2.11Моделирование сигналов на основе преобразования Лапласа

Р

денция характерна не только для теоретических методов исследования СТК, но

и для программ их математического моделирования на ПЭВМ.

И

Известно, что для преобразования по Лапласу комплекснозначная функ-

ция f(t ) должна отвечать следующим трем условиям:

У

(на любом конечном интервале), существуют такие постоянные A 0, h0 0 и

Б

0 1, что

f(t h) f(t )

Ah

для всех

h

h0 ; условие

Гёльдера

по

смыслу соответствует условиям Дирихле;

а

Г

t ( ,

)

возрастать не быстрее показательной функции, т.е. для всех

иметь такие постоянные M 0

и 0

к

f(t )

Me 0t , где 0

показатель

0

, что

роста функции

f(t );

е

удовлетворять условию

f(t ) 0

при t 0, что, впрочем, всегда можно

т

к функции (t ) (t )f(t ), где

обеспечить переходом от функции f(t )

о

1,

t 0

(2.59)

(t )

t

0

0,

и

единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда).

Функцию

f(t ), удовлетворяющую сформулированным условиям, назы-

б

что все сигналы, исполь-

вают часто функцией-оригиналом. Важно отметить,

зуемые при моде ировании СТК, описываются функциями-оригиналами, т.е.

и

могут быть преолразованы по Лапласу.

Прямое прео разование Лапласа исходному сигналу (функции времени

Б

f(t ) F( p) изображение

f(t )) став т во взаимно однозначное соответствие

F( p) f(t )e ptdt ,

(2.60)

0

p j . Изображение

являющееся функцией комплексного переменного

1

a j

f(t )

F( p)eptdp,

(2.61)

2 j

a j

обратного преобразования (2.61) перейти к соответствующему ей оригиналу

(что в общем случае возможно не всегда). Для выполненияГ

этого перехода, со-

гласно так называемой теореме существования, функция

F( p) должна быть

к

аналитической в полуплоскости Re p 0 и обладатьБздесь равномерной схо-

a j

е

димостью, а

F( p)dp

, т. . инт граладолжен абсолютно сходиться.

a j

стить, если использ вать известные свойства преобразования Лапласа. Анализ

Нахождение изображения

F( p) исследуемого сигнала (функции

f(t ))

ную и значительную

времени задачу, которую можно многократно упро-

задач, решаемых

при

i

i

м делир вании, показывает, что в основном применяются

л

по

следующие свойства.

б

инейности.

Если

f (t ) F ( p)

(i 1,

N ),

то

Свойство

их

i

N

N

f(t ) Ai fi(t ) F( p) AiFi( p)

(Ai

постоянные коэффициенты),

т.е.

Б

i 1

i 1

fi(t )

линейной суперпозиции оригиналов

соответствует линейная суперпози-

ция

изображений

F ( p). Доказательство свойства выполняется подстанов-

кой

f(t ) в преобразование (2.60).

Теорема

смещения.

Если

f

(t ) F ( p ),

то

f

2

(t ) f

(t )ep0t

F2( p) F1( p p0

) ( p0 0 j 0

1

1

1

произвольное комплексное число),

т.е.

умножению оригинала f1(t )

на комплекснозначную функцию ep0t

соответст-

вует “смещение” его изображения

F( p)

на p0. Доказательство теоремы вы-

полняется подстановкой f2(t ) в интеграл (2.60).

Теорема подобия. Если

f1(t ) F1( p ), то

f2(t ) f1(nt )

в

ряд

Тейлора)

и

f

(t ) F ( p ),

то

f

2

(t ) f ( n)(t )

1

1

1

F2 ( p) p n F1 ( p) p n 1 f (0)

p n 2

f (0)

f (n 1) (0) ,

где

f (k )(0) lim f (k )(t ),

k

.

Доказательство

свойства

выполняют

по

0, n 1

t 0 0

Р

следующей схеме.

С помощью преобразования (2.60), используя метод интегрирования по

частям, устанавливают,

что

f ' (t ) pF( p) f(0).

Рассматривают функцию

f "

И

f ' (t ) ' . Используя выражение для изображения функции

f ' (t ), получа-

ют:

У

f " (t ) p pF( p) f(0) f ' (0) p2F( p) pf(0) f

' (0). Представляя

Г

по аналогии производную f (3)(t ) третьего и более высоких порядков, прихо-

дят к общему выражению для изображения F ( p).

2

Б

f2(t ) f1( n)(t )

В

случае, если

f (k )(0) 0

(k

0,

n 1), то

n

а

к

начальных условиях соответству умнож нию его изображения на множитель

pn

дифференцирования оригиналае.

