Кравченко. Практикум
.pdf252 |
|
21. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21.7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uн |
В |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
I1 |
А |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,68 |
0,86 |
0,96 |
1,0 |
1,0 |
|
|
I2 |
А |
0 |
1,12 |
1,41 |
1,81 |
2,14 |
2,44 |
2,72 |
– |
|
Определить токи в цепи двумя способами: а) графическим методом;
б) посредством замены НЭ эквивалентными линейными схемами замеще-
ния.
Ответ: I1 = 0,95 А; I2 = 2,04 А; I3 = 1,1 А.
22.МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
Основные сведения
Основные величины и зависимости, характеризующие магнитные цепи
Магнитная индукция B; [B] Âá |
Òë |
В = μ0μrH; |
|
|
||||||
|
|
ì 2 |
|
|
|
|
–7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ0 = 4π·10 (Гн/м) – магнитная прони- |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Напряженность магнитная Н; [H] |
А |
цаемость вакуума; |
|
|||||||
μr – относительная магнитная проницае- |
||||||||||
|
|
|
м |
|||||||
|
|
|
|
|
мость |
|
|
|
|
|
Магнитный поток ; |
[Ф] = В с Вб |
Ф = ВS (если В = const в сечении S) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Магнитное сопротивление Rм; [R ] 1 |
R |
l |
|
|
|
|||||
S |
|
|
||||||||
|
|
ì |
Ãí |
|
м |
|
|
|||
Магнитодвижущая сила F; |
[F] A |
|
|
F =IW (W – число витков) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Магнитное напряжение Uм; |
[Uм] A |
Uм Hl |
|
|
||||||
Основные законы, характеризующие магнитные цепи |
|
|||||||||
Закон Ома |
|
|
|
|
|
|
Uм ФRм |
|
||
Первый закон Кирхгофа (принцип непре- |
|
|
|
Фk 0 |
|
|||||
рывности магнитных силовых линий) |
|
|
|
|
k |
|
||||
Второй закон Кирхгофа (закон полного тока) |
|
Hklk Fk |
или Фk Rмk |
Fk |
||||||
|
|
|
|
|
k |
|
k |
k |
k |
|
Формальная аналогия между |
электрической и магнитной цепями |
|
||||||||
Электрическая цепь |
|
|
|
|
Магнитная цепь |
|
||||
I |
[A] |
|
|
|
|
|
|
Ф [Вб] |
|
|
R [Ом] |
|
|
|
|
|
Rм [Гн–1] |
|
|||
U [B] |
|
|
|
|
|
|
Uм [A] |
|
||
E [B] |
|
|
|
|
|
|
F [A] |
|
||
Ik 0 |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|||
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
Uk Ek |
|
|
|
|
Uì k Fk |
|
||||
k |
k |
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
254 |
22. МАГНИНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ |
Ввиду наличия формальной аналогии между электрическими и магнитными цепями расчет магнитной цепи постоянного тока принципиально ничем не отличается от расчета нелинейной электрической цепи постоянного тока.
При расчете магнитных цепей принимают следующие допущения.
При прохождении магнитного потока через магнитопровод не происходит его утечки
вокружающую среду (поток рассеяния равен нулю).
Поток распределен равномерно по всему сечению магнитопровода.
На всех участках магнитной цепи с одинаковым сечением и материалом Н = const.
Расчет неразветвленных магнитных цепей
Прямая задача |
|
Обратная задача |
||
По заданной |
конфигура- |
В основе расчета лежит метод последовательного |
||
ции магнитопровода и прохо- |
приближения, реализуемый посредством решения сово- |
|||
дящему по |
нему магнитному |
купности |
прямых задач. Последовательно задаваясь зна- |
|
потоку Ф (или В) определяют |
чениями |
магнитного потока, решаются прямые задачи, |
||
намагничивающий ток I (или |
т. е. для каждого определяют F . Найденные значения |
|||
F). Прямые задачи решаются на |
МДС сравниваются с их заданным значением, и при не- |
|||
основании |
законов |
Кирхгофа |
совпадении расчет повторяется. Для ускорения расчета ре- |
|
для магнитной цепи |
|
комендуется по значениям нескольких приближений по- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
строить зависимость F ( ) и далее по заданному |
|
|
|
|
значению F определить истинное значение магнитного по- |
|
|
|
|
тока Ф |
|
Расчет разветвленных магнитных цепей
Расчет разветвленной магнитной цепи может быть осуществлен численно (итерационным методом), графически с использованием аналогии между электрическими и магнитными цепями, а также с помощью программы MathCad.
