Красюк сборник заданий

УДК 531.01(075.8) К 785

Рецензент:

канд. техн. наук, доц. НГТУ А.А. Рыков; канд. техн. наук, доц. МГУ дизайна и технологии В.Ф. Ермолаев

Красюк А.М.

К 785 Теоретическая механика : сб. заданий: учеб. пособие / А.М. Красюк. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – 92 с.

ISBN 978-5-7782-1318-0

Настоящая работа является руководством к выполнению студентами расчетнографических работ по курсу «Теоретическая механика». Приведены варианты заданий и примеры решения задач по основным разделам курса, необходимые краткие теоретические сведения.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям как машиностроительного, так и технологического профиля.

УДК 531.01(075.8)

Красюк Александр Михайлович

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ

Учебное пособие

Редактор Т.П. Петроченко

Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка В.Ф. Ноздрева

Подписано в печать 08.02.2010. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 200 экз. Уч.-изд. л. 5,34. Печ. л. 5,75. Изд. № 312. Заказ № . Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

2

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика является одной из важнейших физикоматематических дисциплин и играет существенную роль в подготовке инженеров любых специальностей.

В курсе «Теоретическая механика» студенты изучают три ее раздела: статику, кинематику и динамику.

Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах курса, начиная со статики, широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически (построением векторного треугольника или многоугольника) и аналитически (по проекциям на координатные оси) сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведения двух векторов и знать свойства этих произведений, а в кинематике и динамике – дифференцировать векторы. Надо также уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат на плоскости и в пространстве, знать, что такое единичные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов.

Для изучения кинематики необходимо совершенно свободно уметь дифференцировать функции одного переменного, строить графики этих функций, быть знакомым с понятиями о естественном трехграннике, кривизне кривой и радиусе кривизны, знать основы теории кривых 2-го порядка, изучаемой в аналитической геометрии.

Для изучения динамики надо уметь находить интегралы (неопределенные и определенные) от простейших функций, вычислять частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (однородные и неоднородные) с постоянными коэффициентами.

3

При изучении материала курса по учебному пособию нужно, прежде всего, уяснить существо каждого излагаемого там вопроса. Главное – это понять изложенное в книге, а не «заучить».

При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Цель настоящего учебного пособия является формирование у студентов навыков в поиске выбора расчетной модели и методов решения задач. Для этого, изучив теоретический материал темы, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в настоящем пособии.

Предлагаемое пособие включает варианты заданий для выполнения расчетно-графических работ и примеры решений задач. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по повышению навыков в применении теоретических знаний к решению практических задач.

4

1.СТАТИКА

1.1.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Алгоритм (последовательность) решения задач статики:

–выбрать тело (или систему тел), равновесие которого будет рассматриваться;

–показать все активные силы, действующие на рассматриваемое

тело;

–отбросить связи, заменив их действие реакциями связей (реакции показать на расчетной схеме);

–определить, под действием какой системы сил (плоской, про-

странственной либо сходящейся) тело находится в равновесии, является ли задача статически определимой;

–записать условия (уравнения) равновесия тела под действием полученной системы сил;

–решить полученную систему алгебраических уравнений и определить неизвестные силы (реакции связей).

Приступая к решению задач, необходимо ответить на следующие вопросы.

1.Что называется связью и реакцией связи?

2.Направление реакций следующих типов связей: плоский шарнир, подвижный шарнир, нить, невесомый стержень, защемление (заделка), поверхность.

3.Что называется проекцией силы на ось?

4.Что называется моментом силы относительно заданной точки

(центра)?

5.Что такое пара сил и как определить момент пары сил?

6.Что называется равнодействующей?

7.Теорема Вариньона о моменте равнодействующей.

5

8.Теорема о сумме моментов сил пары относительно произвольной точки.

9.Аксиома о взаимодействии тел (3-й закон Ньютона).

10.Условия равновесия тела под действием плоской системы сил.

После усвоения теории необходимо научиться:

–раскладывать силу на составляющие вдоль выбранных направле-

ний;

–находить проекцию силы на ось;

– определять момент силы относительно произвольной точки с помощью теоремы Вариньона, предварительно разложив силы на составляющие.

1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 1

Дано: схема конструкции (рис. 1.1, а):

Определить: реакцию опоры А и реакцию стержня СD.

Рис. 1.1

Решение:

1. Рассмотрим равновесие балки АВ. Покажем все действующие на балку активные силы (рис. 1.1, б): заданную силу G, равнодействующую Q распределенной нагрузки ( Q q 2 0,5 2 1 кH ), усилие Т со

стороны нити и пару сил с моментом М.

6

2.Отбросим связи (неподвижный шарнир А и стержень CD) и заменим их действие соответствующими реакциями связей: RAx , RAy и S.