Дифференцирование

изображения.

Если

F1( p) f1(t ),

то

ференцирования

зображения. Доказательство свойства осуществляют пред-

F ( p) F( n)( p) f

2

(t ) ( 1)ntn f(t ), т.е.

n-кратное

дифференцирование

2

1

т

изображения соответствуетоумножению оригинала на множитель ( 1)n tn

диф-

б

F( p) преобразованием (2.60) и её последовательным n-

ставлением функции

и

с выполнением операции дифференцирования

кратным дифференцированиемл

под знаком

нтеграла, что возможно вследствие аналитичности функции F( p)

Б

Re p 0.

в полуплоскости

Выполняя

n-кратное дифференцирование изображения

Г( p) функции

f(t ) (t )

(2.59), можно

получить f(t ) tn F( p) n!/

pn 1. Последнее

Интегрирование

оригинала.

Если

f1(t ) F1( p ),

то

t

f2(t ) f1(t )dt F2( p) F1( p)/ p, т.е.

интегрирование оригинала соответ-

0

ренцирования оригинала.

F1( p) f1(t ),

Интегрирование

изображения.

Если

то

вследствие аналитичности функции F1( p ) в полуплоскости Re p 0.

Теорема

умножения

изображений.

Г

F1( p) f1(t )

и

t

F ( p) f

Б

(t )d , т.е. произ-

2

2

1

2

1

У2

0

ведению изображений соответствует свертка оригиналов. Доказательство тео-

а

ремы, называемой также теоремой Бореля, выполняют по следующей схеме:

подставляют F( p) в интеграл (2.61), предст вляют изображение F1( p ) пря-

большое

мым преобразованием (2.60) Лапласа, переходят к двойному интегралу и заме-

няют порядок интегрирования.

кзначение имеет следствие из теоре-

т

В практике моделирования

мы умножения изображений, две симм тричные формы которого образуются с

о

t

'

дополнительным использованием свойств линейности и дифференцирования

оригинала:

и

( p) f1

(0)F2( p)

pF1( p) f1(0) F2( p)

pF1

( p)F2

л

t

f1 ( )f2(t )d ,

(2.62)

б

f1(0)f2(t )

0

pF1( p)F2( p) f2(0)F1( p) pF2( p) f2(0) F1( p)

Из выражений (2.62) непосредственно вытекают все четыре разновидности ин-

f

2(0)f1(t )

f2' (

)f1(t )d .

0

теграла Дюамеля.

f

(t ) F ( p ) и

f

(t ) F ( p),

Теорема умножения оригиналов. Если

2

Б

a j

1

1

2

1

то f (t) f1(t) f2(t) F(p)

F1(z)F2(p z)dz, где функция F( p) анали-

2 j

a j

тична в

полуплоскости

Re p 1 2 ; a 1;

1( 2 ) показатель

роста

функции

f1(t ) f2(t ) . Свойство означает: произведению оригиналов соответст-

Теорема

запаздывания.

Если

f1(t ) F1( p ), то при любом

t0 0

f

2

(t ) f

(t t

0

) F ( p) F ( p)e pt0

, т.е. запаздыванию оригинала (сигнала)

1

2

1

Предельные соотношения.

Если f(t ) и её производная f ' (t ) являются

оригиналами и f(t ) F( p), то

И

lim pF( p) lim f(t ) f(0),

lim pF( p) lim f(t ) f( ), (2.63)

p

t 0 0

p 0

t

где функция

pF( p) сходится при

У

p ( p 0)

равномерноРотноси-

тельно arg p в полуплоскости Re

p 0

аналитичности функции F( p).

Г

В практике моделирования СТК широко применяют периодические сиг-

налы

f(t ),

которые строго существуют на бесконечном интервале ( ,

)

времени. С учетом

этого введем в рассмотрение сигналы (рисунок 2.7)

f(t ), 0,

T

а

f(t ), 0, T

, которые назовем соответственно

f1(t )

, 0

и fT (t )

0,

0, 0, T

Б

периодическим

в

узком

смысле

и

б зовым.

Очевидно,

что

f

(t ) F

( p)

f

как известно, изображение F ( p)

T

T

(t )e ptdt, при этом,

T

т

к

T

0

Сигнал

f1(t )

периодическим копированием сигнала fT (t ) на

интервале (0,

). Это п зв ляет воспользоваться для нахождения его изобра-

жения F1( p )

образуется

свойством л

нейности и теоремой запаздывания. Поступая так и

и

л

и

рической прогрессии, получаем

Б

б

F( p) F ( p)

FT ( p)

.

