2. Молекулярная физика. Термодинамика. Основные законы и формулы

Закон Бойля-Мариотта………………………………..р₁V₁=p₂V₂

Закон Гей-Люссака……………………………………V₁ / V₂=T₁/T₂

Закон Шарля……………………………………………р₁ /р₂=Т₁/ Т₂

Связь между массой, количеством

вещества и молярной массой…….…………………..m=vM, v=m/M

Уравнение Менделеева – Клапейрона

для смеси……………………………………..….. р_смV= (m₁/M₁+m₂/M₂+ m_n/M_n)RT

Масса молекулы…………………………………………m_i=M/N_A

Число молекул в теле (системе)……………………..…N=mN_A /M=νN_A

Средняя кинетическая энергия движения

молекулы (i– число степеней свободы) ………………<w> =ikT/2

Основное уравнение молекулярно-

кинетической теории…………………………………..… р =² /₃п (w_пост)

Внутренняя энергия газа………………………………….U=¹/₂i (m/M)RT

Средняя квадратичная скорость молекулы……………..

Средняя арифметическая скорость молекулы…………..

Количество теплоты,

необходимое для нагревания тела……………..…………Q=с т (Т₂-Т₁)

Удельная теплоемкость газа при V=const………………..c_v=iR/(2M)

Удельная теплоемкость газа при p=const………………..c_p=(i+2)R/(2M)

Средняя частота соударений молекулы…………………<z> =πпd²(ύ)

Средняя длина свободного пробега молекулы ……..<l> =<ύ> / <z> =1/(πd²п)

Закон диффузии ………………………………………...

Закон теплопроводности………………………………..ΔQ=-λΔTΔSΔt/Δx

Изменение внутренней энергии газа…………………...ΔU=mc_v(T₂-T₁)

Работа газа при изотермическом расширении……………..

Работа газа при изобарном расширении А=рΔV=RΔT

Работа газа при адиабатном расширении……………….A=mc_v(T₁-T₂)

Уравнения адиабатного процесса……………………...р₁V₁^γ= р₂V₂^γ,T₁V₁^γ-1=T₂V₂^γ-1

Термический КПД тепловой машины…………………..η=(Q₁-Q₂)/Q₁

Термический КПД идеальной тепловой машины ……..η =(Т₁-Т₂)/Т₁

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке…..…h=4acosθ/(pgd)

Примеры решения задач

Пример 6.Определить плотность смеси газов:ν₁=5 моль азота иν₂=10 моль кислорода, - содержащихся в баллоне при температуреt=17⁰С и давленияр=2,5 Мпа.

Решение. Согласно определению плотности имеем

P=(m₁+m₂)/V, (1)

где m₁иm₂– массы азота и кислорода соответственно;V– молярную массу:

m₁=v₁M₁ , m₂₌v₂M₂. (2)

Для определения объема газа в баллоне воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона для смеси газов:

p_смV=(m₁ /M₁+m₂ /M₂)RT=(v₁+v₂)RT,

где R – молярная газовая постоянная;Т– термодинамическая температура.

Тогда

V=(v₁+v₂)RT/p_см.(3)

Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим

. (4)

Проверим формулу (4):

=кг·Н/(м²·Н·м)=кг/м²

Запишем величины, входящие в (4), в единицах СИ: М₁=28·10^-3кг/моль,

М₂=32·10^-3кг/моль,R=8,31 Дж/(моль·К),р_см=2,5·10⁶Па,Т=290 К.

Вычислим искомую плотность:

Пример 7. Определить: 1)число атомов, содержащихся в 1 кг гелия; 2)массу атома гелия.

Решение 1. Число молекул в данной массе газа

N=vN_A=mN_A /M, (1)

где m– масса газа;М– молярная масса; ν=m/M - количество вещества,N_A– постоянная Авогадро.

Поскольку молекулы гелия одноатомны, число атомов в данной массе газа равно числу молекул.

Запишем величины, входящие в формулу (1), в СИ: М=4·10^-3кг/моль,N_A=6,02·10²³моль^-1.

Найдем искомое число атомов:

2. Для определения массы m₁ одного атома массу газа разделим на число атомов в нем:

m_i=m/N. (2)

Подставив числовые значения величин в (2), получим

Пример 8.Считая водяной пар массойm=180 г при температуреt=127⁰С идеальным газом, определить; 1) внутреннюю энергию пара; 2)среднюю энергию вращательного движения одной молекулы этого пара.

Решение 1. Внутренняя энергия идеального газа есть полная кинетическая энергия всех молекул газа; она выражается формулой

U=imRT/(2M), (1)

где i– число степеней свободы молекулы газа;М– молярная масса;R– молярная газовая постоянная;Т– термодинамическая температура.

