3. Пересечение двух поверхностей

Задание 1.3 (Эпюр 2). Построить проекции линии пересечения двух заданных поверхностей. Поверхности раскрасить с учетом видимости.

В зависимости от взаимного расположения поверхностей вращения задачу решают способом секущих плоскостей или способом секущей сферы.

Примеры решения задания 1.3. Применение способа секущих плоскостей.

Пример 1.Построить проекции линии пересечения двух заданных поверхностей – наклонного и прямого цилиндра (Рисунок 1.8).

Так как одна поверхность (прямой цилиндр) горизонтально-проецирующая, то горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому решение сводится к построению только фронтальной проекции линии пересечения, которая имеет два участка.

Построение фронтальных проекций участков линии пересечения следует начинать с определения характерных точек: высшие А и А^/, низшие В и В^/(в данном случае они являются также границами видимой части линии пересечения), ближние С и С^/и, дальнихDиD^/.

1. Построение высших А и А^/, низших точек В и В^/, ближних С и С^/и дальнихDиD^/.

Для нахождения высших А и А^/, низших точек В и В^/ проводим плоскость Δ, параллельную фронтальной плоскости проекций П₂(она задана горизонтальным следом Δ₁) (Рисунок 1.9). Плоскость Δ пересекает прямой цилиндр по образующим 1 и 2, а наклонный цилиндр – по образующим 3 и 4. Пересечения фронтальных проекций 1 и 2, 3 и 4 указывают положение фронтальных проекций точек А₂, А^/₂, В₂, В^/₂(А₂=1₂∩3₂, А^/₂ =2₂∩3₂, В₂=1₂∩4₂, В^/₂=2₂∩4₂).

Для нахождения ближних точек С и С^/проводим плоскостьZ, параллельную фронтальной плоскости П₂(она задана горизонтальным следомZ₁) (рисунок 1.10). ПлоскостьZпересекает прямой цилиндр по образующим 5 и 6, а наклонный цилиндр – по образующей 7. Пересечения фронтальных проекций 5,6 и 7 указывают положение фронтальных проекций точек С₂, С^/₂(С₂=5₂∩7₂, С^/₂ =6₂∩7₂).

25

Рисунок 1.8 – Чертеж к примеру 1 выполнению задания 1.3

26

Рисунок 1.9 – Построение высших А и А^/, низших точек В и В^/

27

Рисунок 1.10 – Построение ближних точек С и С^/

Для нахождения дальних точек DиD^/(точкиDиD^/также являются и очерковыми) проводим плоскостьK, параллельную фронтальной плоскости П₂(она задана горизонтальным следомK₁) (рисунок 1.11). ПлоскостьKпересекает прямой цилиндр по образующим 8 и 9, а наклонный цилиндр – по образующей 10. Пересечения фронтальных проекций 8,9 и 10 указывают положение фронтальных проекций точекD₂,D^/₂(D₂=8₂∩10₂,D^/₂ =9₂∩10₂).

28

2. Построение промежуточных точек E,E^/,F₂,F^/₂.

Для нахождения промежуточных точек E,E^/,F₂,F^/₂проводим плоскость Λ, также параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 1.12). Эта плоскость пересекает прямой цилиндр по прямым 11 и 12, а наклонный цилиндр – по прямым 13 и14. Пересечения фронтальных проекций 11,12 и 13,14 указывают положение фронтальных проекций точекE₂,E^/₂,F₂,F^/₂(E₂=11₂∩13₂,E^/₂ =12₂∩13₂,F₂=11₂∩14₂,F^/₂=12₂∩14₂).

3. Соединим одноименные проекции этих точек плавными линиями по лекалу, предварительно установив видимые и невидимые ее части. Затем контурные линии поверхностей обводят сплошной основной линией, сохраняя линии построения в тонких линиях (рисунок 1.13).

29

Рисунок 1.11 – Построение дальних точек DиD^/

30

Рисунок 1.12 – Построение промежуточных точек E,E^/,F₂,F^/₂

31

Рисунок 1.13 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 1)

Пример 2.Построить линии пересечения поверхностей конуса и сферы (рисунок 1.14).

32

В этом случае ни одна из проекций ни одного из данных поверхностей не совпадает полностью или частично с проекциями искомой линии пересечения. Мы не можем исходить из того, что положение проекций ее точек нам известно. Поэтому здесь используется общий прием построения точек взаимного пересечения поверхностей, а именно введение вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих каждую из заданных поверхностей по заданным линиям, и определение точек, общих для этих поверхностей, в пересечении линий, полученных на них.

1. Построение высшей А и низшей В точек.Для нахождения высшей А и низшей В точек введем общую плоскость симметрии Р: она проходит через ось конуса и через центр сферы С. Плоскость Р пересекает поверхность конуса по образующим (S1), а поверхность сферы по окружности. Повернув плоскость Р вместе с полученными в ней линиями вокруг оси конуса до положения, параллельного с плоскостью проекций П₂, получим точки А^/₂и В^/₂, а по ним сначала А₂и В₂, затем А₁и В₁(Рисунок 1.15).

2. Построение очерковых точек D и D^/. Для нахождения очерковых точекDиD^/через ось конуса введем вспомогательную плоскость Т. Она пересекает конус по главному меридиану и сферу по окружности радиуса С₂2₂(рисунок 1.16).

