Раздел IV. Оптика. Квантовая природа излучения

Основные законы и формулы

• Закон отражения света

где угол падения,

угол отражения.

• Закон преломления света

где угол падения,

угол преломления,

показатель преломления второй среды относительно первой.

• Формула тонкой линзы

где показатель преломления линзы,

, радиусы кривизны линзы,

, - расстояния от предмета до линзы и от изображения до линзы соответственно.

• Поток излучения

где энергия излучения,

время, за которое произошло излучение.

• Энергетическая светимость

где поток излучения,

площадь сечения, через которое проходит поток.

• Энергетическая сила света

где поток излучения,

телесный угол, в пределах которого распространяется излучение.

• Энергетическая яркость

где энергетическая сила света.

площадь сечения.

• Показатель преломления среды

где фазовая скорость электромагнитных волн в среде,

скорость электромагнитных волн в вакууме.

• Оптическая длина пути

где показатель преломления среды,

путь.

• Оптическая разность хода .

• Условие интерференционных максимумов

где оптическая разность хода,

порядок максимумов (),

длина волны в вакууме.

• Условие интерференционных минимумов

где оптическая разность хода,

порядок минимумов (),

длина волны в вакууме.

• Оптическая разность хода в тонких пленках в отраженном свете

где показатель преломления пленки,

толщина пленки,

угол падения лучей,

длина волны в вакууме.

• Радиусы зон Френеля

где расстояние от источника до отверстия,

расстояние от точки наблюдения до отверстия,

порядок зоны,

длина волны.

• Условие дифракционных максимумов от одной щели

где ширина щели,

угол падения лучей,

число зон (),

длина волны.

• Условие дифракционных минимумов от одной щели

где ширина щели,

угол падения лучей,

число зон (),

длина волны.

• Условие главных максимумов дифракционной решетки

где период дифракционной решетки,

угол падения лучей,

число зон (),

длина волны.

• Условие дополнительных минимумов дифракционной решетки

период дифракционной решетки,

угол падения лучей,

число зон (),

длина волны,

число щелей.

• Формула Вульфа – Брэггов

где межплоскостное расстояние,

угол скольжения лучей,

порядок спектра (),

длина волны.

• Разрешающая способность спектрального прибора

где длина волны,

абсолютное значение разности длин волн соседних спектральных линий.

• Разрешающая способность дифракционной решетки

где порядок спектра,

число щелей.

• Закон Бугера

где начальная интенсивность световой волны,

интенсивность волны, прошедшей слой вещества,

толщина вещества,

коэффициент поглощения.

• Степень поляризации

где максимальная интенсивность частично поляризованного света,

минимальная интенсивность частично поляризованного света.

• Закон Малюса

где начальная интенсивность световой волны, падающей на кристалл,

интенсивность света, вышедшего из кристалла,

угол между осями кристалла.

• Закон Брюстера

где угол Брюстера,

показатель преломления второй среды относительно первой.

• Угол вращения плоскости поляризации в кристаллах

где удельное вращение вещества,

расстояние, пройденное светом в веществе.

• Угол вращения плоскости поляризации в растворах

где удельное вращение вещества,

расстояние, пройденное светом в веществе,

концентрация раствора.

• Закон Стефана – Больцмана

где энергетическая светимость черного тела,

температура тела,

постоянная Стефана – Больцмана.

• Закон смещения Вина

где длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения,

температура тела,

постоянная Вина.

• Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

где энергия фотона,

работа выхода электронов из металла,

максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

• Энергия фотона

где постоянная Планка,

частота света,

скорость света в вакууме,

длина волны.

• Масса фотона

где постоянная Планка,

частота света,

скорость света в вакууме,

энергия фотона.

• Давление света при его нормальном падении на поверхность

где энергетическая освещенность,

коэффициент отражения,

объемная плотность энергии излучения.

• Комптоновская длина волны частицы

где постоянная Планка,

скорость света в вакууме,

масса частицы,

энергия покоя частицы.

