TViMS

2.3.2. Биномиальное распределение

Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q = 1 – p. Тогда Р(Х = m) – вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Pn (m) Cnm pmqn m , где m = 0, 1, 2, …, n.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону находят по формулам:

M(X)=np, D(X)=npq.

Пример 1. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X), D(X), σ(Х) этой величины.

Решение. Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

Вероятность события А – «выпадение пятерки» в каждом испытании одна

и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда Р( A )=1 – p=q=5/6, где A – «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х = 0) = Р3(0) = С30 р0q3 = 1(1/6)0(5/6)3 = 125/216; Р(Х = 1) = Р3(1) = С31 р1q2 = 3(1/6)1(5/6)2 = 75/216; Р(Х = 2) = Р3(2) = С32 р2q = 3(1/6)2(5/6)1 = 15/216; Р(Х = 3) = Р3(3) = С33 р3q0 = 1(1/6)3(5/6)0 = 1/216.

Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

M(X) = np = 3(1/6) = 1/2,

D(X) = npq = 3(1/6) (5/6) = 5/12,

53

2.3.3. Распределение Пуассона

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р ≤ 0,1), о для вычисления Р(Х = m) используют формулу Пуассона:

m

P( X m) m! e , где m = 0, 1, 2, …n, где λ=np – параметр закона.

Тогда говорят, что случайная величина Х – распределена по закону Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия равны параметру закона

М(Х) = D(X) = .

Пример 1. Станок–автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных; б) хотя бы одна бракованная.

Решение. Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р = 0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому применим закон Пуассона:

m

P( X m) m! e .

Найдем параметр закона: λ = np = 1000 0,002=2.

а) Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

б) Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь. Событие А – «хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является

противоположным событию A «все отобранные детали не бракованные».

Следовательно, Р(А)=1 – Р A . Отсюда искомая вероятность равна:

Пример 2. Для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона

54

1 2,34 0,4 0,06.

Замечание. От свойства закона Пуассона – приближенно заменять биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности наступления события в каждом опыте – происходит его название – закон редких явлений.

3. Законы распределения непрерывных случайных величин

3.1. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей

Можно сформулировать еще одно определение непрерывной случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения всюду непрерывна, а производная функции распределения непрерывна во всех точках за исключением, быть может, конечного числа точек на любом конечном интервале.

Функция распределения непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной случайной величины:

F(x) = P(X < x).

Функцию распределения называют так же интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)0 ≤ F(x) ≤ 1, т.к. F(x) выражает вероятность событий.

2)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно

Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f (x) F (x).

Плотность распределения вероятностей называют так же дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

График функции плотности распределения вероятностей f(x) называет-

ся кривой распределения вероятностей.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1) f(x) ≥ 0,при хR.

55

x

2) f (x)dx F (x). Геометрически функция распределения равна площади

фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.6).

3) P( X ) f (x)dx Sтрап. Геометрически полученная вероятность

равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева прямой х = , справа х=(рис. 7)

4)f (x)dx 1– условие нормировки

Пример 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

8c 1;

с18 .

56

Построим график f(x) (рис.8).

Рис.8

График функции F(х) изображен на рис.9:

57

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти дифференциальную функцию распределения f(х) Решение. Так как f(х)= F’(x), то

3.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Понятие математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X), введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

Математическое ожидание М(Х) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

M ( X ) xf (x)dx ,

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно, а дисперсия D(X) может быть вычислена по формуле

тического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение M 0 ( X ) , при котором плотность распределения (x) имеет максимум,

т. е. (M 0 ( X )) max (рис.10).

58

Пример 1. Дана функция (рис.12)

Рис. 12

Показать, что (x) может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения найдем, что

Найдем дисперсию двукратным интегрированием по частям

60

Найдем математическое ожидание случайной величины X

61