Проверим формулу (1):

Запишем числовые данные в СИ: m=0,18 кг,Т= 400 К,М=18·10^-3кг/моль,R=8,31 Дж/(моль·К),i=6, так как молекула водяного пара трехатомная.

Вычислим искомую внутреннюю энергию:

2.Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится в среднем энергия

<w₀>=RT/2,

где R– постоянная Больцмана. Вращательному движению каждой молекулы приписывается некоторое число степеней свободыi_врЭто относится ко всем молекулам, кроме одноатомных, для которых энергия вращательного движения равна нулю, как для материальных точек, размещенных на оси вращения. Таким образом, энергия вращательного движения молекулы

w_вр=i_врkT/2

Выпишем числовые значения величин в единицах СИ: R=1,38·10^-23Дж/К;i_вр=3, так как вращательному движению трехатомной молекулы соответствуют три степени свободы.

w_вр=3·1/2·1,38·10^-23·400Дж=8,28·10^-21Дж.

Пример 9.Кислород массойm=320г изобарно расширяется под давлениемр=2·10⁵Па от начальной температурыt₁=20⁰С, поглощая в процессе расширения теплотуQ=10 кДж. Определить: 1)работу расширения газа; 2)конечный объем газа.

Решение 1. Работа, совершаемая газом при неизменном давлении, выражается формулой

A=p(V₂ - V₁). (1)

Из уравнения Менделеева – Клапейрона, записанного для начального и конечного состояний газа (pV₁=mRT₁/M, pV₂=mRT₂/M), выразим неизвестные начальнойV₁и конечныйV₂объемы:

V₁=mRT₁ /(pM); (2)

V₂=mRT₂ /(pM). (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим

(4)

где М – молярная масса кислорода; R– молярная газовая постоянная;T₁ иT₂ – начальная и конечная температуры газа.

Из формулы для теплоты при изобарном процессе

,

где с_р– удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, выразим неизвестную разность температур:

Т₂-Т₁=Q/(mc_p). (5)

Известно, что

c_p=(i+2)R/(2M), (6)

где i– число степеней свободы молекулы газа. Подставив (6) в (5), а затем результат в (4), получим

(7)

Запишем в единицах СИ числовые значения величин: Q=10⁴Дж,i=5, так как молекула кислорода двухатомная.

По формуле (7) вычислим А:

2. Для определения конечного объема V₂ воспользуемся формулой (1), преобразовав которую получим

V₂=(1/p) (A+pV₁ ). (8)

Второе слагаемое в скобках, содержащее неизвестную величину V₁, можем определить из уравнения Менделеева – Клапейрона для начального состояния газа.

Подставив в (8) правую часть уравнения (2), получим

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в эту формулу: М=32·10^-3кг/моль,Т=293 К,m=0,32 кг,R=8,31 Дж/(моль·К).

Вычислим искомый конечный объем:

Пример 10. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул воздуха при температуреt=0⁰С и давлении 1,01 Па. Принять эффективный диаметр молекулы воздуха равнымd=2,9·10^-8см.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекулы выражается формулой

<l> =1/πпd²(1)

где п –концентрация молекул (отношение числа молекул к объему газа, в котором они заключены). Для определения неизвестной концентрации молекул воспользуемся основным уравнением молекулярно – кинетической теории:

р=2/3n<w_пост>. (2)

Здесь р– давление газа, <w_пост> - средняя энергия поступательного движения молекулы газа, равная

<w_пост>=3/2kT, (3)

где k – постоянная Больцмана,Т– термодинамическая температура газа.

Подставив (3) в (2), выразим из полученной формулы концентрацию молекул:

п=p/(kT). (4)

Подставив (4) в (1), получим

Проверим полученную формулу:

м=Дж·К·м²/(К·м²·Н)=Н·м/Н=м.

Выпишем величины, входящие в формулу, в единицах СИ:

Ŗ=1,38·10^-23Дж/К,Т=273 К,d=2,9·10^-10м.

Вычислим искомую длину свободного пробега молекулы:

Пример 11.Определить среднюю квадратичную скорость молекул идеального газа при давлениир=1,01∙10⁴Па, если плотность газар=0,2кг/м³.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа выражается формулой:

, (1)

где R–молярная газовая постоянная;Т– термодинамическая температура газа;М –молярная масса.

