Р

венно улучшает сходимость обобщенного ряда Фурье. В случае представления

функции f(t ), имеющей разрывы первого рода, улучшению сходимости при

И

прочих равных условиях способствует выбор ортогональной системы, постро-

енной из кусочно-непрерывных функций n

(t ).

У

Г

Б

2.4. Моделирование сигналов рядом Фурье

В задачах математического и физического моделирования СТК в качестве

анализ

входных воздействий широко используют континуальные детерминированные

к

периодические сигналы, которые часто р скл дывают по ортогональной систе-

ме гармонических функций кратных ч стот (в ряд Фурье). Такое представление

бание

искажений этих сигналов, по-

во многих случаях существенно упроща т

скольку: а) гармоническое кол

является единственным из возможных

т

воздействий, не изменяющим сво й формы при прохождении через линейное

звено СТК; б) разложение в ряд Фурье позволяет применять символический ме-

о

тод расчета, отличающийся св ей простотой.

При разложении пери дического сигнал f(t ) f(t T ) в ряд Фурье ис-

пользуют систему действ тельных функций

cos

(2.17)

б

n (t)

(n 1t), n 0,

иsin

или соответствующую ей систему комплекснозначных функций

и

л

(t) e

jn t

(2.18)

Б

n

1 , n , .

Эти с стемы базовых функций являются ортогональными с единичным весом

( (t ) 1) на

любом отрезке a,b длительностью

Tab b a T 2 / 1, а

квадрат нормы каждой функции n(t ) равен

n(t )

2

T .

Теорема разложения в обобщенный ряд Фурье (см. подразд. 2.2) устанав-

ливает общие

(достаточно

жесткие) требования к

представляемой функции

а) удовлетворить условию

f(t )

dt абсолютной интегрируемости;

T

2

2 конечное число отно-

б) быть ограниченной и иметь на отрезке T

2,T

функция (сигнал)

f(t )

раскладывается в ряд Фурье, удобно представляемый в

T

Р

комплексном виде:

f(t ) Cnejn 1t ,

(2.19)

n

У

2

И

где Cn

1

T

f(t )e jn 1tdt

(сравните с (2.8) и (2.9)).

(2.20)

T

2

Г

Ряд (2.19)

в

каждой

точке

Б

t ( , )

сходится к значению

числами, можно представить в форме

к

T

T

1

2

1

2

j

е

C

f (t)cosn tdt

j

f (t)sinn tdt C

jC

C

e

n

n

T

T

1

T

T

а1

nc

ns

n

,

2

2

(2.21)

т

Cns

2

2

где

Cn

Cnc

Cns;

n arctg

.

(2.22)

о

Cnc

и

перацию интегрирования в выражениях (2.20) и

При их нахождении

(2.21) можно выполнять не т лько на отрезке T

;T

, но на любом отрезке

ла

2

2

длительностью T, напр мер, на отрезке 0,T . Модуль

Cn

и аргумент n спек-

б

тральных коэффициентов описывают дискретные математические спектры пе-

риодического сигна : амплитудный и фазовый соответственно.

Очев дно,

Cn

C n

и n

n,

т.е. амплитудный спектр является

Б

четной, а фазовый – нечетной функциями частоты. С учетом последнего, вы-

полняяипопарное суммирование в ряде (2.19) членов с номерами n и n, пере-

ходят к тригонометрическому ряду Фурье

f(t ) C0 2

Cn

cos(n 1t n ),

(2.23)

n 1

a0

a0

f(t )

(an cosn 1t bn

sinn 1t )

An cos(n 1t n ), (2.24)

2

n 1

2

n 1

кладываемой функции ( f(t ) f( t )) bn Cns 0, n 0

( n

), а в слу-

чае нечетной ( f(t ) f( t )) an Cnc 0 и n 2.

Важной характеристикой периодического сигнала f(t ),

определяемой

Р

при его математическом моделировании, является средняя мощность Pcp . Вос-

пользовавшись общим соотношением (2.16) и учитывая соотношенияИ

(2.22) –

(2.24), можно получить

У

2

2

A

2

a

0

2

A2

P

P

C

C

2

n

n

.

(2.25)

n

0

cp

ab

Г

n

n 1

2

2

n 1

2

Выражение (2.25), полученное с с мых общих позиций, подтверждает из-

Б

вестное свойство: средняя мощность периодических сигналов произвольной

формы равна сумме средних

постоянной составляющей и гармоник

а

и не зависит от начальных фаз посл дних.

Это выражение часто используют

для нахождения средней

к

сигнала на входе и выходе моделируемого

звена СТК.

мощностей

мощности

бенно

В заключение необходимо о метить, что ряд Фурье характеризуется пло-

хой сходимостью,

с

в случае представления сигналов, описываемых

вания на ПЭВМразрывами. Но даже при N в точках разрыва первого рода в аппрок-

функциями с

перв го рода. Для достижения высокой точности ап-

проксимации

чество N учитываемых членов ряда (2.24) приходится часто

выбирать из ус ов я N 1000, что существенно увеличивает время моделиро-

симирующейколфункции fэкв (t )

(сумме ряда Фурье) возникают бесконечно тон-

и

кие гольчатые выбросы (игольчатые функции) весьма значительной величины.

