8.3 Плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера

Теория конформного изображения одной поверхности на другой была создана в 20-х – 30х годах прошлого столетия Гауссом. Немецкий геодезист Крюгер во многом способствовал систематизации и опубликованию научного наследия Гаусса. Крюгером также был разработан ряд вопросов теории и практики применения плоских прямоугольных координат в геодезии. Поэтому система плоских прямоугольных координат, основанная на конформной проекции Гаусса, обычно называется системой координат Гаусса-Крюгера. В нашей стране эта система применяется с 1928 года.

На плоскости в проекции Гаусса-Крюгера как наиболее простая принимается прямоугольная система координат, причем в каждой зоне берется своя система. Расстояния Х и Y от точки до осей координат называют координатами Гаусса-Крюгера. Наше государство находится в северном полушарии и поэтому абсциссы всех точек будут положительными. А ординаты в каждой зоне могут быть как положительными, так и отрицательными. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, к ним прибавляют 500 км. А впереди пишут номер зоны, в которой находится точка. Поэтому ординаты пишутся условные. Например, Y = 7 536 286,4 м; 7 – номер зоны; 536 286,4 м – это расстояние от условного меридиана, отстоящего от осевого меридиана к западу на 500 км (рисунок 26).

Во всех формулах необходимо использовать ординаты истинные. Чтобы перейти от условных к истинным Y₀, надо исключить номер зоны, а от оставшейся части вычесть 500 000 м.

Например, условный Y= 7536286,4 м

истинный Y₀ = + 36286,4 м

Для математической обработки геодезических сетей на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера необходимо:

Рисунок 26 Проекция

Гаусса-Крюгера

1. От геодезических координат исходных пунктов сети перейти к плоским прямоугольным координатам проекции этих пунктов. В целях контроля следует решить обратную задачу: по прямоугольным координатам вычислить геодезические.

2. От исходных длин и геодезических азимутов сторон на поверхности земного эллипсоида перейти к длинам и дирекционным углам этих сторон на плоскости.

3. Все измеренные направления, редуцированные на поверхность земного эллипсоида, исправить поправками за кривизну изображения сторон на плоскости.

4. Редуцирование направлений, линий и площадей на плоскость в проекции Гаусса

Геодезические сети вычисляют в СНГ на плоскостях координатных зон в проекции Гаусса. Но прежде, чем элементы сетей (углы, расстояния) получить на плоскости, их относят (редуцируют) на поверхность референц-эллипсоида. С этой целью измеренные на земной поверхности расстояния приводят к горизонту, затем относят на уровень моря (поверхность квазигеоида) и на поверхность референц-эллипсоида.

Переход от расстояний на эллипсоиде к расстояниям на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера связан с понятием масштаба изображения. Отношение бесконечно малого отрезка линии на плоскости в проекции Гаусса к соответствующему бесконечно малому отрезку на поверхности эллипсоида называется масштабом изображения.

m = (138)

Величина и степень изменяемости масштаба изображения являются мерилом искажений линейных элементов на проекции в отдельных ее частях. В каждой точке проекции масштаб различный и искажения зависят от удаления точки от осевого меридиана зоны. Масштаб вдоль осевого меридиана равен единице. Наибольшее искажение получают длины отрезков, находящиеся на краю шестиградусной зоны на широте экватора. Опуская вывод формулы, можем записать, что

m = 1 + (139)

где R_m – средний радиус кривизны Земли; R_m = 6 371 км.

Y_m = - средняя ордината линии.

В проекции Гаусса:

- бесконечно малые фигуры подобны соответствующим фигурам на земной поверхности;

- не искажаются длины дуг осевых меридианов;

- длины других линий и площади фигур получаются искаженными.

Редуцирование линий на плоскость в проекции Гаусса

Подставив значение m из формулы 138 в 139, получим:

= 1 + (140)

или S_Г = S (1 + ); S_Г = S + S (141)

где: S обозначим _L, тогда S_Г = S + _L (142)

_L = S (143)

_L называется поправкой за редуцирование расстояния с эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса.