практикум часть 1

Относительная погрешность безразмерна, ее часто выражают в процентах. Погрешность измерений зависит от многих факторов проведения эксперимента. Погрешности классифицируют следующим образом: грубые (промахи),

систематические и случайные.

Грубые погрешности (промахи) обусловлены низкой организацией проведения эксперимента (неправильный отсчёт или временная неисправность измерительного прибора, кратковременное воздействие внешних раздражителей и т.д.). При обработке результатов измерений они выявляются и отбрасываются.

Систематические погрешности порождаются как несовершенством измерительных приборов, так и недостатками методики измерений (смещение нуля прибора и т.д.). Они всегда приводят к отклонению результата измерения хi в одну и ту же сторону от истинного значения x0. Эти погрешности устраняются путем тщательной проверки приборов и углубленной проработки методики измерений. К неустраняемым систематическим погрешностям относятся инструментальные погрешности xn, зависящие от свойств измерительного инструмента. Оцениваются они предельным значением по классу точности измерительных приборов (для обычной линейки xn =0,5 мм и т.д.).

При неоднократном измерении одной и той же физической величины, одним и тем же прибором, по одной и той же методике, результаты каждого измерения отличаются друг от друга. Причиной этому является случайная погрешность серии измерений xn. Случайные погрешности обусловлены множеством разнообразных неконтролируемых факторов, и, как правило, дают отклонение результата измерения xi в обе стороны от истинного значения x0. При большом числе измерений случайные погрешности наиболее часто подчиняются нормальному закону распределения случайных погрешностей. При обработке результатов физических измерений ставятся две основные задачи:

1)Нахождение числа, наилучшим образом отражающего истинное значение физической величины;

2)Определение погрешности и вероятности, с которой она установлена (вероятность Р некоторого события в математическом понимании определяется отношением числа благоприятствующих случаев к числу возможных случаев в данной серии опытов).

1.10. Закон нормального распределения

Предположим, что в одних и тех же условиях проведена серия (выборка) большого числа измерений некоторой физической величины, истинное значение

которой х0. В результате эксперимента получен набор значений x1,x2,...,xi,...,xn, каждое из которых отличается в большую или меньшую сторону от истинного значения х0 измеряемой физической величины.

Считаем, что случайные погрешности измерений в данном случае подчи-

11

няются закону нормального распределения (закону Гаусса), который описывается функцией Гаусса:

грешностью отдельного измерения. Поэтому функция (3) представляет фактически функцию плотности распределения вероятности случайных погрешностей измеряемой величины. В формуле (3)

мерений в данной серии опытов.

Кривая нормального распределения симметрична, положение ее максимума для данной серии измерений соответствует x , а расстояние между точками перегиба равно 2 (рис.1).

характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. Чем уже Гауссова кривая, тем точнее проведен эксперимент

( '). В теории погрешностей доказывается, что среднее арифметическоеx наилучшим образом отражает истинное значение искомой величины x0 .

Тогда можно принять x =x0. При этом погрешность каждого измерения из серии по аналогии с формулой (1) будет равна

закону распределения с дисперсией D= 2/n. При этом среднее квадратичное отклонение среднего результата серии измерений определяется по формуле:

12

n

x xi 2

1.11. Случайная погрешность. Надежность и доверительный интервал

Вероятность того, что истинное значение x0 измеряемой величины находится в интервале x xc , x xc , называется надежностью или доверительной вероятностью. Здесь xc - случайная погрешность серии измерений (рис.1). Надежность определяется так:

(8)

т.е. равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (рис.1.). Площадь под всей кривой нормального распределения равна единице, т.е.

надежность или вероятность того, что истинное значение Х0 лежит в интервале от 0 до равна единице, (γ=1). Это достоверное событие.

Интервал x xc , x xc называется доверительным. Чем больше он, тем выше надежность, тем больше вероятность того, что истинное значение Х0 попадает в этот интервал. Следовательно, случайная погрешность и надежность взаимно связаны между собой.

В математической статистике доказывается, что при нормальном распределении, если надежность γ = 0,683, то истинное значение измеряемой величины находится в доверительном интервале x , x . Если же γ = 0,954, то в доверительном интервале x 2 , x 2 , а если γ = 0,994, то в интервалеx 3 , x 3 . Таким образом, в первом случае случайная погрешность xc =, во втором - xc = 2 , а в третьем - xc = 3 .

1.12.Распределение Стьюдента. Коэффициент Стьюдента

ислучайная погрешность

При проведении эксперимента с малым числом измерений (малая выборка) закон распределения среднего значения отличается от нормального и представляет собой так называемое распределение Стьюдента. Сравнение распределения Гаусса и распределения Стьюдента показывает, что при числе измерений n 20 оба распределения практически совпадают. При n=10 среднее квадратичное отклонение (СКО) s x результата серии измерений отличается от s x , вычисленного по формуле (7), примерно на 13%, а при n=5 – приблизительно на 40%. Если же n<5, то различие будет намного больше.

При выполнении лабораторных работ число измерений является, как правило, небольшим. Принимая, что 5 n 20, среднее квадратичное отклонение сред-

13

него s x можно определять по формуле (7). Из распределения Стьюдента вытекает, что случайная погрешность серии измерений будет равна

где t γ n - коэффициент Стьюдента, являющийся функцией заданной

надежности γ и числа измерений n (определяется по таблицам Стьюдента

смотри приложение), s x - среднее квадратичное отклонение среднего результата серии измерений, определяется по формуле (7).

Измерительные приборы вносят в полную погрешность приборную по-

грешность xi , которую легко определить, исходя из класса точности прибора.

Если класс точности прибора неизвестен, то за приборную погрешность принимают половину цены деления шкалы.

1.13. Действия над приближенными числами

Все вычисления в физике проводят с приближенными числами, в силу чего необходимо уметь производить приближенные вычисления.

Все цифры в десятичном изображении числа (кроме нулей, стоящих в начале числа) называются значащими.

Например, в числе 0,01020 четыре значащих цифры, в числе 120,01 – пять значащих цифр.

При округлении последняя сохраняемая цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая меньше 5 и последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если старшая отбрасываемая цифра больше или равна 5. Если после округления окажется, что последняя сохраняемая цифра нуль, то его также следует записывать. Например, число 1,0197 округляют до тысячных долей, по-

лучая 1,020.

На практике обычно используется стандартная форма записи чисел. Число представляют в виде числа с одной значащей цифрой перед запятой, умноженное на 10 в соответствующей степени. Например, 5,2 1011 или 2,3 10-6 и т.д.

Арифметические действия над приближенными числами производят с соблюдением следующих правил:

1.При сложении и вычитании окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех младших разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из исходных данных:

27,8+1,324+0,66=29,8.

2.При умножении и делении сохраняют столько значащих цифр в ответе, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр:

56 ,9 : 2,412 56 ,9 : 2,41 23 ,6.

3. При возведении в степень и извлечении корня сохраняют в результате

14

столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени или подкоренном выражении:

1,32 2 1,74 ,

5,12 1,72 .

4. При логарифмировании в результате вычисления оставляют в мантиссе столько значащих цифр, сколько имеется их в логарифмируемом числе (при лю-

1.14. Округление погрешности измерений и среднего арифметического измеряемой величины

Абсолютная погрешность x измерений обычно округляется до одной значащей цифры. После этого среднее арифметическое <x> измеряемой величины приводят в соответствие с погрешностью x, т.е. значение <x> округляют, оставляя значащие цифры в том младшем десятичном разряде, который соответствует разряду погрешности Х. Например, при измерении длины получилиx=5,27 мм, <x> =149,12 мм, округляя погрешность до одной значащей цифры, следует принять x=5 мм, <x> =149 мм. Окончательный результат записывают так: x = <x> x.

1.15. Обработка результатов прямых измерений

Обработку результатов серии прямых измерений после выполнения соответствующих лабораторных работ лучше проводить, придерживаясь следующей схемы:

Вычисляют среднее арифметическое <x> данной серии измерений по формуле (4).

Находят погрешности отдельных измерений xi по формуле

Определяют среднее квадратичное отклонение среднего S x результата серии измерений по формуле (7).

Задают надежность γ.

Зная надежность γ и число измерений n, по таблицам коэффициентов Стьюдента находят t γ n .

Вычисляют случайную погрешность xC серии измерений по формуле (9).

Устанавливают приборную погрешность xп, исходя из класса точности прибора.

Вычисляют абсолютную погрешность x данной серии измерений.

15

Округляют x до одной значащей цифры и приводят среднее арифметическое <x> в соответствие с ней.

Окончательный результат записывают в виде: с указанием размерностей измеряемых величин.

Оценивают меру точности результата прямых измерений данной серии, используя относительную погрешность

В заключении формулируют выводы по лабораторной ра-

боте.

1.16. Погрешности при косвенных измерениях

При косвенных измерениях искомое значение физической величины вычисляют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными в результате прямых измерений.

1.17. Погрешности табличных и постоянных физических величин

При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить величины, значения которых берут из таблиц. Погрешность табличных величин принимают равной половине единицы наименьшего разряда. Например, при использовании табличного значения плотности алюминия = 2,7 г/см2 погрешность будет равна

= 0,05 г/см3.

Если в расчетные формулы входят некоторые константы, например, π, физические постоянные g, h и т.п., то величина их берется с такой точностью, чтобы число цифр в них было на одну больше, чем число значащих цифр в измеряемых величинах. Этим приемом достигается то, что константы практически не вносят погрешностей в результат измерения.

