практикум часть 1

Может возникнуть необходимость определить значения функции или аргумента, выходящиезапределыпостроенногографика.

Нарис.2продолжениелинииграфикапоказанопунктиром.

Используяэтопродолжение,находящееся за пределамитого,чтонайденонаопыте, можемнайти,чтопри10°Сводабудетиметьобъем1,000275см3.

Этотспособграфическогоопределениявеличинназывается экстраполяцией. Несомненно, определение величин методом экстраполяции возможно только тогда,

когда нет причин сомневаться в сохранении на участке экстраполяции той же зависимостимеждуфункциейиаргументом,какаясуществуетнаосновнойчастиграфика.

Для раскрытия содержания каждый график должен иметь смысловую подпись.

1.19. Литература раздела

1.Горский Ф.А., Сакевич Н.М. Физический практикум. Издание 2- переработанное и доп. Минск: «Вышэиш. Школа»,1969.—304 с..

2.Головчанский Е.М., Грубник Е.М., Стряпченко В.С. Физика. Сборник лабораторных работ. – 2-е изд. перераб. и доп. Смоленск: СФ АНО ВПО ЦС РФ

"РУК", 2009. – 115 с..

3.Булкин П.С., Попова И.И. Общий физический практикум. Молекулярная физика: Учебное пособие, -М.: Издательство Московск. Университет,1988.—215

с..

4.Адамов П.Г. Основы теории вероятностей, математической статистики и информатики.- Смоленск: 2007, 87с.

5. Антонов В.Ф., Черныш А.М., Козлова Е.К., Коржуев А.В. Физика и биофизика. Практикум: Учебное пособие.— М.,: ГЭОТАР - Медиа, 2008.—336с.: ил.

21

6.Плотность вероятности. Напишите формулу плотности вероятности, нарисуйте график плотности в зависимости от величины среднеквадратичного отклонения, сделайте пояснения.

7.Приведите формулу функции нормального распределения случайной величины и сделайте пояснения.

8.Что такое нормальный закон распределения случайных величин? (Ответ поясните графиком и примерами)

9.Что такое точечная оценка распределения? (Определение). Приведите формулы числовых характеристик выборочной совокупности.

10.Какова надежность полученного результата, если расчетное значение критерия Стьюдента tpac.=2.3 при объеме выборки n=20? Что нужно сделать для того, чтобы повысить надежность результата?

11.Что такое интервальная оценка распределения? Когда применяется интервальная оценка? Доверительный интервал. (Определение, формула)

12.Приведите числовые характеристики выборочной совокупности. (Формулы, сделайте пояснения).

13.Что такое выборка? Основные требования к выборке, способы отбора. (Сделайте пояснения)

14.Что такое доверительная вероятность? Как с заданной надежностью оценить значение генеральной средней по показателям выборки? (Приведите формулы и сделайте пояснения).

15.Что такое распределение Стьюдента? Приведите формулы для расчета выборочной средней и среднеквадратического отклонения, сделайте пояснения.

16.Функция распределения. Основные свойства функции. Графическое изображение функции распределения.

17.Что такое гистограмма? Каковы правила ее построения?

18.Коэффициент Стьюдента. (Определение, формула). Зависимость коэффициента Стьюдента от надежности и объема выборки.

2.1.4. Теоретическое введение

Для анализа статистических характеристик некоторой генеральной совокупности, мы пользуемся, как правило, информацией о выборке. Когда врач хочет получить представление о составе и состоянии крови пациента, он проводит анализ небольшой выборки крови. Любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Работники здравоохранения постоянно имеют дело с информацией, базирующейся на ограниченных выборках. Поэтому они должны хорошо представлять себе границы надежности анализа информации на основе выборочных данных.

В биологической и медицинской статистике часто приходится исследовать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может

23

быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес новорожденного ребенка, период колебаний маятника и т.д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или о ее важнейших характеристиках, нет необходимости обследовать каждый объект данной обширной (генеральной) совокупности, а можно обследовать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения.

Статистическая совокупность представляет собой множество объектов, однородных относительно признака, характеризующего эти объекты.

Генеральной совокупностью называется совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть охарактеризованы некоторой величиной X. Теоретически это бесконечно большая или приближающаяся к бесконечности совокупность. Число объектов генеральной совокупности называют ее объемом и обозначают N.

Выборочной совокупностью или выборкой называется множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Число объектов

выборки называют ее объемом и обозначают n.

Для того чтобы свойства выборки достаточно хорошо отражали свойства генеральной совокупности, выборка должна быть осуществлена случайно, то есть все объекты должны иметь одинаковую вероятность попасть в выборку.

Поскольку на практике приходится иметь дело с ограниченным количеством экспериментальных данных, то результаты наблюдений и их обработки содержат больший или меньший элемент случайности.

Характеристики статистического распределения выборки применяются для оценки неизвестных параметров теоретического распределения вероятностей.