3. Построение точек Е,F на экваторе сферы.Для построения точек Е,Fна экваторе сферы вводим горизонтальную секущую плоскость Ф. Она пересекает конус по окружности радиусаS₁3₁. Пересечения экватора (окружности радиуса С₁4₁) с окружностью радиусаS₁3₁указывают положение горизонтальных проекций точек Е₁,F₁(рисунок 1.17).

4. Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N. Для построения промежуточных точек вводим секущие плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций П₂(рисунок 1.18). Каждая такая плоскость пересекает поверхности конуса и сферы по окружностям.

Плоскость Х пересекает конус по окружности с радиусом S₁5₁, а сферу – по окружности радиуса С₁6₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точекG,H.

Плоскость Yпересекает конус по окружности с радиусомS₁7₁, а сферу – по окружности радиуса С₁8₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точекK,L.

Плоскость О пересекает конус по окружности с радиусом S₁9₁, а сферу – по окружности радиуса С₁10₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точекM,N.

5. Соединим одноименные проекции этих точек плавными кривыми (рисунок 1.19).

33

Рисунок 1.14 –Чертеж к примеру 2 выполнения задания 1.3

34

34

Рисунок 1.15 – Построение высшей А и низшей В точек

35

Рисунок 1.16 – Построение очерковых точек DиD^/

36

Рисунок 1.17 – Построение точек Е,Fна экваторе сферы

37

Рисунок 1.18 – Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N

38

Рисунок 1.19 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 2)

Применение способа секущей сферы. Этот способ можно применять в том случае, если пересекаются две поверхности вращения и их оси пересекаются и расположены параллельно какой-либо плоскости проекций.

39

Пример 3.Определить линию пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями (Рисунок 1.20).

Решение.Построение линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения начинают с построения опорных (очерковых) точек. Этими точками являются точкиA,B,C,Dпересечения очерковых образующих заданных поверхностей. Точку пересечения фронтальных проекций осей поверхностей вращения О₂принимаем за центр концентрических сфер. Сферическая поверхность, имеющая центр в точке О₂, пересекает каждую из заданных поверхностей вращения по окружности, которые изображаются на фронтальной проекции как отрезки, перпендикулярные осям соответствующих поверхностей (рисунок 1.21). Для определения интервала, в пределах которого следует брать значение величин радиусов сферических поверхностей, а также для определения характерных точек, принадлежащих линии пересечения, проводим вспомогательную сферу Ф, касательную к одной поверхности и пересекающую вторую. Радиус этой сферической поверхности укажет минимальное значение радиуса сферической поверхности. Полученные с помощью этой секущей сферы точкиE,E^/иF,F^/являются крайними левыми (правыми) точками линии пересечения. Положение этих точек определяется пересечением окружностей 1₂3₂и 5₂6₂, 2₂,4₂, и 5₂6₂(E,E^/=1₂3₂∩5₂6₂;F,F^/=2₂,4₂∩5₂6₂), по которым секущая сфера Ф с минимальным радиусом пересекает заданные поверхности вращения. Зная положение фронтальных проекций точекE,E^/иF,F^/, находим их горизонтальные проекции. Расстояние от точки О₂до наиболее удаленной точки В₂– пересечения очерковых образующих линий заданных поверхностей – укажет величину максимального радиуса секущей сферы Ф^//R_max. Для определения промежуточных точек линии пересечения заданных поверхностей вращения проводим сферы радиусамиR_min<R<R_max.

На рисунке 1.22 показано построение точек G₂,G^/₂иH₂,H^/₂, с помощью сферы Ф^/. Отрезки 7₂9₂, 8₂10₂являются проекциями окружностей, по которым сфера Ф^/пересекается с поверхностью конуса. Отрезок 11₂,12₂представляет фронтальную проекцию окружности, по которой сфера Ф^/пересекается с поверхностью усеченного конуса. Пресечения отрезков 7₂9₂, 8₂10₂укажут положение точекG₂,G^/₂иH₂,H^/₂ (H₂,H^/₂=7₂9₂∩11₂,12₂,G₂,G^/₂=8₂10₂∩11₂,12₂). Зная положение фронтальных проекций точекG₂,G^/₂иH₂,H^/₂, находим их горизонтальные проекции.

Соединив одноименные проекции точек плавными кривыми, получим проекции линии пересечения двух поверхностей вращения (Рисунок 1.22).

40

Рисунок 1.20 – Чертеж к примеру 3 выполнения задания 1.3

41

Рисунок 1.21 – Результат построения очерковых A,B,C,Dи промежуточных точекE,E^/иF,F^/

42

Рисунок 1.22 – Результат построения построение точек G₂,G^/₂иH₂,H^/₂ и проекций линии пересечения двух поверхностей вращения способом секущих сфер

Варианты задания 1.3 (эпюра 2)приведены в таблице 1.4.

43

Таблица 1.4 – Варианты задания 1.3 (эпюра 2)

1	2
3	4
5	6

Продолжение таблицы 1.4

7	8
9	10
11	12

Продолжение таблицы 1.4

13	14
15	16
17	18

Продолжение таблицы 1.4

19	20
21	22
23	24

Продолжение таблицы 1.4

25	26
27	28
29	30