1.18. Графическая обработка результатов измерений

Целью лабораторных работ, как и большинства научных исследований в области физики,медицины,биологии,является,какправило,илиопределениекакой-товеличины или установление зависимости между величинами. Если цель работы состоит в определении какой-то величины, то после проведенных измеренийи обработки ихрезультатов сцельюустановленияошибокработаможетсчитатьсязаконченной.

Еслижецельюлабораторнойработыиликакого-тоисследования является установление зависимости между величинами, то после того, как посредством измерений и вычислений найден ряд соответствующих друг другу значений исследуемых величин, начинается анализ результатов и 'выяснение характера зависимости между величинами. Однимизнаиболееудобныхиширокораспространенныхметодовустановления зависи-

мости являетсяпостроениеграфикаэтойзависимости.

16

При выполнении многих лабораторных работ применяется графический метод обработки результатов эксперимента. Он позволяет наглядно в удобной для анализа форме представить экспериментальные данные. Графики чрезвычайно широкоиспользуются не тольковфизике, ноивфизиологии, биохимии, вмедицинских науках.

Графики следует строить на миллиметровой бумаге. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают независимую переменную, т.е. величину, значение которой задает сам исследователь, а по вертикальной оси (оси ординат) – определяемую величину.

Форма линииграфика, расположение ее относительно осей координаточеньясно и нагляднопредставляютсуществующуюзависимостьмеждуизучаемымивеличинами.

Прямаялиния,проходящаячерезначалокоординат,изображаетпропорциональную зависимость.

-Чем круче поднимается линия графика над горизонтальной осью, тем больше коэффициентпропорциональностимеждувеличинами,которыйвсегдаравентангенсуугла междунаправлениемосиабсциссинаправлениемлинииграфика.

-Всякое искривление линии графика говорит о нарушении прямой пропорциональностимеждувеличинами.

При построении графиков чаще всего применяют прямоугольную систему координат.

Однако, существуют полулогарифмические и логарифмические системы коорди-

нат.

Ихприменениепродиктованодиапазономизменениязначений функциииаргумен-

та.

Пример.

При построении частотных характеристик усилителя биологических сигналов К=f(Lg ν), где К—коэффициент усиления усилителя (в десятичном масштабе), а аргумент Lg(ν)--частотавлогарифмическоммасштабе.Внашемслучаечастотаизменяется вдиапазонеот20 20000Гцидесятичныймасштабнеудобен.

Если аргументифункцияодновременновыражаются логарифмическоммасштабе тотакоймасштаб—логарифмический.

Перед построением графика следует, исходя из пределов, в которых заключены значения функции и аргумента, выбрать разумные независимые друг от друга масштабы по осям. При выборе масштаба необходимо учитывать, что экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом и масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеряемой величины (или 10; 100; 0,1 единицы и т.д.) соответствует 1см. Построение графика не обязательно вести от начала координат, правильнее строить его от нижних пределов измеряемых величин. На осях координат указывают масштабные единицы, у концов осей пишут буквенные обозначения соответствующих величин в принятых сокращениях, пишут за пределами графика (левее оси ординат и ниже оси абсцисс). Прежде всего, для графика следуетиспользоватькоординатную бумагу, тоестьбумагу с нанесенной на нее координатной сеткой, например, миллиметровую бумагу или, в край-

17

немслучае,бумагувклетку.

Размеры графика также имеют большое значение. Слишком большие, как и слишком, малые размеры графика, неудобны. Наилучшими размерами считают (12—15) см. Болееответственныеграфикиследуетвычерчиватьбольшегоразмера.

Наиболее важным моментом построения графика является выбор масштаба. При неудачном выборемасштаба наглядностьне будетдостигнута, график трудностроитьи имнеудобнопользоваться.

Рекомендуется следующая последовательность действий при выборе масштаба и построении графика.

1) Налистекоординатной бумагиначертитьоси координат (горизонтальнуюи

2)Установитьпределыизменения аргументав условияхвыполненнойработы и величинуинтервала,вкоторомпроисходитэтоизменение.

3)Подсчитать число делений координатной сетки, укладывающееся в длине горизонтальнойоси.

4) Разделитьдлинуинтервалаизменения аргумента начислоделенийкоординатной сетки, расположенное вдоль горизонтальной оси, и, исходя из полученного частного, выбратьмасштаб. Приэтом желательно, чтобыделениюкоординатнойсетки соответствовали одна, или десять, или сто единиц аргумента, или 0,1 или 0,01 его единицы,вкрайнем случае, 2или5единицаргумента.