Б

Эту особенностьбряда Фурье называют явлением Гибса.

n(t)

sin m(t n t)

, t m

, n , ,

(2.26)

m(t n t)

1,

t n t,

(2.27)

n (t)

(k

n),

0, t k t

т.е. функции n(t ) являются четными относительно точки t n t Ри принима-

ют нулевые значения через равные интервалы t времени (рисунок 2.2, а);

функции n(t ) имеют модуль

И

1

У

,

m

Г

S ( )

2 fm

(2.28)

0,

Б

m

спектральной плотности и,

значит,

хар ктеризуются равномерным и ограни-

нечно протяженные сигналы и, наоборот, финитные сигналы имеют спектр

бесконечной протяжённости;

система функций n(t ) являееся ортогональной с весом (t ) 1 на бес-

конечном интервале ( ;

), при э ом

n(t )

2 t.

n

(t )

т

1.0

о

и

n 0

n

0

2 t

л

n 1 t

n 1 t

б

t

3 t

3 t

t

0

n t

t

2 t

и

Б

m

0

m

б

sin m(t n t )

f(t )

Cn

,

(2.29)

где Cn

n

m(t n t )

f(t ) в любой точке

f(n t ). При этом ряд сходится к функции

t ( ; )

n

И

. Последнее обеспечивается благодаря тому, что при ограничении

У

(2.5) – (2.9). Это позволяет утверждать, что известная теорема Котельникова с

Б

математической точки зрения является частным случаем разложения функции

f(t ) в обобщенный ряд Фурье по специальной ортогональнойГ

системе (2.26).

а

Рассмотрим случай, когда длительность сигнала f(t ) конечна и равна ,

нечно

sin m

(t n t )

ходного сигнала f(t )

. При аком допущении рассматриваемый финитный сиг-

нал представляется к

й суммой ряда Котельникова (левая граница сигна-

и

)

ла совмещена с начал м к

л

N

f(t ) f(n t )

,

(2.30)

где N t 2 fm

n 0

m(t n t )

так называемое число степеней свободы, или база

и

2

сигнала.

Воспользовавшисьб

общими соотношениями (2.15) и (2.16), можно опре-

дел ть энерг ю

Б

N

N

Э f 2(n t )

n(t )

t f 2(n t )

(2.31)

n 0

n 0

и среднюю на интервале мощность

1

N

Pcp

Э

f 2(n t )

(2.32)

N n 0

возможности математического моделирования.

Полиномы Лежандра первого рода

Р

Pn

(t )

1

t2

1 n ( n) ,

n

0,

(2.33)

2n n!

обладают следующими свойствами:

являются полиномами с рациональными вещественными коэффициента-

ми, например, P (t) 1,

P (t) t,

P (t) (3t2

1)/2,

P (t ) (5t3 3t )/ 2,

0

1

2

3

И

P (t ) (35t4

30t2 3)/ 8;

Г

4

образуют систему функций,

Б

ортогональную с весомУ(t ) 1 на отрезке

1; 1 ;

а

P (t )

2 2/(2n 1);

с учетом (2.7) квадрат нормы функции

P (t ) равен

к

n

n

в соответствии с условиями теоремы р зложения в обобщенный ряд Фу-

n 0

зке

f(t )

может быть пред-

рье (см. подразд. 2.2) моделируемая фун ция (сигнал)

ставлена на (нормированном) отр

1; 1 рядом (по полиномам Лежандра)

f(t ) CnPn(t ),

(2.34)

2n 1

1

и

где C

f(t )P (t )dt

(сравните с формулой (2.9)).

n

2 1

т

л

Полиномы Чебышеваопервого рода

2n 1 ( n )

( 2)n n!

2

2

б

Tn

(t )

1 t

1 t

, n 0,

(2.35)

(2n)!

и

обладают следующими свойствами:

являются полиномами с целочисленными вещественными коэффициен-

тами,

напр мер,

T (t ) 1,

T (t ) t,

T (t ) 2t2

1,

T (t ) 4t3

3t ,

0

1

2

3

T (t ) 8t4 8t2 1;

4

Биз всех полиномов (с целочисленными коэффициентами) степени

n и

за пределами

отрезка 1; 1 быстро и неограниченно возрастают

n 1

n

lim

Tn(t)

2

t

. Благодаря этому и предыдущему свойству их также

t

образуют систему функций,

ортогональную с весом (t ) 1

1 t2

на

отрезке 1; 1 ;

в соответствии

с

(2.7)

имеют

норму

T0(t )

Р

и

(t )

И

Tn(t ) (t )

/ 2 (n 0);

согласно условиям теоремы разложения в обобщенный ряд Фурье пред-

ставляют моделируемую функцию

f(t ) на (нормированном)

отрезке

1; 1

рядом (по полиномам Чебышева)

У