Раздел III. Электричество и электромагнетизм

Основные законы и формулы

• Закон Кулона ,

где изаряды,

расстояние между зарядами,

электрическая постоянная,

диэлектрическая проницаемость среды.

• Напряженность электростатического поля .

• Напряженность поля:

точечного заряда ,

бесконечно длинной заряженной нити ,

равномерно заряженной плоскости ,

между двумя равномерно и разноименно заряженными бесконечными плоскостями .

• Принцип суперпозиции .

• Объемная, поверхностная и линейная плотности заряда

, ,.

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью ,.

• Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром

, .

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром

, .

• Потенциал электростатического поля .

• Связь между потенциалом электростатического поля и его напряженностью

, .

• Электрическая емкость уединенного проводника .

• Электрическая емкость шара .

• Электрическая емкость плоского конденсатора .

• Электрическая емкость цилиндрического конденсатора .

• Электрическая емкость сферического конденсатора .

• Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов .

• Электрическая емкость последовательно соединенных конденсаторов .

• Энергия заряженного уединенного проводника .

• Энергия заряженного конденсатора .

• Объемная плотность энергии электростатического поля .

• Сила тока .

• Плотность тока .

• Электродвижущая сила, действующая в цепи ,.

• Закон Ома для однородного участка цепи .

• Мощность тока .

• Закон Джоуля – Ленца .

• Закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома) .

• Правила Кирхгофа ,.

• Магнитный момент рамки с током .

• Вращательный момент, действующий на рамку с током в магнитном поле .

• Связь между индукцией а напряженностью магнитного поля .

• Закон Био – Савара – Лапласа для элемента проводника с током .

• Магнитная индукция поля прямого тока .

• Магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током .

• Закон Ампера .

• Магнитное поле свободно движущегося заряда .

• Сила Лоренца .

• Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), имеющего витков .

• Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь произвольную поверхность .

• Э.д.с. самоиндукции .

• Индуктивность бесконечно длинного соленоида, имеющего витков.

• Ток при размыкании цепи .

• Ток при замыкании цепи .

• Энергия магнитного поля, связанного с контуром .

Примеры решения задач

Пример 1. С какой силой взаимодействуют два заряда по 10 нКл, находящиеся на расстоянии 3 см друг от друга?

Решение. Запишем закон Кулона:

.

Итак, ;.

Вычислим результат:

,

Ответ: .

Пример 2. Заряды 90 и 10 нКл расположены на расстоянии 4 см друг от друга. Где надо поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии?

Решение. Сделаем пояснительный рисунок

Обозначим Тогда. Проанализируем задачу для случая, когда заряд – положительный. На заряд действуют силы:

1. сила отталкивания со стороны заряда ;

2. сила отталкивания со стороны заряда .

Равновесие заряда наступит при условии равенства модулей сил. Найдем модули действующих на зарядсил:

; .

Приравняем их:

.

После сокращения левой и правой части на одинаковый множитель получим:

или .

Воспользуемся свойством пропорции: .

Выразим отсюда х:

; ;;

.

Вычислим результат:

.

Результат не зависит от знака заряда .

Ответ: .

Пример 3. С каким ускорением движется электрон в поле с напряженностью 10 кВ/м?

Решение. Из определения напряженности электрического поля находим выражение для:. С другой стороны, поII закону Ньютона, сила равна произведению массы электрона на его ускорение а: .

Итак,

, .

Вычислим результат:

.

Ответ: .

Пример 4. Медный шар радиусом R = 0,5 см помещен в масло. Плотность масла ρ = 0,8 10³ кг/м³. Найти заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле. Электрическое поле направлено вверх и его напряженность Е = 3,6 МВ/м.

Решение. На шар действуют силы: электростатическая сила F (вверх), сила тяжести mg (вниз) и сила Архимеда F_A (вверх). Запишем уравнение равновесия:

.

Здесь

, ,,

где ,соответственно плотности меди и масла. Из последних соотношений имеем

.

Ответ: .

