(а, f(a))

к корню ξ, и определяемую по формуле:

f (bn−1)

Рисунок 54

bn = bn−1 −

(11.6)

f ′(bn−1)

Замечание.

По методу касательных уточняют тот конец интервала, для ко-

торого выполняется условие f(х) f ′′(х) > 0. В противном случае может про-

изойти расширение, а не сужение первоначального интервала.

3. Комбинированный метод Так как методы хорд и касательных позволяют приближаться к корню с

разных концов, то можно применять оба метода одновременно. Находя последовательность интервалов (а1, b1), (а2, b2), …, (аn, bn), по формулам (11.5) и (11.6), процесс следует прекратить, если одна из величин f (an ) ,

f (bn ) , bn − an станет меньше указанной точности.

у=f( x )

а1	а2	ξ	b2	b	b
				1

Рисунок 55

Пример 27. Найти с точностью до 0,001 корень уравнения х3 + 2,7х + 4,63=0. Решение. Запишем уравнение в виде х3 = - 2,7х - 4,63.

Построим графики функций у = х3, у = -2,7х – 4,63.													у
Для построения кривой достаточно взять несколько													8
	точек и записать их в виде таблицы:									=			8
	точек и записать их в виде таблицы:									=
										у									3
										2								у=х
										2
										,
	х	-2	-1			0		1	2	-
	х	-2	-1			0		1	2	7			4
	у	-8	-1			0		1	8	-
										-
										6
											х
										4
										,
										,
										3
	Для построения прямой найдем две точки:									-2				1						х
	Для построения прямой найдем две точки:									-2				1


	х	-2			0										0 2			4
	у	0,77		-4,63													-4
		Из рисунка 56 видно, что корень уравнения ξ


находится в интервале (-2; -1). Найдем значения
функции f(х) = х3 + 2,7х + 4,63 на концах отрезка																-8
[-2; -1]: f(-2) = -8,77 < 0;									f(-1) = 0,93 > 0.
[-2; -1]: f(-2) = -8,77 < 0;									f(-1) = 0,93 > 0.
		Разные знаки результатов свидетельствуют
	о том, что интервал выбран верно.											Рисунок 56
Выясним, к какому из концов применим метод касательных:
f ′(х) = 3х2 + 2,7,							f ′′(х) = 6х < 0 при х [-2; -1].

Поэтому в формуле (11.6) получаем b = -2. Используя формулы (11.5) и (11.6), найдем:

ξ1 = −1 −

f (−1)

(− 2 +

1) = −1−

0 ,

(

−1)≈−1

,0959 .

′

− f (−1)

−8

,77

−0 ,93

(−2)

f (−2)

− 8,77

ξ 1 = −2 −

= −2

−

≈ −1,4034 .

′

14,7

f (−2)

Так как

ξ1 −

− 1,0959 + 1,4034

≈ 0,3075 > 0,001,

то вычисления продолжаем на отрезке [− 1,4034; − 1,0959].

f (ξ 1 ) = f (−1,4034) = (−1,4034)3 + 2,7(− 1,4034) + 4,63 ≈ −1,9232 < 0 f (ξ1 ) = f (−1,0959) = (−1,0959)3 + 2,7(− 1,0959) + 4,63 ≈ 0,3549 > 0 f ′(ξ 1 ) = f ′(−1,4034) = 3(−1,4034)2 + 2,7 ≈ 8,6086

ξ 2 = −1,0959 −

f (−1,0959)

(− 1,4034 + 1,0959) ≈

′

(−1,4034) − f (−1,0959)

≈ −1,0959 − − 0,3549

(− 0,3075) ≈ −1,1438.

2,278

f (−1,4034)

− 1,9232

ξ 2 = −1,4034 −

= −1,4034

−

≈ −1,1800

′

8,6086

(−1,4034)

Так как

ξ 2 −

− 1,1438 + 1,1800

= 0,0362 > 0,001, то вычисления про-

должим

на отрезке [− 1,18; − 1,1438].


f (ξ 2 ) = f (−1,1438) = (−1,1438)3 + 2,7(− 1,1438) + 4,63 ≈ 0,0453 > 0
f (			2 ) = f (−1,1800) = (−1,18)3		+ 2,7(− 1,18) + 4,63 ≈ −0,1990 < 0
	ξ
f ′(				2 ) = f ′(−1,18) = 3(−1,18)2	+ 2,7 ≈ 6,8772
		ξ

ξ 3 = −1,1438 −

f (−1,1438)

(− 1,18 + 1,1438) =

f (−1,18) −

f (−1,1438)

= −1,1438 −

− 0,0453

(− 0,0362) ≈ −1,1505 .

− 0,1990 − 0,0453

f (−1,18)

− 0,1990

ξ 3

= −1,18 −

= −1,18

−

= −1,1511

′

6,8772

(−1,18)

− 1,1505 + 1,1511

= 0,0006 < 0,001, то приближенное

Так как

ξ 3 −

значение корня с точностью до 0,001 равно ξ ≈ – 1,151.

12 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Дифференциальная геометрия – это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых, поверхностей методами анализа бесконечно малых.

Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей “в малом”, т.е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.

12.1 Векторная функция скалярного аргумента

Пусть J – некоторое множество точек на прямой, плоскости или в пространстве.

Определение. Говорят, что на множестве J задана вектор-функция f , если

каждой точке Х этого множества сопоставлен вектор f (Х)

Для вектор-функций так же, как и для скалярных функций в математическом анализе, вводится понятие предела.

Определение. Говорят, что предел вектор-функции f (Х) равен постоянному

вектору а при Х → Х0, если f (Х) − а → 0 при Х → Х0.

Для вектор-функций имеют место теоремы о пределе, аналогичные

теоремам о пределе для скалярных функций. Например, если

(Х) и q (Х) –

вектор-функции, а λ(Х) – скалярная функция и при Х → Х0

(Х) →

, λ(Х) → m, то

(Х) ±

(Х) →

;

(Х) ·

(Х) →

;

λ(Х) ·

(Х) → m ·

;

(Х) ×

(Х) →

Для вектор-функции вводится понятие непрерывности подобно тому,

как для скалярных функций.

Определение.

Вектор-функция

(Х) называется непрерывной в точке

Х0, если

(Х) =

(Х0 ) .

lim

Х→ Х0

Теорема. Пусть вектор-функции f (Х) и q (Х) – непрерывные в точке Х0, а λ(Х) – скалярная функция, непрерывная в этой точке.

Тогда вектор-функции f (Х) ± q (Х), λ(Х) · f (Х), f (Х) × q (Х), а также скалярная функция f (Х) · q (Х) непрерывны в точке Х0.

12.2 Понятие производной векторной функции

Пусть функция f (Х) определена на отрезке.

Определение. Говорят, что вектор-функция f (Х) имеет в точке t отрезка производную, если существует предел отношения


83
		(t + t) −		(t)
	f	(t + t) −	f	(t)	при	t → 0.
		t			при	t → 0.
		t
Обозначается производная в точке t как							' (t).
Обозначается производная в точке t как						f	' (t).

Теорема. Если

(t) и

(t)дифференцируемые в точке t вектор-функции,

λ(t) – дифференцируемая в этой точке скалярная функция, то λ(t) ·

(t),

(t) ±

(t),

(t) ×

(t),

(t)

(t) –

функции, дифференцируемые в

точке t, причем

(λ ·

) ' = λ' ·

+ λ ·

' ;

(

) ' =

' ±

' ;

(

) ' =

' ×

' ;

(

) ' =

' ·

' .

Определение.

Производная вектор-функции

' (t) называется второй про-

изводной функции

(t) и обозначается

'' (t). Аналогично

определяются третья, четвертая и т.д. производные.

Например, рассмотрим радиус-вектор некоторой точки А(х, у, z),

ОА

= х

+ у

(12.1)

+ zk

Пусть проекции вектора

- функции некоторого параметра t:

х = х(t)

у = у(t),

t1 ≤ t ≤ t2 .

z = z(t)

Тогда формулу (12.2) можно переписать в виде:

(t) = х(t)

+ у(t)

+ z(t)

или

(t) .

(12.2)

При изменении t вектор r изменяется в общем случае по величине и по направлению. Следовательно, r(t) - вектор-функция скалярного аргумента t.

	)
t
(
r	r0

х0

Рисунок 57

Начало вектора

(t) находится в начале

координат. Уравнение (51) является

(t)

уравнением некоторой пространствен-

ной кривой.