(2.64)

1

1 e pT

0 T

б

t

Р

И

(это учтено при его написании). Изображение F( p) имеет особые точки (про-

стые полюсы) pk j2 k/T

(k 0, 1, 2, Б), являющиеся корнями уравне-

ния 1 e pT 0.

а

Проведенный анализ показыва т сл дующее.

Изображение F( p) периодичского, в том числе в узком смысле, сигнала

образуется умножением изображения FT ( p) базового сигнала на множитель

1 e pT 1

е

периодичн с и. Особыми точками функции F( p) являются беско-

нечное

число

пр стых

(однократных)

полюсов

Pk j2 k /T

(k 0,

1,

т

2, ), лежащих на мнимой оси комплексной плоскости (рису-

о

нок 2.8). По ожен е полюсов на мнимой оси определяется только периодом T

и

повторения сигна а и не зависит от его формы. Любой периодический сигнал,

преобразуемый по Лапласу, описывается функцией

f(t ) с показателем

0

0

л

б

роста. Поэтому в интеграле (2.61) интегрирование можно выполнять вдоль лю-

Б

p a, удовлетворяющей условию a 0 (см. ри-

бой верт кальной прямой Re

суноки2.8).

p

4 T

2 T

a

00

а

Р

2 T

И

4 T

У

Г

Рисунок 2.8 – Расположение особых точек изображения периодического

сигнала

Б

Нахождение изображения

периодического

сигнала является примером

Пример 1. Найти изображение сигн

f(t ) 2Atsin2t.

При

отыскании

изображения

сигн

типа

f (t) tn sin( t)

или

f(t ) tn cos( t )

целесообразно

ла

определить изображение вспомога-

тельного

сигнала

fВ(t ) sin

t

( f

к

t), а

затем

воспользоваться

В(t ) cos

свойством дифференцирования

вначале

В рассматриваемом примере

изображения.

fВ(t ) 2Asin 2t .

Ему

с

ве с вует

изображение

FВ ( p) 4A /( p2

4).

т

f(t ) F( p) 8Ap/( p

2

4)

2

.

Дифференцируя последнее, нах дим:

Пример 2.

о

f (t) A(ebt eat)/t. В качестве

зображение сигнала

вспомогательногоНайтиf (t) используем сигнал (2.59). Ему отвечает изображение

В

F p 1 p. Далее применяем теорему смещения и свойство линейности. В со-

B

л

eat ) A(p b) 1 A(p a) 1. Наконец, на

ответств

с н

ми f(t ) A(ebt

основан

б

интегрирования

изображения

имеем

свойства

и

A

p a

A

F( p)

dp Aln

.

p a

p b

p

p b

Б

t

sint

Пример 3.

Найти изображение сигнала

f (t) Sit

dt .

В качестве

0

t

жение F ( p) 1/( p2

1). Далее с помощью свойства интегрирования изобра-

В

dp

жения устанавливаем: (sint)/t

arctg

p arcctg p. Наконец, на

2 1

2

p p

известных теорем разложения (наиболее часто используется вторая теорема).

C

И

Первая теорема разложения. Если изображение F( p) является правиль-

У

ной (аналитической) функцией в бесконечно удаленной точке limРF( p)

0

p

и имеет в её окрестности

p

R

разложение

F(p)

k

в ряд Лорана,

то

pk

k 1

Ck

tk 1 (t 0). ДоказательствоГтеоремы формально вы-

F( p) f(t )

k 1(k

1)!

свойства

1

1 p

Блинейности и следствия из свой-

полняется совместным применением

ства дифференцирования изображения.

В качестве примера рассмотрим изображение F(p)

e

. Раскла-

pn 1

к

k n k

теоремы

(

k

дывая функцию e 1 p

в ряд Лоранае, имеем функцию F( p)

1)

, кото-

n k 1

k 0 k! p

рая удовлетворяет усл виям

, что позволяет сразу перейти к оригиналу

f(t )

( 1) t

.

о

л

k

0 k!(n

k )!

Вторая (обобщеннаяи ) теорема разложения. Если изображение F( p) яв-

и

ляется функцией мероморфной (в качестве особых точек содержит только по-

и в полу-

люсы), анал тической в бесконечно удаленной точке lim F( p)

0

Б

б

p

a j

плоскости Re

p 0

и если абсолютно сходится интеграл

F( p)dp, то

f(t ) res F( p)ept .

a j

(2.65)

pk

f(t ) (оригинал) равен сумме вычетов в осо-

Это значит, что искомый сигнал