Пример 5. Электрон переместился в ускоряющем поле из точки с потенциалом 200 В в точку с потенциалом 300 В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение потенциальной энергии взаимодействия с полем.

Решение. По закону сохранения энергии работа, совершенная полем над зарядом, идет на изменение кинетической энергии заряда:

, .

В нашем случае ,, гдемодуль заряда электрона.

Итак,

,

так как , то

.

.

Вычислим результат:

,

.

Ответ: ..

Пример 6. Заряд конденсатора 1 мкКл, площадь пластин 100 см², зазор между пластинами заполнен слюдой. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора и силу притяжения пластин. (ɛ = 6)

Решение. Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора равна:

,

где E – напряженность поля конденсатора; S – площадь обкладок конденсатора.

Напряженность однородного поля плоского конденсатора

,

где – поверхностная плотность заряда.

Рассчитаем силу :

, .

Объемная плотность энергии электрического поля

.

Преобразуем последнее равенство:

.

Вычислим результат:

.

Ответ: .

Пример 7. Определить плотность тока в нихромовом проводнике длиной 5 м, если на концах его поддерживается разность потенциалов 2 В.

Решение. По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока , где– удельная проводимость, ρ – удельное сопротивление проводника,– напряженность поля в проводнике, гдеU – напряжение на концах проводника длиной l.

Тогда

.

Вычислим результат:

.

Ответ: .

Пример 8. Под действием однородного магнитного поля перпендикулярно линиям индукции начинает перемещаться прямой проводник массой 2 кг, сила тока в котором 10 А. Какой магнитный поток пересечет этот проводник к моменту времени, когда его скорость станет равна 31,6 м/с?

Решение. Работа перемещения проводника с током под действием магнитного поля равна . Эта работа будет численно равна кинетической энергии, приобретаемой проводником:

; ;

; ;

.

Ответ: .

Пример 9. Обмотка соленоида имеет сопротивление 10 Ом. Какова его индуктивность, если при прохождении тока за 0,05 с в нем выделяется количество теплоты, эквивалентное энергии поля соленоида?

Решение. Энергия магнитного поля соленоида равна:

,

а количество теплоты определяется по закону Джоуля – Ленца:

.

Так как , то,

откуда

, .

Ответ: .

Таблица вариантов

Номер студента по списку	Номера задач
1, 11, 21, 31 2, 12, 22, 32 3, 13, 23, 33 4, 14, 24, 34 5, 15, 25, 35 6, 16, 26, 36 7, 17. 27, 37 8, 18, 28, 38 9, 19, 29, 39 10, 20, 30, 40	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70	71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Контрольная работа № 3

1. На каком расстоянии друг от друга заряды 1 мкКл и 10 нКл взаимодействуют с силой 9 мН?

2. Во сколько раз надо изменить расстояние между зарядами при увеличении одного из них в 4 раза, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

3. Во сколько раз сила электрического отталкивания между двумя электронами больше силы их гравитационного притяжения друг к другу?

4. Одинаковые шарики массой по 0,2 г подвешены на нити так, как показано на рисунке. Расстояние между шариками BC = 3 см. Найти силу натяжения нити на участках АВ

Рисунок 1

и BC, если шарикам сообщили одинаковые заряды по 10 нКл. Рассмотреть случаи: а) заряды одноименные; б) заряды разноименные.

5. Два шарика, расположенные на расстоянии 10 см друг от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и взаимодействуют с силой 0,23 мН. Найти число «избыточных» электронов на каждом шарике.

6. Два одинаковых металлических шарика заряжены так, что заряд одного из них в 5 раз больше другого. Шарики привели в соприкосновение и раздвинули на прежнее расстояние. Во сколько раз изменилась (по модулю) сила взаимодействия, если шарики были заряжены одноименно? Разноименно?

7. Доказать, что если два одинаковых металлических шарика, заряженные одноименно неравными зарядами, привести в соприкосновение и затем раздвинуть на прежнее расстояние, то сила взаимодействия обязательно увеличится, причем это увеличение будет тем более значительным, чем больше различие в значение зарядов.

8. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноименными зарядами q и 4q, находятся на расстоянии r друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние r₂ надо их развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

9. Заряды 10 и 16 нКл расположены на расстоянии 7 мм друг от друга. Какая сила будет действовать на заряд 2 нКл, помещенный в точку, удаленную на 3 мм от меньшего заряда и на 4 мм от большего?

10. В вершинах правильного шестиугольника со стороной a помещены друг за другом заряды +q, +q, +q, -q, -q, -q. Найти силу, действующую на заряд +q, который помещен в центре шестиугольника.

11. В некоторой точке поля на заряд 2 нКл действует сила 0,4 мкН. Найти напряженность поля в этой точке.

12. Найти напряженность поля заряда 36 нКл в точках, удаленных от заряда на 9 и 18 см.

13. Заряды по 0,1 мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряженность поля в точке, удаленной на 5 см от каждого из зарядов. Рассмотреть случаи: а) оба заряда положительные; б) один заряд положительный, а другой отрицательный.

14. В однородном поле с напряженностью 40 кВ/м находится заряд 27 нКл. Найти напряженность результирующего поля на расстоянии 9 см от заряда в точках: 1) лежащие на силовой линии однородного поля, проходящей через заряд; 2) лежащих на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям.

15. В основании равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды по +q каждый, а в вершине – заряд –q. Найти напряженность поля в центре треугольника.

16. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии r = 10 cм друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях τ₁ = τ₂ =10 мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности E результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждой нити.

17. С какой силой F на единицу площади отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости? Поверхностная плотность заряда на плоскостях σ = 0,3 мКл/м?

18. Найти напряженность E электрического поля на расстоянии r = 0,2 нм от одновалентного иона. Заряд иона считать точечным.

19. С какой силой F_l электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити τ = 3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда на плоскости σ = 20 мкКл/м².

20. С каким ускорением движется электрон в поле с напряженностью 10 кВ/м?

21. Разность потенциалов между обкладками конденсатора с емкостью С = 200 нФ равна U = 200 В. Найти заряд и энергию конденсатора.

22. Разность потенциалов между обкладками конденсатора с емкостью С = 100 нФ равна U = 200 В. Найти заряд и энергию конденсатора.

23. Разность потенциалов между обкладками конденсатора с емкостью С = 200 нФ равна U = 300 В. Найти заряд и энергию конденсатора.

24. Заряд конденсатора с емкостью С = 200 нФ равен 200 нКл. Найти энергию конденсатора и разность потенциалов между его обкладками.

25. Заряд конденсатора с емкостью С = 200 нФ равен 300 нКл. Найти энергию конденсатора и разность потенциалов между его обкладками.

26. Заряд конденсатора с емкостью С = 100 нФ равен 200 нКл. Найти энергию конденсатора и разность потенциалов между его обкладками.

27. Найти емкость плоского конденсатора с площадью 10 см² и расстоянием между обкладками 0,1 мм, если между обкладками находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 2.

28. Найти емкость плоского конденсатора с площадью 10 см² и расстоянием между обкладками 0,1 мм, если между обкладками находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 2.

29. Найти емкость плоского конденсатора с площадью 40 см² и расстоянием между обкладками 0,2 мм, если между обкладками находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 3.

30. Найти емкость плоского конденсатора с площадью 20 см² и расстоянием между обкладками 1 мм, если между обкладками находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 6.

31. Чему равна плотность тока в круглом проводе диаметром 1 мм, по которому течет ток в 2 А?

32. Чему равна плотность тока в проводнике с удельным сопротивлением 4 10^-6 Ом м при напряженности 100 В/см.

33. Чему равно сопротивление проводника диаметром 2 мм и длиной 2м, если он сделан из проводника с удельным сопротивлением 2 10^-6 Ом м?

34. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна 1 МА/м². Определить напряжение на концах проводника.

35. Напряжение на концах проводника сопротивлением 5 Ом за 0,5 с равномерно возрастает от 0 до 20 В. Какой заряд проходит через проводник за это время?

