TViMS

3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин

3.3.1. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности (x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:

Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величины X, имеет вид:

График функции распределения F(x) изображен на рис. 13. График плотности распределения f(x) изображен на рис. 14.

63

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение, находятся по формулам:

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на интервал ( , ) [a, b] вычисляется по формуле:

P( X ) b a .

Пример 1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:

а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график; б) функцию распределения f(x) и построить ее график;

в) M(X), D(X), σ(Х).

Решение. Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а = 3, b = 7, находим:

Построим график f(x) (рис.15):

Рис.15

Построим график F(x) (рис.16):

Рис.16

в) найдем числовые характеристики:

64

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина X – время ожидания поезда – на временном

3.3.2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности (x) имеет вид:

Ее функция распределения F(x) находится по формуле

Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис.17 и рис.18.

65

Рис.17 Рис.18

Числовые характеристики показательного распределения определяются равенствами:

M ( X ) 1 , D( X ) 12 , ( X ) 1 .

Для показательного закона распределения вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется формулой

P(a X b) e a e b .

Экспоненциальное распределение является одним из основных распределений, используемых в теории надежности. Он используется при рассмотрении внезапных отказов деталей в тех случаях, когда явления изнашивания и усталости выражены настолько слабо, что ими можно пренебречь.

Пример 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) плотность распределения вероятностей; б) функцию распределения;

в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.

Решение. По условию математическое распределение M(X)= 1 =100, откуда

λ=1/100=0,01.

Следовательно,

Пример 2. Случайная величина T – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной вели-

чины T равно 400 часам, следовательно, 4001 .

Тогда искомая вероятность:

3.3.3. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная особенность закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

Графически функция распределения и функция плотности нормального распределения представлены на рис.19,20:

67

Через X ~ N( , ) обозначается случайная величина, распределенная по

нормальному закону с параметрами a и 2.

Параметры нормального распределения являются математическое ожидание М(Х) = а и дисперсия D(X) = 2.

В частном случае, когда а = 0 и 2 = 1, нормальное распределение называется стандартным и обозначается X ~ N(0, 1) В этом случае имеем

Эта функция Гаусса использовалась нами в локальной формуле МуавраЛапласа. Для расчета вероятности пользуются таблицами функции Лапласа, знакомой нам по интегральной формуле Муавра-Лапласа

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X ~ N ( , ) в интервал (х1, х2) можно вычислить по формуле

Формула упрощается, если границы допустимых значений случайной величины симметричны относительно х = а, т.е.

Полученное равенство выражает так называемое «правило трех сигм», согласно которому для нормально распределеной случайной величины Х практически достоверно, что ее отклонение от центра х = а окажется

меньше утроенного стандартного отклонения .

Пример 1. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16.

Найти:

а)плотность распределения вероятностей f(x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из ин-

тервала (28;38).

Решение. По условию m=32, σ2=16, следовательно, σ=4, тогда

68

По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Итак, искомая вероятность: P(28<X<38)= 0,4332+0,3413=0,7745.

Пример 2. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром 20мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

Решение. В нашем случае 20, 25, следовательно,

Пример 3. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 1,6 и средним квадратическим отклонением 1. Найти вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1,2).

Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (1,2) при одном испытании.

0,1554 0,2257 0,3811.

Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал (1, 2) при одном испытании равна 1 – 0,3811=0,6189, а при четырех испытаниях

0,61894 0,1467. Значит, искомая вероятность P 1 0,1467 0,8533.

3.4. Начальные и центральные моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо матем а- тического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Моментом порядка k случайной величины относительно точки с назы-

вается M ( X с )k .

69

Замечание. Начальный момент 1–го порядка равен математическому

Между начальными и центральными моментами существует следующая связь:

Полученные соотношения необходимы для нахождения асимметрии и эксцесса. Вычисление асимметрии и эксцесса позволяет установить симметричность распределения случайной величины относительно математического ожидания. Для этого находят третий центральный момент, характеризующий асиммет-

рию закона распределения случайной величины. Если он равен нулю 3 0 , то случайная величина симметрично распределена относительно математическо-

го ожидания. Поскольку 3 имеет размерность случайной величины в кубе, то

если асимметрия положительна Аs 0 , то "длинная" и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствующей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия от-

рицательна Аs 0 (рис.21).

70

2. Γ(1) = 1

3. Γ(n + 1) = n!

4. Формула умножения Гаусса: Рассмотрим формулу при n = 2:

3.5. Закон больших чисел и предельные теоремы

Пусть случайная величина Х имеет математическое ожидание М(Х) = а и дисперсию D(X). Тогда для любого > 0 справедливо неравенство Чебышева:

Это неравенство часто используется в виде

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. Если случайная величина X = m имеет биномиальный закон распределения с математическим ожиданием М(Х) = а = np и дисперсией D(X) = npq, то

P( m np ) 1 npq2 .

Для частоты m события в n независимых испытаниях имеем n

Неравенство Чебышева примет вид

Неравенство Чебышева используется для доказательства группы теорем, известных как закон больших чисел. Суть этого закона состоит в том, что

72