Вектор

0 = х0

+ у0

+ z0

есть предел

вектор-функции

(t)

при t→ t0 (рисунок 57) и тогда

(t) −

= lim (х(t) − x

+ ( у(t) − у

+ (z(t) − z

→ 0

lim

t→t0

lim

(t)

t→t0

Рассмотрим вопрос о производной векторной функции скалярного аргумента t. Возьмем какое-нибудь фиксированное значение t, соответствующее

определенной точке М на кривой, и дадим t приращение ∆t, тогда получим векторr(t + t) = х(t + t) i + у(t + t) j + z(t + t) k , который на кривой

определяет точку М1. Найдем приращение вектора r(t) :

r = r(t + t) − r(t) = (х(t + t) − х(t))i + ( у(t + t) − у(t)) j + (z(t + t) − z(t))k

Рассмотрим отношение

(t)

прираще-

)

ния векторной функции к приращению

(

скалярного аргумента ∆t; это вектор,

)

М1

коллинеарный с вектором ∆

(t) , т.к.

r(t+

получается из него умножением на ска-

Рисунок 58

лярный множитель

. Этот вектор можно так записать:

(t) =

х(t +

t) − х(t)

у(t + t) − у(t)

+ z(t +

t) − z(t)

Если функции х(t), у(t), z(t) дифференцируемы при выбранном значе-

нии t, то коэффициенты при

в пределе при ∆t → 0 обратятся в про-

(t)

dх

dу

+ dz

изводные:

. Т.к. при ∆t → 0 точка М1 приближается

Выясним направление вектора

к точке М, то направление секущей ММ1 в пределе дает направление каса-


тельной. Следовательно, вектор		d	r		направлен по касательной.
тельной. Следовательно, вектор		dt			направлен по касательной.
		dt
Канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через
точку М(х, у, z) имеют вид:	Х − х			= У − у		= Z − z , где Х, У, Z – координа-
точку М(х, у, z) имеют вид:	m			= У − у		= Z − z , где Х, У, Z – координа-
	m				n	р

ты текущей точки прямой, а вектор S = (m, n, p) - направляющий вектор

прямой. Т.к. вектор

направлен по касательной, то в качестве вектора

можно взять вектор

. Тогда уравнение касательной к кривой

(t)

имеет вид:

Х − х

У − у = Z − z .

dу

Пример 28. Составить уравнения касательной к винтовой линии

r(t) = (a cos t, a sin t, amt) или х = a cos t, у = a sin t, z = amt при произволь-

ном значении t и при t = π4 .

Решение.

= −a sin t,

dу

= асоs t, dz

= am .

Х − асоs t

= У − a sin t

Z − аmt .

− a sin t

аcos t

В частности при t = π

Х − а

У − a

Z −

аmπ

получим:

или

− a

Х − а

− a

Z −

аmπ

− 1

m 2

Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью.

Её уравнение имеет вид: dxdt (Х − х) + ddуt (У − у) + dzdt (Z - z) = 0 .

12.3Правила дифференцирования векторных функций

1.Производная алгебраической суммы векторов равна алгебраической сум-

ме производных слагаемых векторов d(

1 (t) +

2 (t))

= d

1 (t)

+ d

2 (t) .

Производная скалярного произведения векторов равна:

2 )

= d

2 +

2 .

Следствие. Если е(t) - единичный вектор,

= 1, то его производная

есть вектор, к нему перпендикулярный.

2 = 1, то d(

) = 2

= 0 , т.е. скалярное

Доказательство. Так как

произведение

= 0 , а это означает, что вектор

перпендикулярен к

Если λ(t) – скалярная функция,

(t) - векторная функция , то производная

d (λ

)

= dλ

их произведения равна:

+ λ

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

d (С

) = С d

(t) .

r(t)

Производная векторного произведения векторов

d (

1 ×

2 )

= d

× d

2 .

12.4 Кривизна кривой

Обозначим через S длину дуги пространственной кривой: М0 А= S .

При движении переменной точки А(х, у, z) по кривой длина дуги S изменяется; и обратно, при изменении S изменяются координаты х, у, z перемен-

ной точки А.

Следовательно, радиус-вектор

точки А

r = х(S) i + у(S)

j + z(S) k

есть век-

тор-функция длины дуги S.

Её производная по S равна

d r

lim

АВ

= 1.

S → 0

Рисунок 59 М0

Следовательно, d

- единичный век-

тор, направленный по касательной, обозначим его через

d 2

Тогда вторая производная вектор-функции равна

= lim

dS 2

S→0

Через ∆φ обозначим угол поворота касатель-

ной к кривой при переходе из точки А в т. В.

σ L

Из равнобедренного ∆ВКL1, находим:

L К =

= 2

sin ϕ

= 2

sin

В σ

r+r

= 2

sin

sin 2

ϕ .