Графический расчет обратной задачи основан на использовании вебер-амперных характеристик и методах решения нелинейных электрических цепей постоянного тока. При этом каждый участок магнитной цепи постоянного сечения заменяется сосредоточенным магнитным сопротивлением. Прежде чем рассчитывать полученную схему, нужно построить вебер-
амперные характеристики (Ф(F) или Ф(Uм)) для всех элементов. Эти характеристики получают перестроением заданной кривой намагничивания В(Н) с учетом размеров магнитопровода
Библиографический список к разделу 22
1Зевеке Г.В. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, Л.В. Нету-
шил, С.В. Страхов. – М.: Энергия, 1989. – § 24.1–24.6.
2Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов. –
М.: Гардарики, 2002. – § 14.2–14.19, 14.21–14.23.
|
|
|
|
|
255 |
|
|
|
ПРИМЕРЫ |
|
|
|
|
Задача 22.1 |
|
|
|
|
|
|
В воздушном зазоре электромагнита (рис. 22.1), |
l1,S1 |
l3,S3 |
|
|||
сердечник которого выполнен из стали 2411, требу- |
|
|
I |
|||
ется обеспечить индукцию В |
= 0,4 Тл. Сердечник |
|
l2,S2 |
|||
|
l |
W |
||||
имеет размеры: l1 = 30 см; l2 = 15 см; l3 = 30 см; l = |
|
|||||
Ф1 |
Ф2 |
|||||
|
||||||
2 |
|
2 |
|
|
Ф3 |
|
0,1 мм; S1 = S3 = 4 см |
; S2 = S = 6 см . |
|
|
|
||
Кривая намагничивания стали задана табл. 22.1. |
|
Рис. 22.1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
Таблица 22.1 |
|
|||
В |
Тл |
0 |
0,67 |
0,9 |
1,05 |
1,14 |
1,42 |
1,53 |
Н |
А/м |
0 |
100 |
150 |
240 |
400 |
1200 |
2220 |
Определить ток в обмотке с числом витков W = 200, обеспечивающий требуемую индукцию в зазоре.
Решение
Данная задача, относящаяся к разряду «прямых задач», решается посредством расчета системы уравнений на основании законов Кирхгофа для магнитной цепи:
Ф1 + Ф2 – Ф3 = 0, |
(1) |
H1l1 – H2l2 – H l = 0, |
(2) |
H1l1 + H3l3 = IW. |
(3) |
1. В пренебрежении магнитными потоками рассеяния и выпучиванием потока в немагнитном зазоре
В2 = В = 0,4 Тл.
2. По кривой намагничивания (см. табл. 22.1) для В2 = 0,4 Тл
Н2 = 50 А/м.
3. Из уравнения (2) с учетом того, что
H |
B |
|
0,4 |
3,18 10 |
5 |
А/м, |
0 |
4 10 7 |
|
||||
|
|
|
|
|
256 22. МАГНИНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
следует
|
|
|
H |
l |
H |
2 |
l |
2 |
|
3,18 105 0,1 10 3 50 15 10 2 |
|
H |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
131 А/м. |
||
|
|
l1 |
|
|
|
30 10 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. По кривой намагничивания стали (см. табл. 22.1) для
Н1 = 131 А/м В1 = 0,8 Тл. 5. Магнитный поток в первом сердечнике
Ф1 = В1S1 = 0,8 4 10–4 = 3,2 10–4 Вб. 6. Магнитный поток во втором сердечнике
Ф2 = В2S2 = 0,4 6 10–4 = 2,4 10–4 Вб.