Для определения неизвестных величин ТиМ воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона:

PV=(m/M)RT ,

Откуда

(2)

Подставим RT/M(2)в (1), получим

(3)

Проверим формулу (3):

Вычислим искомую скорость молекул:

Пример 12. Определить, при каком градиенте плотности углекислого газа через каждый квадратный метр поверхности почвы продиффундирует в атмосферу в течение 1 ч масса газаm=720 мг, если коэффициент диффузииD=0,04 см³/с.

Решение. Масса газа, переносимая в результате диффузии, определяется законом Фика:

(1)

где D–коэффициент дифузии; ∆р∆х– грдиент плотности, т. е. изменение плотности, приходящиеся на 1 м толщины слоя почвы;S– площадь поверхности слоя;t– длительность диффузии.

Из (1) выразим искомый градиент плотности:

(2)

Проверим формулу (2):

кг/м³∙м = кг/(м²/с) м²∙с= кг/м⁴.

Выпишем числовые значения всех величин, входящих в формулу (2), в единицах СИ: m=7,2∙10^-4кг,D=4∙10^-6м²/с,S=1 м²,t=3,60∙10³с.

Вычислим градиент плотности:

Отрицательное значение градиента плотности соответствует сущности процесса диффузии: зависимость плотности от расстояния в направлении движения диффундирующий массы выражается убывающей функцией, градиент которой – отрицательная величина.

Пример 13. Определить количество теплоты, теряемое через бетонные стены родильного отделения фермы КРС площадьюS=50 м²за времяt=1 мин, если в помещении температура стеныt₁=15⁰C, а снаружиt₂= - 10⁰С. Толщина стен ∆х =25 см.

Решение. Количество теплоты, передаваемое за счет теплопроводности стен, выражается законом Фурье:

(1)

где λ – теплопроводность материала стены; ∆Т /∆х– градиент температуры, т. е. изменение температуры, приходящееся на 1 м толщины стены;S– площадь поверхности стены;t– время передачи теплоты.

Проверим формулу (1):

Дж=Дж/(м∙с∙К) ∙(К/м)∙м^2∙Дж.

Выразим числовые значения всех величин в СИ: ∆Т=t₂-t₁=T₂-T₁=-10⁰C-15⁰C=-25⁰C=-25 К, ∆х =0,25 м,S=50 м²,t=60c, λ=0,817 Дж/(м·с·К) (см. табл 6).

Подставим числовые значения величин в формулу (1) и вычислим

Пример 14.Воздух, взятый при температуреt₁=0⁰С, был адиабатно сжат так, что его объем уменьшился в три раза. Определить температуру воздуха после сжатия.

Решение. Зависимость между температурой и объемом при адиабатном сжатии выражается уравнением Пуассона:

T₁V₁^γ-1= T₂V₂^γ-1,(1)

где T₁,V₁ – соответственно термодинамическая температура и объем до сжатия воздуха;

T₂,V₂– те же величины после сжатия воздуха;γ– отношение теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости газа при постоянном объеме.

Из теории теплоемкостей газов известно, что

γ= (i+2)/i,

где i– число степеней свободы молекулы газа. Так как воздух - газ двухатомный, тоi=5 и, следовательно,

γ= (5+2)/5=1,4.

Из формулы (1) получим

T₂=T₁(V₁/V₂)^γ-1 (2)

Подставим числовые значения (Т₁=273 К, γ =1,4,V₁/V₂=3) в (2):

Т₂=273·3^1,4-1К=273·3^0,4К.

Прологарифмируем обе части полученного равенства:

lgT₂ =lg273+0,41g3=2,463+0,4·0,477=2,6268.

По значению lgT₂, пользуясь таблицей антилогарифмов, найдем

Т₂ = 424К, илиt₂ = (Т₂-273)⁰С = (424-273)⁰С = 151⁰С.

Пример 15.Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно, имеет температуруt₁=197⁰C. Определить температуру охладителя, если ¾ теплоты, полученной от нагревателя, газ отдает охладителю.

Решение. Термический КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, выражается формулой

η=(Т₁-Т₂)/Т₁, (1)

или, как и для любого цикла,

η =(Q₁-Q₂)/Q₁, (2)

где Т₁иТ₂– соответственно термодинамические температуры нагревателя и охладителя;Q₁ – теплота, полученная газом от нагревателя;Q₂– теплота, отданная газом охладителю.

Приравняв правые части формулы (1) и (2), получим

(Т₁-Т₂)/Т₁=(Q₁-Q₂)/Q₁. (3)

После простых преобразований уравнение (3) примет вид Т₂ /Т₁=Q₂/Q₁, откуда

Т₂=Т₁Q₂ /Q₁. (4)

Подставим числовые значения [Т₁=(197+273) К=470 К, Q₂=³/₄Q₁]в (4) и вычислим:

или t₂ =79^ºC