2 Оценка точности результатов измерений и их функции.
2.1 Числовые характеристики точности измерений
2.2 Оценка точности функций измеренных величин
2.3 Математическая обработка результатов равноточных измерений одной и той же величины
Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений
2.5 Веса измерений и их свойства. Веса функций измеренных величин. Средняя квадратическая погрешность единицы веса
2.6 Математическая обработка неравноточных измерений одной и той же величины
2.7 Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений.
2.1 Числовые характеристики точности измерений
Геодезические измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. О точности измерений можно приближенно судить по рассеиванию результатов измерений. Чем больше будут расходиться между собой отдельные результаты или размеры их погрешностей, т.е. чем больше будет их рассеивание, тем ниже точность измерений. Существует несколько неравноценных характеристик точности рядов измеренных данных, причем все они будут надежны только при большом числе измерений.
Средняя квадратическая погрешность. К.Ф. Гаусс предложил характеристику точности измерений, используя квадраты ошибок. Вследствие этого крупные по абсолютному значению ошибки влияют более сильно на величину этой характеристики, называемой средней квадратической погрешностью (СКП), обозначаемой буквой m. Она определяется по формуле Гаусса
m
=
(2)
при очень большом n.
СКП наиболее полно характеризует точность ряда измерений.
Предельная погрешность. Зная СКП, можно установить предельную погрешность пред, абсолютное значение которой является верхней границей допустимых при данных условиях измерений размеров погрешностей. Каждый результат с погрешностью, превышающей по абсолютной величине значение предельной погрешности, отбрасывается. Предельная погрешность устанавливается инструкциями как «служебный допуск» для каждого вида работ.
(3)
Абсолютная и относительная погрешность. Существует еще одно разделение погрешностей по форме их числового выражения. В тех случаях, когда на точность измерения влияет и размер определяемой величины, оценка точности таких измерений по абсолютным погрешностям становится недостаточной. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к его результату. Относительную погрешность представляют дробью, в числителе которой всегда единица.
(4)
Значение знаменателя относительной погрешности округляют до двух-трех значащих цифр.
Если требуется сопоставить точность угловых и линейных измерений, то выражают величину абсолютной погрешности угла в радианной мере.
Пусть,
например, абсолютная погрешность
направления mн=
0,5.
Выразив 0,5
в радианной мере, получим
.
2.2 Оценка точности функций измеренных величин
Часто нас интересуют не сами измерявшиеся величины, например, углы, линии, превышения, а их функции, например, сумма углов полигона, приращения координат и отметки его вершин. Значения искомых функций вычисляют по измеренным значениям аргументов, ошибки которых окажут некоторое влияние на полученный результат.
Иногда нельзя измерить непосредственно искомую величину, например ширину реки, но её можно определить косвенным путем как сторону треугольника, в котором измерены два угла и одна сторона.
Во всех таких случаях возникает задача определения средней квадратической погрешности функции по известным средним квадратическим погрешностям измеренных величин. Задача эта решается проще по готовым формулам оценки точности, заранее выведенным для основных видов функций. При этом учитывают, зависимы или независимы между собой измеренные аргументы.
Как нам уже известно, случайные погрешности возникают в результате сложного взаимодействия многих источников погрешностей. Если некоторые из этих источников окажутся общими для нескольких измерений, то их результаты будут зависимы между собой. В частности, погрешности результатов последовательных измерений, полученных с использованием общих отсчетов, имеют общее слагаемое – погрешность отсчета, входящую в соседние измерения с разными знаками. При этом погрешность одного результата увеличивается, а второго – уменьшается. Независимыми между собой будут все результаты прямых измерений, погрешности которых образуются независимо одна от другой. Таким образом, случайные погрешности могут быть независимыми и зависимыми между собой.
Случайные погрешности двух независимых рядов измерений обладают свойством независимости: среднее арифметическое из попарных произведений случайных погрешностей i и i (i = 1, 2, …, n) двух независимых рядов результатов измерений стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений, т.е.
при
n
.
(5)
Все нижевыведенные формулы оценки точности функций предназначены только для независимых рядов результатов измерений.
В общем виде оценка точности любой функции производится в следующей последовательности:
1) берут полный дифференциал от функции (или производную);
2) переходят от производных к средним квадратическим погрешностям;
3) почленно возводят все в квадрат.
Вывод формул начнем с наиболее часто встречающихся на практике функций.