Кравченко. Практикум

1.Характеристику для мгновенных значений (вольт-амперную, вебер-амперную, кулонвольтную) представляют в виде ломаной линии, состоящей из прямолинейных участков.

2.Для каждого из полученных интервалов составляется линейное дифференциальное уравнение, характеризующее режим цепи, и находится его общее решение. Постоянные интегрирования, фигурирующие в решениях для линейных участков, находятся с учетом законов коммутации из условий «сшивки» решений для различных участков аппроксимирующей ломаной линии в точках излома

Наиболее эффективен этот метод тогда, когда характеристика нелинейного элемента аппроксимируется отрезками прямых таким образом, что одна из величин, определяющих режим работы нелинейного элемента, изменяется, а другая остается неизменной.

Еще более эффективна аппроксимация, когда отрезки прямых, моделирующие нелинейную характеристику, совпадают с осями координат

283

Аппроксимация нелинейной характеристики степенным полиномом

u ai bi3

u ai bi3 ci5

Библиографический список к разделу 24

1Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Нету-

шил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 22.6, 25.4, 25.5.

2Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –

М.: Гардарики, 2002. – § 15.12, 15.46–15.50.

28624. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК

Определение постоянной интегрирования С1 и момента времени t1 перехода рабочей точки режима с участка ab на участок bc характеристики

(рис. 24.1).

В точке а (t = 0)

q = q0 =–10–5 Кл.

Соотношение (5) для этого момента времени принимает вид

–10–5 = –10–4 cos(0) + C1,

из которого следует

С1 = 10–4 – 10–5 = 9 10–5 Кл.

В точке b (t = t1)

q = + q0 = 10–5 Кл.

Из соотношения (5) для момента времени t1 (с учетом найденного значе-

ния постоянной интегрирования С1) вытекает

10–5 = –10–4cos ( t1) + 9 10–5.

Полученное тождество позволяет определить временной момент t1 перехода рабочей точки с участка ab на участок bc характеристики (рис. 24.1):

4. Временны´е зависимости q(t), uC(t), i(t) представлены на рис. 24.2.

Задача 24.2

В цепи (рис. 24.3) ток источника электри-

ческой энергии i(t) = 4 sin t, где = 1000 с–1.

Линейное сопротивление r = 5 Ом. Вебер-

амперная характеристика (i) нелинейной ин-

дуктивности аппроксимирована ломаной dcab

(рис. 24.4),

Рис. 24.3 0 = 10–2 Вб; I0 = 2 А.

Рассчитать и построить (t), uL(t), uab(t).

нием

288 24. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ АППРОКСИМАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК

Напряжение на зажимах нелинейной индуктивности в рассматриваемом интервале времени (см. уравнение (2))

uL(t) d dt = 0,02 cos t = 20 cos t В,

а напряжение uab на зажимах источника тока (см. уравнение (1))

uab(t) = i(t)r + uL(t)= 5 4 sin t + 20 cos t = 202 sin ( t + 45º) В.

На участке ab (t1 t T/2) характеристика (i) представляется выраже-

нием = 0 = 10–2 Вб. Следовательно, в рассматриваемом диапазоне времени

Характеристики (t), uL(t), uab(t) представлены на рис. 24.5.

Задача 24.3

На рис. 24.6 изображена схема однополупериодного выпрямителя переменного тока. Напряжение источника

u(t) = 1152 sin t В,

где = 314 с–1; Е0 = 42 В; r = 200 Ом.

Вольт-амперная характеристика вентиля uв(i) представлена на рис. 24.7. Рассчитать и построить ur(t) и uв(t).

289

и, следовательно, i(t) = 0.

Из уравнения (1) для данного момента времени следует, что

uв = –Е0 = – 42 В 0.

Таким образом, первым рабочим участком вольт-амперной характеристики uв(i) нелинейного элемента является участок c0 (рис. 24.7).

На участке c0 (0 t t1) i = 0 и, следовательно, ur = ri = 0. Из (1) вытека-

Точка 0 вольт-амперной характеристики соответствует моменту времени t1 перехода рабочей точки с участка с0 на участок 0а (рис. 24.7). В этой точке

Из уравнения (1) с учетом (3) имеем:

uв(t) = u(t) – Е0 ur(t) = u(t) – Е0 ri(t) = u(t) – Е0 2,5 10–3uв(t)r,

откуда в пределах рассматриваемого временнóго диапазона t1 t t2

Выражение (5) для тока i(t) во временнóм диапазоне t1 t t2 позволяет определить время t2 перехода рабочей точки с участка 0а на участок ab характеристики uв(i) вентиля (рис. 24.7). В точке а, соответствующей моменту времени t2,

В точке а (перехода рабочей точки с участка ab – ba на участок а0), соответствующей моменту времени t3, uв = 40 В. Для этой точки выражение (6) приобретает следующий вид:

uв(t3) = 1152 sin t3 – 62 = 40 (В),

откуда с учетом того, что рассматриваемое время находится в пределах второй