5)Выбранный масштаб необходимо указать на всем протяжении горизонтальной оси в виде «круглых» чисел - 0, 5, 10, 15, 20 и т. д. Если аргумент меняется в оченьнебольшоминтервале(неболее10-15единиц),томасштабвдольосиуказывается целыми порядковыми числами,например,18,19,20,21,ит.д.

6)После обозначения масштаба на конце оси ставится стрелка, а возле конца оси--буквенноеобозначениеаргументаиединицаегоизмерения.

Еслизначенияаргументапредставляютсобойбольшиеилиоченьмалыечисла,которыемогутбытьпредставленыввидех*10n или х*10–n ,товдольосимогутбытьпо- ставлены«круглые»значенияХ, амножитель10n и10-n уконцаосивозленаименованияединицыизмеренияаргумента.

7)Совершенно таким же образом выбирается масштаб вдоль вертикальной оси дляизображенияфункции.

8)Выбранный масштаб обозначается с помощью чисел, поставленных вдоль

осей.

Нетникакойнеобходимости показывать масштаб дополнительноввиде отрезка

споставленнымвозленегочисломиливкаком-либоиномвиде.

После того, как будет выбран масштаб, и координатные оси будут должным образом оформлены, следует приступить к нахождению точек графика, соответствующих найденнымнаопытепарамзначенийаргументаифункции.

Принахожденииточекграфикаабсциссуиординатуточкиследуетпроводитьлишь мысленно,не прочерчиваяихвдействительности. Найденные точкиследуетобвестималенькимикружочками.

18

После того, как найденывсе точкиграфика, проводятлиниюграфика, соединяя все точки плавной кривой. Может, однако, случиться, что, соединив точки графика между собой, мы получим не прямую линию и не плавную кривую, а извилистую линию, отклоняющуюся то в одну, то в другую сторону. Причинами такого характера линии гра-

фика могут служить два фактора: характер исследуемой зависимости и ошибки при

измерении.

Иногда некоторые пары значений аргумента и функции дают точки, значительно удаленные от места расположения всех остальных точек. Если нет оснований пред-

полагать, что в изучаемой зависимости происходят резкие изменения, то следует проверить вычисления. Если ошибок в вычислении не обнаружено, а произвести повторно опыт не представляется возможным, то данную пару значений и соответствующую ей точкуследуетобъяснитькакой-тогрубой ошибкой впроцессе измерений ипри построенииграфиканеприниматьвовнимание.

Приведем примеры, иллюстрирующие ход подготовки к построению графика, выбормасштаба,оформлениекоординатныхосейивычерчиваниелинииграфика.

ПРИМЕР

Требуетсяпостроитьграфикрасширенияводывинтервалеот0°Сдо+9°С.Наопыте полученыследующиеданные:

Температура является в условияхданнойзадачи независимойпеременной илиаргу- ментом,объемводы,зависящийоттемпературы—функцией.

Проводим оси координат (рис.2) и приступаем к выбору масштаба. Устанавливаем, что аргумент (температура) изменяется от 0°С до 9°С, то есть в интервале 9 градусов. Подсчитываемчислоделенийкоординатнойсеткипогоризонтали.Ихунас—21.Делим

19

интервалначислоделений:9:21=0,429градусов.Конечно,такоймасштабнеприемлем. Мымоглибыпринятьодноделениекоординатнойсеткиза0,4градуса,адвеклеткиза0,8 градусов.Однако, итакоймасштаб был бы неудобным.

Рис.2 Графикрасширенияводы

Более целесообразновыбратьмасштаб1градусвдвухделенияхсетки.Обозначаем, масштабвдольгоризонтальнойоси,ауконцаееставимбуквуинаименованиеединицы-- градус.

Таким же образом выбираем масштаб по вертикали. Длина интервала изменения объемаравна0,000191.Числоделенийкоординатнойсетки30.Частноеотделениядлины интервала на число делений: 0,000191: 30 = 0,000006366... И здесь будет целесообразно выбрать масштаб 0,00001 см3 в одном делении координатной сетки. Теперь обозначим осьинанесемвдольэтойосимасштаб.

Послевыборамасштаба иобозначенияегонаосяхприступаемкнахождениюточек графика,азатемсоединяемнайденныеточкиплавнойкривой.

Если проведен ряд наблюдений и измерений и по их результатам построен график, то после этого по графику можно найти значение функции, соответствующее любому значениюаргумента,илизначениеаргумента,соответствующеелюбомузначениюфункции.Например,пографику(рис.2)мыможемопределить,чтопри+8,5°Cвода,имеющая при+4°Собъемравный1,00000см3,занимаетобъем1,00016см3.

Точкиграфика,которыепомоглинамнайтиуказаннуювеличину,лежатмеждутеми точками, которые найдены на опыте. Такой способ определения величин называетсяин-

терполяцией.

20