отсюда

Рисунок 60 После перехода к пределу получаем:

= lim

→0

Определение. Отношение угла поворота ∆φ касательной при переходе от точки А к точке В к длине ∆S дуги АВ, взятое по абсолютной величине, на-

зывается средней кривизной данной линии на участке АВ: Кср =

Определение. Предел средней кривизны при ∆S → 0 называется кривиз-

d 2

ной линии в точке А:

К = lim

или К =

S→0

Т.к. σ единичный вектор, то его производная ddσS перпендикулярна к нему.

Итак, вектор ddσS по длине равен кривизне кривой, а по направлению перпендикулярен к вектору касательной.

Определение. Прямая, имеющая направление вектора

и проходящая

через соответствующую точку кривой, называется главной

нормалью кривой в данной точке.

Единичный вектор этого направления обозначим через

. Тогда

=К ·

Определение.

Величина, обратная кривизне, называется радиусом

кривизны линии в данной точке.

d 2

Обозначается через R, т.е.

= R . Поэтому можно записать:

dS 2

d 2

х 2

d 2

d 2 z 2

Отсюда,

;

Эта формула дает возможность вычислить кривизну линии в любой точке, если эта линия задана параметрическими уравнениями, в которых параметром является длина дуги S.

Рассмотрим случаи, когда радиус-вектор r выражен как функция параметра t

r = r(t) .

Будем рассматривать длину дуги S как функцию параметра t. Тогда:

ddtr = ddSr dSdt

Т.к.

d r

= 1

lim

- длина хорды,

S →0

d r

Продифференцируем это равенство по t:

d 2

d 2 S

dt 2

Из (12.3) следует

(12.3)

S - длина дуги , то

(12.4)

(12.5)

d 2

2 S

Продифференцируем по S:

−

dS 2

dt 2

d 2

Подставим

в формулу

d r

−

d 2

d 2 S

d 2 S 2

−

dS 6

Выражая

d 2 S

по формулам (12.4) и (12.5), имеем:

d 2

−

или

R 2

2 3

d r

12.5 Соприкасающая плоскость. Кручение

Определение. Плоскость, проходящая через касательную прямую и главную нормаль к заданной кривой в данной точке называется соприкасающейся плоскостью в этой точке.

Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. Если же кривая не плоская, то, взяв на ней две точки, мы получим две различные соприкасающиеся плоскости, образующие между собой двухгранный угол Θ. Чем больше угол Θ, тем сильнее кривая по своей форме отличается от плоской кривой.

Определение. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Возьмем на бинормали единичный вектор b и направим его так, чтобы векторы σ , n иb образовывали правую тройку.

В силу определения векторного произведения имеем b = σ × n .

Найдем производную d

(

)= d

× d

Но

dσ =

, поэтому

dσ ×

= 0

Рисунок 61

. Отсюда следует, что

с другой стороны т.к. b - единичный вектор, то ddSb перпендикулярен и к b .

Значит, ddSb перпендикулярен и к σ ик b , т.е. коллинеарен вектору n .

Обозначим длину вектора ddSb через Т1 . Тогда ddSb = Т1 n .

Величина Т1 называется кручением кривой. Двугранный угол Θ между соприкасающимися плоскостями равен углу между бинормалями. Мож-

но записать, что	d	b	= lim	Θ	, где ∆S – длина дуги.
	dS			S
			S→0

Итак, кручение кривой в точке А по абсолютной величине равно пределу отношения угла Θ между соприкасающимися плоскостями в точке А и

соседней точке В к длине S дуги АВ, когда ∆S→0.

Если кривая плоская, то кручение равно нулю. Кручение является мерой отклонения пространственной кривой от плоской кривой . Величина Т называется радиусом кручения кривой. Найдем формулу для вычисления Т.

Т1 n = σ × ddSn .

Умножим обе части равенства скалярно на n , будем иметь:

n n = n σ ×

1		d
			n
					,

Т	= σ			× n
		dS

d n

где σ

× n - смешанное произведение трех векторов.

d 2

d 3

= −R 2

Пусть r = r(S) , тогда

dS dS

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
13.03.20161.65 Mб11Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1.pdf
#
30.03.2015112.27 Кб45Зачетный тест математика.docx
#
13.03.20161.11 Mб11Кравченко Н.И. УП_М_Ч2.pdf
#
13.03.2016932.79 Кб9Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ.pdf
#
13.03.20164.7 Mб267Математика итоговый тест.doc
#
30.03.201529.23 Кб25математика.docx