Различают точечные оценки случайной величины (одним числом) и интервальные (оценивание параметра совокупности в виде интервала).

Введем некоторые понятия.

Генеральная средняя равна математическому ожиданию случайной величины:

(2)

Выборочная средняя в — среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности X1 X2, ..., Хn .

Генеральная средняя г — среднее арифметическое значение признака X1, Х2, ..., Хn генеральной совокупности.

Выборочная средняя Хв — среднее арифметическое значение признака вы-

24

борочной совокупности X1 X2, ..., Хn, то есть

Генеральная средняя Хг — среднее арифметическое значение признака X1,

Х2, ..., Хn генеральной совокупности, т.е. Генеральная дисперсия:

(3)

Выборочная дисперсия:

(4)

Точечные оценки. За оценку неизвестного значения μ измеряемой величи-

ны принимается выборочная средняя:

(5)

За оценку генеральной дисперсии D принимается (при малом обьеме вы-

борки n<30 n берется как число степеней свободы (n-1)) значение исправленной выборочной дисперсии σ2в:

D(x)В 2в n11 n (Xi Xв)2

i 1 (6)

Интервальная оценка математического ожидания (доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распределенной по нор-

мальному закону, при неизвестном σ).

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение, причем не-

известны μ и σ.

В ряде задач требуется не только найти для параметра μ подходящее чис-

ленное значение, но и оценить его точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра μ его точечной оценкой Хв, и с какой степе-

нью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пре-

делы.

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, ко-

гда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена мо-

жет привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности в математической ста-

25

тистике пользуются так называемыми доверительным интервалом и доверитель-

ной вероятностью.

Разные выборки дадут разные оценки. Пусть для параметра μ получена из некоторого опыта точечная оценка Хв. При этом, заменяя μ на Хв, мы совершаем

некоторую ошибку.

В теории математической статистики показывается, что с заданной вероятностью γ неизвестное значение μ случайной величины попадает в определенный интервал:

или

Вероятность γ принято называть доверительной вероятностью. С такой вероятностью мы «доверяем» результату. Величина γ выбирается самим исследователем самостоятельно, например, γ = 0,95; 0,99 и т.п.

Иногда говорят, что с заданной вероятностью, а доверительный интервал накрывает точку μ.

Величина Х — полуширина доверительного интервала. Точки Хв+ Х и Хв — Х — границы доверительного интервала.

Величины Хв и Х вычисляются на основе экспериментальных данных. Допустим, случайная величина подчиняется нормальному закону распре-

деления.

В эксперименте получены ее значения: X1, X2, ... Хn.

Если объем выборки невелик, (n < 30), то полуширина доверительного интервала для оценки неизвестного математического ожидания в этом случае вычисляется по формуле:

(7)

где tγ n — коэффициент Стьюдента, значение которого зависит от доверительной вероятности γ и от объема выборки n. Его значения приведены в специальной таблице (приложение).

Тогда доверительный интервал для μможно представить как:

(8)

Таким образом, математическое ожидание μ находится в доверительном интервале:

26

с заданной доверительной вероятностью γ.

(9)

Чем выше мы задаем вероятность γ, тем шире становится доверительный интервал. И, наоборот, чем меньше γ, тем уже интервал.

При увеличении объема выборки ширина интервала уменьшается.

Построение гистограммы в медицинских исследованиях

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Значительное число случайных явлений, встречающихся в природе, может быть описано с помощью нормального закона распределения (закона Гаусса).

График функции (х) нормально распределенной случайной величины пред-

ставляет собой колоколообразную кривую (рис.3,4), симметричную относительно оси, проходящей через точку х = μ параллельно ординате. Максимальное значение кривая достигает в точке х= μ .

Функция имеет точки перегиба при х = μ ± σ, ось абсцисс служит для нее асимптотойпри х .

Если изменить значение μ, а σ оставить постоянным, то кривая будет перемещаться вдоль оси ОХ (рис. 3), сохраняя свою форму.

Если изменить σ — среднее квадратическое отклонение, a μ оставить неизменным, то изменяется форма кривой (рис.4). Параметр σ характеризует форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеяния всех значе-

ний случайной величины относительно ее математического ожидания. При увеличении σ максимальная ордината уменьшается. Так как площадь под кри-

27

вой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличе-

нии, α кривая становится более плоской (пологой). Наоборот, при уменьше-

нии, σ кривая распределения вытягивается вверх.

Вероятность попадания случайной величины А в интервал значений х,

заключенный между числами х1 и х2, определяется формулой:

(12)

т. е. это площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией f(х), снизу — осью х, слева и справа — ординатами, проходящими через точки х1, и х2.

отрезка [х,, х

тогда,

то есть площадь под всей кривой (х) должна оставаться постоянной и равной 1.

Рис.3. Зависимость формы распределения от μ

Рис. 4. Зависимость формы распределения от σ

28