TViMS

Если rx y 0 , то при возрастании одной случайной величины другая

имеет тенденцию в среднем возрастать. Если rx y 0 , то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать.

достаточно вероятна.

Чтобы сделать обоснованные выводы о тесноте зависимости между слу-

чайными величинами X и Y по опытным данным, нужно установить зна-

чимость коэффициента корреляции, т. е. проверить нулевую гипотезу

H0 о том, что rx y 0 .

По опытным данным вычисляют критерий проверки

123

При заданном уровне значимости и числу степеней свободы r n 2

находят критическое значение tкрит для двусторонней критической облас-

отвергают, т. е. выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от ну-

ля, а случайные величины коррелированны.

Пример 1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции rx y , прове-

рить его значимость и найти уравнение линии регрессии.

124

125

ными величинами X и Y достаточно вероятна.

Для проверки значимости коэффициента корреляции проверим нулевую

Найдем критическое значение tкрит по таблице критерия Стьюдента (см. при-

Тогда уравнение линейной регрессии

__

yx 0,21x 3,54 .

Для построения полученной прямой возьмем две точки

__

График прямой yx достаточно близко расположен по отношению к опытной линии регрессии. Коэффициент корреляции rx y 0,59 показыва-

127

ет, что зависимость между случайными величинами X и Y заметная и с увеличением значений одной случайной величины значения другой случайной величины имеют тенденцию в среднем увеличиваться.

4. Метод наименьших квадратов

Рассмотрим один из методов, позволяющих проанализировать и об-

работать данные, полученные в результате эксперимента (таблица 1).

Пусть в результате измерений получена таблица зависимости одной

величины y от другой x.

зависимость аналитически. Найдем функцию заданного вида y f (x), ко-

торая в точках x1,x2 ,x3 ,x4 ,..., xn принимает значения как можно более близ-

кие к табличным значениям y1, y2 , y3, y4 ,..., yn . Практически вид прибли-

жающей функции можно определить визуально: по таблице.1 строится то-

чечный график функции, а затем проводится кривая, по возможности наи-

лучшим образом отражающая характер расположения точек (рис. 7).

Рис.7

По полученной кривой устанавливается вид приближающей функ-

128

ции (обычно из числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая, ги-

пербола, дробно-рациональная и т.д.).

Из рисунка 7 видно, что для каждого значения xi экспериментальное yi

и расчетное yip значения различаются на некоторую величину yi , назы-

ваемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных разностей для всех точек была минимальной, найдем оптималь-

ные параметры функции f ( x) : если выполняется условие

Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно

параметров k и b , получим конкретный вид искомой функции y kx b.

129

Опуская математические выкладки, запишем выражения для искомых параметров:

Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, изменится лишь количе-

ство уравнений в системе (для n параметров соответственно будет записано n уравнений). Ниже приведены наиболее используемые функции.

1. Степенная зависимость (геометрическая регрессия)

Степенная зависимость (рис.8) имеет вид

Покажем, как нахождение приближающей функции в виде геометрической регрессии может быть сведено к нахождению параметров линейной функции.

Предполагая, что в исходной таблице 1 значения аргумента и функции поло-

130

Обозначим A ln a, q ln y, тогда равенство (2) примет вид: q(t) A bt,

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной. Практически для нахождения приближающей функции в виде степенной (при

сделанных выше предположениях) необходимо проделать следующие операции:

2. Показательная зависимость

Показательная зависимость (рис.9) имеет вид:

y f (x,a,k ) aekx . …………………………….(4)

Рис.9 График показательной функции

131

Таким образом, приближающая показательная функция нехитрыми преобра-

зованиями сведена к линейной, следовательно, для определения коэффициентов a и k показательной функции можно воспользоваться выведенными для линейной функции формулами.

Итак, для нахождения приближающей функции в виде (4) нужно прологарифмировать значения функции в исходной таблице 1 и, рассматривая их со-

вместно с исходными значениями аргумента, построить для новой таблицы 3 приближающую функцию.

Таблица 1 Таблица 3

Окончательно получаем:

Замечание. Функциям

соответствуют кривые, сдвинутые вверх или вниз на величину c . Чтобы найти параметры этих формул, следует сначала определить значение c . Иногда вели-

чину c можно легко найти по значению, к которому стремится y при возрастании

132