3.Балка АВ находится в равновесии под действием плоской системы сил. Прежде чем записать условие равновесия тела под действием плоской системы сил, определим усилие Т, действующее на балку со стороны нити. Для этого рассмотрим равновесие блока с грузом Р. Отбросив связи (неподвижный шарнир Е и нить), заменим их действие

реакциями связей (Ex, Ey и Т) и покажем активную силу Р (рис. 1.1, в). Записав одно условие равновесия получившейся плоской системы

сил mE (Fi ) 0 , убеждаемся, что Т = Р, так как Тr – Pr = 0, где r –

радиус блока. Следовательно, на балку АВ со стороны нити действует такая же, но противоположно направленная сила Т = Р= 5 кН.

4. Запишем три условия равновесия плоской системы сил, действующих на балку АВ (рис. 1.1, б):

Для определения момента силы S относительно точки A ее разложили на составляющие Sx S cos , Sy S sin и воспользовались

теоремой Вариньона о моменте равнодействующей.

5. Получившуюся систему алгебраических уравнений решим относительно неизвестных реакций связи. Перепишем уравнение (1.3) в виде

Q 3l G S cos 1,5l S sin 4l M 6l T 0

и найдем из него S:

Из уравнения (1.1) найдем RAx :

RAx S cos 2,14cos 60 1,07 кН ,

7

а из уравнения (1.2) – RAy :

RAy Q G S sin T 1 10 2,14sin 60 5 4,15 кН .

Все неизвестные реакции имеют положительный знак, их направления верно показаны на рис. 1.1, б.

Проверка.

Для проверки правильности решения вычислим сумму моментов всех сил рассмотренной системы относительно точки B:

mB Fi RAx 1,5l RAy 6l Q 5l G 3l S sin 2l M

1,07 1,5 4,15 6 1 5 10 3 2,14sin 60 2 8 0,0016 0, (1.4)

RAx 1,07 кН , RAy 4,15 кН , S 2,14 кН .

При правильном решении задачи эта сумма должна быть равна нулю. Из-за погрешностей округлений (округление при расчетах следует производить до третьей значащей цифры) эта сумма может несколько отличаться от нуля, но не должна превышать 1 % от наибольшего слагаемого уравнения (1.4).

Новый центр (в рассматриваемом случае точку В) следует выбирать так, чтобы момент каждой из искомых реактивных сил относительно этой точки не был равен нулю, т. е. новая точка не должна лежать на линии действия искомой силы.

1.3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР СИСТЕМЫ ТЕЛ

Задача 2

Дано: схема конструкции (рис. 1.2 а);

М 4 кН м, Р 0,5 кН м, 30 .

Размеры на рисунке указаны в метрах.

Определить: реакции в опорах А, С и усилие во внутреннем шарнире В.

8

Решение.

1.Рассмотрим равновесие всей конструкции АВС (составную конструкцию согласно принципу отвердевания можно рассматривать как одно твердое тело).

2.Покажем все действующие на конструкцию активные силы (рис. 1.2, б): заданную силу Р и пару сил с момента М.

3.Отбросим связи – заделку в точке А и подвижный шарнир С

(шарнир В при рассмотрении равновесия всей конструкции не является связью) – и заменим их действие соответствующими реакциями:

RAx , RAy , M A , RC .

4. Запишем условия равновесия получившейся плоской системы сил:

Получилась система трех линейных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных.

5.Для составления дополнительных уравнений и нахождения силы давления в шарнире В рассмотрим равновесие балки ВС.

6.Покажем (рис. 1.2, в) все действующие на балку ВС активные

силы (силу Р) и реакции связи: RBx , RBy и RC (для балки ВС связями являются неподвижный шарнир В и подвижный шарнир С).

Рис. 1.2

9

7. Запишем условия равновесия получившейся системы сил:

Решая систему шести линейных алгебраических уравнений (1.5) – (1.10), найдем шесть неизвестных реакций.

Из уравнения (1.10):

Из уравнений (1.8) и (1.9):

RBx RC sin P 0, 25sin 30 0,5 0,375 кН,

RBy RC cos 0, 25cos 30 0, 217 кН.

Из уравнения (1.7):

M A M RCy cos 3 RC sin 4 P 2,5 4 0, 25cos 30 3

0, 25sin 30 4 0,5 2,5 2,60 кН м.

Проверка.

Чтобы удостовериться в правильности полученного решения, проверим выполнение условия равновесия системы сил (рис. 1.2, б) в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно нового центра – точки K:

mК Fi M A M RAy 2 RAx 2 RC sin 2 RC cos 1 P 0,5

2,6 4 0, 217 2 0,375 2 0, 25sin 30 2

0, 25cos 30 1 0,5 0,5 0,01 0;

10