7. Как следует из уравнения (1),
Ф3 = Ф1 + Ф2 = 3,2 10–4 + 2,4 10–4 = 5,6 10–4 Вб. 8. Индукция магнитного потока в третьем сердечнике
3 5,6 10 4
B3 S3 4 10 4 1,4Тл.
9. По кривой намагничивания стали (см. табл. 22.1) для В3 = 1,4 Тл Н3 = 1000 А/м.
10. Из уравнения (3) следует
|
H l H l |
131 30 10 2 1000 30 10 2 |
|||
I |
11 |
3 3 |
|
|
1,7 A. |
|
|
200 |
|||
|
|
W |
|
||
Ответ: I = 1,7 A.
Задача 22.2
В магнитной цепи (рис. 22.2) сердечник, выполненный из стали 2411 (см. задачу 22.1), имеет размеры:
l1 = l2 = 0,52 м; l3 = 0,178 м; l = 0,002 м; S1 = S2 = S3 = S = 6 10–3 м2;
W1 = W2 = 500 витков; I1 = 2 A; I2 = 1 A.
Определить магнитные потоки Ф1, Ф2 и Ф3 в сердечниках магнитопровода.
257
Решение
Расчет магнитной цепи удобно проводить по схеме замещения, представленной на рис. 22.3 (направления МДС определены по правилу правоходового винта, положительные направления магнитных потоков выбраны произвольно).
|
|
l1,S1 |
l2,S2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Ф1 |
Ф2 |
Rм2 |
|
I1 |
l3,S3 |
I2 |
Rм1 |
Rм3 |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
l |
|
|
Uм |
1 |
|
F |
|
W1 |
|
F |
2 |
|
|
|
2 |
F1 |
Rм |
|
|||
1 |
|
Ф3 |
W |
F2 |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
Ф1 |
|
Ф2 |
|
Ф3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Рис. 22.2 |
|
|
Рис. 22.3 |
|
|
I вариант расчета (графическое решение системы нелинейных уравнений, составленных для магнитной цепи по законам Кирхгофа).
По первому закону Кирхгофа для узла 1 (рис. 22.3)
Ф1 + Ф2 = Ф3. |
(1) |
Для графического решения уравнения (1) необходимо иметь зависимости всех трех потоков в функции одной переменной. Этой общей для всех магнитных потоков в данной цепи переменной является магнитное напряжение между узлами 1 и 2. Таким образом, нелинейное уравнение (1) может быть графически разрешено, если его представить в виде
Ф1(Uм12) +Ф2(Uм12) = Ф3(Uм12). |
(2) |
Зависимости Ф1(Uм12), Ф2(Uм12) и Ф3(Uм12) могут быть построены на основании уравнений по второму закону Кирхгофа для схемы (рис. 22.3):
Uм12(Ф1) = I1W1 – Uм1 (Ф1); |
(3) |
Uм12(Ф2) = I2W2 – Uм2 (Ф2); |
(4) |
Uм12(Ф3) = Uм3(Ф3) + U (Ф3). |
(5) |
Порядок построения вебер-амперных характеристик (3)–(5) по данным кривой намагничивания электротехнической стали 2411 (см. табл. 22.1) приведен в табл. 22.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
259 |
Зависимости Ф1(Uм12), Ф2(Uм12) и Ф3(Uм12), построенные по результатам |
||||||||||
табл. 22.2, представлены на рис. 22.4. |
|
|
|
|
|
|
||||
Ф |
мВб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5 |
Ф1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
Ф3 |
|
|
m3 |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
1 2 |
|
Ф3 Uм12 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uм12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|
||
|
0 |
25 |
50 |
75 |
100 |
|
150 |
A |
||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2,5 |
Ф2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
m2 |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 Uм12 |
|
|
|
7,5 |
|
|
|
Ф2(Uм12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 22.4 |
|
|
|
|
|
|
Посредством суммирования ординат зависимостей Ф1(Uм12) и Ф2(Uм12), |
||||||||||
соответствующих одному и тому же значению магнитного напряжения Uм12, |
||||||||||
строится вебер-амперная характеристика |
|
|
|
|
|
|
||||
(Ф1 + Ф2) = f(Uм12).