Примеры решения задач

Пример 1. Луч света падает под углом i = 30^о на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу. Показатель преломления стекла n = 1,5. Какова толщина пластинки, если расстояние между лучами l = 1,94 см?

Решение. Смещение луча , гдеугол преломления луча в стекле. Толщина пластинкисвязана со смещением луча следующим соотношением:

.

Согласно закону преломления , то есть, поэтому

.

Вычислим результат:

.

Ответ: .

Пример 2. Радиус кривизны вогнутого зеркала R = 20 см. На расстоянии а₁ = 30 см от зеркала поставлен предмет высотой y₁ = 1 см. Найти положение и высоту изображения. Сделать рисунок.

Решение. Сделаем рисунок:

Фокусное расстояние зеркала . Формула вогнутого зеркала:

,

откуда . Так как предмет расположен за центром зеркала, то его изображение действительное (), обратное, уменьшенное. Увеличение. Следовательно, высота изображения.

Ответ: ,.

Пример 3. Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соответственно равно a = 30 см и b = 1,5 м. Бипризма стеклянная (n = 1,5) с преломляющим углом υ = 20^’. Определите длину волны, если ширина интерференционных полос Δх = 0,65 мм.

Решение. Сделаем рисунок:

Угол падения лучей, прошедших через призму равен ; ширина интерференционных полос, откуда. С другой стороны.

Расстояние между источниками света равно ; тогда длина волны будет равна.

Вычислим результат: ;

.

Ответ: .

Пример 4. На узкую щель нормально падает монохроматический свет. Его направление на четвертую темную дифракционную полосу составляет 2^о12^’. Определите, сколько длин волн укладывается на ширине щели.

Решение. Запишем условие дифракционных минимумов от одной щели , гдеm = 0, 1, 2, … Откуда выразим искомое отношение .

Вычислим результат: ;.

Ответ: .

Пример 5. При каких значениях кинетической энергии протона будет наблюдаться черенковское излучение, если протон движется с постоянной скоростью в среде с показателем преломления 1,6?

Решение. Для возникновения черенковского излучения необходимо, чтобы скорость движения заряженной частицы в среде была больше фазовой скорости света в этой среде: .

Выразим кинетическую энергию протона через показатель преломления среды:

,

где энергия покоя протона,масса протона.

Черенковское излучение возникает при

.

Тогда

.

Ответ: .

Пример 6. Угол между плоскостями двух поляроидов 70^о. Как изменится интенсивность прошедшего через них света, если этот угол уменьшить в 5 раз?

Решение. После прохождения света через оба поляроида его интенсивность будет. Тогда

, ,.

Вычислим результат:

,

то есть интенсивность возрастает в 8 раз.

Ответ: интенсивность возрастает в 8 раз.

Пример 7. Максимум энергии излучения абсолютно черного тела приходится на длину волны 450 нм. Определить температуру и энергетическую светимость тела.

Решение. Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела, по закону Вина равна

.

Отсюда

, .

В соответствии с законом Стефана – Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела равна

,

.

Ответ: .

Таблица вариантов

Номер студента по списку	Номера задач
1, 11, 21, 31 2, 12, 22, 32 3, 13, 23, 33 4, 14, 24, 34 5, 15, 25, 35 6, 16, 26, 36 7, 17. 27, 37 8, 18, 28, 38 9, 19, 29, 39 10, 20, 30, 40	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	21 22 23 224 25 26 27 28 29 30	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Контрольная работа № 4

1. Под каким углом должен упасть луч на поверхность воды, если известно, что он больше угла преломления на β = 10^о?

2. Под каким углом должен падать луч света на поверхность материала с показателем преломления n = 1,732, чтобы угол преломления был и k = 2 раза меньше угла падения?

3. При падении на плоскую границу двух сред с показателями преломления n₁ = 1,33, n₂ =1,5 луч света частично отражается, частично преломляется. При каком угле падения отраженный луч будет перпендикулярен преломленному?

4. Водолаз видит солнце под углом β = 60^о к поверхности воды. Какова настоящая высота солнца над горизонтом?

5. Луч падает на поверхность воды под углом α = 40^о. Под каким углом он должен упасть на поверхность стекла, чтобы угол преломления остался таким же?

6. Столб вбит в дно реки, так что часть столба высотой h = 1 м возвышается над водой. Найти длину тени столба на поверхности воды и на дне реки, если высота солнца над горизонтом α = 30^о, а глубина реки H = 2 м.

7. На плоскопараллельную стеклянную пластину (n = 1,5) толщиной 5 см падает под углом 30^о луч света. Определите боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.

8. Между двумя стеклянными пластинками с показателями преломления n₁ и n₂ находится тонкий слой жидкости. Луч света, распространяющийся в первой пластинке под углом i₁ (меньше предельного), выходя из слоя жидкости, входит во вторую пластинку под углом i₂. Докажите, что в данном случае выполняется закон преломления независимо от присутствия слоя жидкости между пластинами.

9. На горизонтальном дне бассейна глубиной h = 1,5 м лежит плоское зеркало. Луч света входит в воду под углом i₁ = 45^о. Определите расстояние от места вхождения луча в воду до места выхода его на поверхность воды после отражения от зеркала. Показатель преломления воды n = 1,33.

10. Когда луч шел из первой среды во вторую, угол падения был равен 60^о, а угол преломления – 45^о. Когда луч шел из первой среды в третью, угол падения был равен 60^о, а угол преломления – 30^о. Когда луч шел из второй среды в третью, угол падения был равен 60^о, а угол преломления равнялся β. Вычислить β.

11. На каком расстоянии а₂ от зеркала получится изображение предмета в выпуклом зеркале с радиусом кривизны R = 40 см, если предмет помещен на расстояние а₁ = 30 см от зеркала? Какова будет высота y₂ изображения, если предмет имеет высоту y₁ = 2 см? Сделать рисунок.

12. Выпуклое зеркало имеет радиус кривизны R = 60 см. На расстоянии а₁ = 10 см от зеркала поставлен предмет высотой y₁ = 2 см. Найти положение и высоту изображения. Сделать рисунок.

13. Каковы радиусы кривизны поверхностей выпукловогнутой собирающей линзы с оптической силой 5 дптр, если один из них больше другого в 2 раза?

14. Точка S находится на главной оптической оси собирающей линзы. Фокусное расстояние линзы равно 20 см, а расстояние между линзой и точкой S равно 30 см. Где находится точка S?

15. Линза дает трехкратное увеличение предмета, находящегося в 10 см от ее плоскости. Найти ее фокусное расстояние.

16. В вогнутом зеркале с радиусом кривизны R = 40 см хотят получить действительное изображение, высота которого вдвое меньше высоты самого предмета. Где нужно поставить предмет и где получится изображение?

17. Высота изображения предмета в вогнутом зеркале вдвое больше высоты самого предмета. Расстояние между предметом и изображением а₁ + а₂ = 15 см. Найти фокусное расстояние и оптическую силу зеркала.

18. Расстояние от предмета до вогнутого сферического зеркала равно двум радиусам кривизны. Определите положение изображения предмета и постройте это изображение.

19. Постройте изображение произвольной точки S, которая лежит на главной оптической оси собирающей линзы.

20. Постройте изображение произвольной точки S, которая лежит на главной оптической оси рассеивающей линзы.

21. Два параллельных световых пучка, отстоящих друг от друга на расстоянии 5 см, падают на кварцевую призму (n = 1,49) с преломляющим углом α = 25^о. Определите оптическую разность хода этих пучков на выходе их из призмы.

22. В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изображениями источника света равно 0,5 мм, расстояние l от них до экрана равно 5 м. В желтом свете ширина интерференционных полос равна 6 мм. Определите длину волны желтого света.

23. В опыте Юнга расстояние l от щелей до экрана равно 3 м. Определите угловое расстояние между соседними светлыми полосами, если третья световая полоса на экране отстоит от центра интерференционной картины на 4,5 мм.

24. Определите, во сколько раз изменится ширина интерференционных полос на экране в опыте с зеркалом Френеля, если фиолетовый светофильтр (0,4 мкм) заменить красным (0,7 мкм).

25. На стеклянный клин (n = 1,5) нормально падает монохроматический свет (λ = 698 нм). Определите угол между поверхностями клина, если расстояние между двумя соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм.

26. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны λ = 0,6 мкм, падающим нормально. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы R = 0,4 м. Определите показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца r = 1,8 мм.

27. Плосковыпуклая линза с радиусом сферической поверхности R = 12,5 см прижата к стеклянной пластинке. Диаметр десятого темного кольца Ньютона в отраженном свете равен 1 мм. Определите длину волны света.

28. Плосковыпуклая линза с показателем преломления n = 1,6 выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус третьего светлого кольца в отраженном свете (λ = 0,6 мкм) равен 0,9 мм. Определите фокусное расстояние линзы.

29. Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус четвертого темного кольца, наблюдаемого в отраженном свете, равен 4 мм. Найти длину волны, падающего света, если радиус кривизны линзы 8 м.

30. Радиусы двух соседних темных колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, соответственно равны 4 и 4,9 мм. Найти порядковые номера колец и длину волны падающего света, если радиус кривизны линзы 10 м.

31. Определите радиус третьей зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света (λ = 0,6 мкм) до волновой поверхности и от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1,5 м.

32. Определите радиус первой зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света (λ = 0,5 мкм) до зонной пластинки и от пластинки до места наблюдения а = b = 1 м.

33. Дифракция наблюдается на расстоянии 1 м от точечного источника монохроматического света (λ = 0,5 мкм). Посередине между источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Определите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец на экране является наиболее темным.

34. Нау узкую щель шириной 0,05 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны 694 нм. Определите направление света на вторую дифракционную полосу (по отношению к первоначальному направлению света).

35. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет с длиной волны 600 нм. Определите наибольший порядок спектра, полученный с помощью этой решетки, если ее постоянная d = 2 мкм.

36. На дифракционную решетку длиной 15 мм, содержащую N = 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной волны 550 нм. Определите: 1) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.

37. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки, если углу φ = 30^о соответствует максимум четвертого порядка для монохроматического света с длиной волны 0,5 мкм.

38. Монохроматический свет нормально падает на дифракционную решетку. Определите угол дифракции, соответствующий максимуму четвертого порядка, если максимум третьего порядка отклонен на φ₁ = 18^о.

39. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. В спектре, полученном с помощью этой решетки, некоторая спектральная линия наблюдается в первом порядке под углом φ = 11^о. Определите наивысший порядок спектра, в котором может наблюдаться эта линия.

40. Узкий параллельный пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на грань кристалла с расстоянием между его атомными плоскостями d = 0,3 нм. Определите длину волны рентгеновского излучения, если под углом υ = 30^о к плоскости грани наблюдается дифракционный максимум первого порядка.

41. Измерение дисперсии показателя преломления оптического стекла дало n₁ = 1,528 для λ₁ = 0,434 мкм и n₂ = 1,523 для λ₂ = 0,486 мкм. Вычислить отношение групповой скорости к фазовой для света с длиной волны 0,434 мкм.

42. Дисперсия показателя преломления кварца представлена таблицей:

λ, нм	589,3	486,1	410
n	1,5442	1,5497	1,5565

Найти отношение фазовой и групповой скоростей света вблизи λ = 486,1 нм.

43. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647, 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи длины волны 534 нм.

44. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в конусе с раствором 82^о. Определить кинетическую энергию протонов. Показатель преломления каменной соли 1,54.

45. Определите кинетическую энергию протонов, которые в среде с показателем преломления n = 1.6 излучают свет под углом υ = 20^о к направлению своего движения. Ответ выразите в электрон-вольтах.

46. Определите минимальный импульс, которым должен обладать электрон, чтобы эффект Вавилова – Черенкова наблюдался в среде с показателем преломления n =1,5.

47. Определите минимальную кинетическую энергию, которой должен обладать электрон. Чтобы в среде с показателем преломления n = 1,5 возникло черенковское излучение.

48. Определите минимальную ускоряющую разность потенциалов. Которую должен пройти электрон, чтобы в среде с показателем преломления n = 1,5 возникло черенковское излучение.

49. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в конусе с раствором 67^о. Определить кинетическую энергию протонов. Показатель преломления каменной соли 1,54.

50. Определите минимальный импульс, которым должен обладать электрон, чтобы эффект Вавилова – Черенкова наблюдался в среде с показателем преломления n =1,8.

51. Естественный свет падает на кристалл алмаза под углом полной поляризации. Найти угол преломления света (n = 2,42).

52. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы свет, отраженный от поверхности воды, был максимально поляризован? (n_В = 1,33)

53. Луч света, проходя слой льда, падает на алмазную пластинку, частично отражается, частично преломляется. Определить, каким должен быть угол падения, чтобы отраженный луч был максимально поляризован (n₁ = 1,31; n₂ = 2,42).

54. Раствор сахара с концентрацией 0,25 г/см³ толщиной 20 см поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на 30^о. Другой раствор толщиной 15 см поворачивает плоскость поляризации на 20^о. Определить концентрацию сахара во втором растворе.

55. Раствор сахара с концентрацией 0,45 г/см³ толщиной 10 см поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на 50^о. Другой раствор толщиной концентрацией 0,32 г/см³ поворачивает плоскость поляризации на 30^о. Определить толщину второго раствора.

56. Найти угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза.

57. Найти угол полной поляризации при отражении света от стекла, показатель преломления которого n = 1,57.

58. Предельный угол полного внутреннего отражения для некоторого вещества i = 45^о. Найти для этого вещества угол полной поляризации.

59. Раствор сахара с концентрацией 0,25 г/см³ толщиной 15 см поворачивает плоскость поляризации монохроматического света на 20^о. Определить удельное вращение сахара.

60. Найти показатель преломления стекла, если при отражении от него света отраженный луч будет полностью поляризован при угле преломления 30^о.

61. Абсолютно черное тело было нагрето от температуры 100 до 300 ^оС. Найти, во сколько раз изменилась мощность суммарного излучения при этом.

62. Температура абсолютно черного тела понизилась с 1000 до 850 К. Определить, как и на сколько при этом изменилась длина волны, отвечающая максимуму распределения энергии.

63. Во сколько раз увеличится мощность излучения сместится от красной границы видимого спектра к его фиолетовой границе?

64. Определить давление солнечных лучей, нормально падающих на зеркальную поверхность. Интенсивность солнечного излучения принять равной 1,37 кВт/м².

65. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5 В.

66. Давление света на зеркальную поверхность, расположенную на расстоянии 2 м от лампочки, нормально падающим лучом, равно 10^-8 Па. Определить мощность. расходуемую на излучение.

67. Фотон с длиной волны 0,2 мкм вырывает с поверхности фотокатода электрон, кинетическая энергия которого 2 эВ. Определить работу выхода и красную границу фотоэффекта.

68. Кинетическая энергия электронов, выбитых из цезиевого катода, равна 3 эВ. Определить, при какой максимальной длине волны света выбиваются электроны. Работа выхода для цезия 1,8 эВ.

69. На какую длину волны приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру, равную температуре 37 ^оС человеческого тела?

70. Абсолютно черное тело имеет температуру 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на 9 мкм. До какой температуры охладилось тело?