Точка m3 пересечения характеристики (Ф1 + Ф2) = f(Uм12) с кривой Ф3(Uм12), в которой удовлетворяется уравнение (2), определяет магнитное на-
пряжение Uм12 и магнитный поток Ф3 = 2,25 мВб. Ординаты точек m1 и m2
пересечения прямой (m1 – m3) с кривыми Ф1(Uм12) и Ф2(Uм12) дают соответст-
венно магнитные потоки Ф1 = 7,75 мВб и Ф2 = –5,5 мВб.
Ответ: Ф1 = 7,75 мВб; Ф2 = –5,5 мВб; Ф3 = 2,25 мВб.
260 22. МАГНИНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
II вариант расчета (метод последовательных приближений)
В качестве критерия сходимости итерационного процесса выбирается ка-
кая-либо из заданных МДС (например, F1 = I1W1 = 1000 А). Выбирается произвольное значение (первое приближение) магнитной индукции в каком-либо из сердечников магнитопровода (например, B3 = 0,4 Тл). Решается система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа для рассматриваемой магнитной цепи:
Ф1 + Ф2 – Ф3 = 0; |
(6) |
H3l3 + H l + H2l2 = I2W2; |
(7) |
H1l1 + H3l3 + H l = I1W1, |
(8) |
и по выбранному значению индукции определяется значение МДС, рассмат-
риваемой в качестве критериальной (например, F1). Расчет проводится в следующем порядке:
по кривой намагничивания стали 2411 (см. табл. 22.1) для выбранного
значения B3= 0,4 Тл |
определяется соответствующее значение магнитной на- |
пряженности первого |
приближения в третьем сердечнике магнитной цепи: |
H3 = 59,7 А/м;
с учетом того, что B = B3, находится первое приближение магнитной
напряженности в немагнитном зазоре:
|
|
|
0,4 |
|
5 |
|
B |
|
|
|
|||
H |
|
|
|
3,185 10 |
|
А/м; |
0 |
4 10 7 |
|
||||
|
|
|
|
|
определяется магнитный поток первого приближения в третьей ветви магнитной цепи: Ф3 B3S3= 0,4 6 10–3 = 2,4 мВб;
из уравнения (7) находится магнитная напряженность H2 первого при-
ближения во втором сердечнике магнитопровода:
|
|
I |
|
H |
|
5 |
0,002 |
|
|
H2 |
|
2W2 H3l3 |
l |
|
500 59,7 0,178 3,185 10 |
|
|||
|
l2 |
|
|
0,52 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= –283,9 А/м;
261
по кривой намагничивания стали 2411 для найденного значения H2 оп-
ределяется величина индукции первого приближения во втором сердечнике магнитопровода: B2 = –1,0735 Тл;
рассчитывается величина магнитного потока первого приближения во втором сердечнике:
Ф2 B2S2 = –1,0735 6 10–3 = –6,44 мВб;
из уравнения (6) определяется магнитный поток первого приближения в первом сердечнике:
Ф1 Ф3 Ф2 = 2,4 – (– 6,44) = 8,84 мВб;
находится значение магнитной индукции первого приближения в первом сердечнике:
B1 1 8,84 103 3 1,473Тл;
S1 6 10
соответственно найденному значению индукции B1 по кривой намаг-
ничивания (см. таблицу 22.1) определяется первое приближение магнитной напряженности в первом сердечнике: H1= 1697 А/м;
из уравнения (8) рассчитывается первое приближение критериальной величины:
I1W1 H1l1 H3l3 H l =
=1697 0,52 + 59,7 0,178 + 3,185 105 0,002 = 1529 А.
Рассчитанное значение критериальной величины сравнивается с заданным значением этой функции (I1W1 = 1000 A), и при несовпадении результатов повторяется расчет системы уравнений (6)–(8) при новом значении (второе при-
ближение) индукции (например, B3 = 0,3 Тл). Полученное значение второго приближения критериальной величины (например, F1 ) вновь сравнивается с