36. Температура вольфрамовой нити электролампы 2000 ^оС, диаметр 0,02 мм, сила тока в ней 4 А. Определить напряженность поля в нити.

37. Внутреннее сопротивление аккумулятора 1 Ом. При силе тока 2 А его КПД равен 0,8. Определить ЭДС аккумулятора.

38. Определить ЭДС аккумуляторной батареи, ток замыкания в которой 20 А, если при подключении к ней резистора сопротивлением 9 Ом сила тока в цепи равна 1 А.

39. ЭДС аккумулятора автомобиля 12 В. При силе тока 3 А его КПД равен 0,8. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора.

40. На концах никелинового проводника длиной 5 м поддерживается разность потенциалов 12 В. Определить плотность тока в проводнике, если его температура 540 ^оС.

41. К источнику тока подключают один раз резистор сопротивлением 1 Ом, другой раз – 4 Ом. В обоих случаях на резисторах за одно и то же время выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока.

42. Два одинаковых источника тока соединены в одном случае последовательно, в другом – параллельно и замкнуты на внешнее сопротивление 1 Ом. При каком внутреннем сопротивлении источника сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях одинаковой?

43. Внутреннее сопротивление аккумулятора 2 Ом. При замыкании его одним резистором сила тока равна 4 А, при замыкании другим – 2 А. Во внешней цепи в обоих случаях выделяется одинаковая мощность. Определить ЭДС аккумулятора и внешние сопротивления.

44. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить наибольшую полезную мощность батареи.

45. В изображенной на рисунке 2 схеме R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом, r = 1 Ом, ЭДС = 2 В. Найти силу тока через сопротивление R₁.

Рисунок 2

46. В изображенной на рисунке 2 схеме R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом, r = 1 Ом, ЭДС = 2 В. Найти мощность, выделяемую на сопротивлении R₂.

47. ЭДС батареи 100 В, ее внутреннее сопротивление r = 2 Ом, сопротивления R₁ = 25 Ом и R₃ = 78 Ом (рисунок 3). На сопротивлении R₁ выделяется мощность P₁ = 16 Вт. Какой ток показывает амперметр.

Рисунок 3

48. Две электрические лампочки с сопротивлением 360 и 240 Ом включены в сеть параллельно. Какая из лампочек потребляет большую мощность? Во сколько раз?

49. Разность потенциалов между точками А и В равна 9 В. Имеются два проводника с сопротивлениями 5 и 3 Ом. Найти количество теплоты. Выделяющееся в каждом проводнике в единицу времени, если проводники между точками А и В соединены: а) последовательно; б) параллельно.

50. Определите полное сопротивление цепи, изображенной на рисунке 4, если R₁ = R₂ = R₅ = R₆ = 3 Ом; R₃ = R₄ = 24 Ом. Определите силу тока, идущего через каждый резистор, если к цепи приложено напряжение 36 В.

Рисунок 4

51. Каков период вращения положительного иона лития, влетевшего в магнитное поле с индукцией 1 мТл со скоростью10 км/с перпендикулярно направлению вектора индукции магнитного поля?

52. Какова индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямым проводом с током 2 А на расстоянии 2 м от себя.

53. По квадратной рамке со стороной 0,2 м течет ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки.

54. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Радиус большого витка 12 см, а меньшего 2 см. Напряженность поля в центре витков равна 50 А/м, если токи текут в одном направлении, и равна нулю, если в противоположных. Определить силу тока в витках.

55. В кольцевом проводнике радиусом 10 см сила тока 4 А. Параллельно плоскости проводника на расстоянии 2 см над его центром проходит бесконечно длинный проводник, сила тока в котором 2 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре кольца.

56. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, расстояние6 между которыми 15 см, в противоположных направлениях текут токи 4 и 6 А. Определить расстояние от проводника с меньшей силой тока до геометрического места точек, в котором напряженность магнитного поля равна нулю.

57. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл помещена квадратная рамка площадью S = 25 см². Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60^о. Определите вращающий момент, действующий на рамку, если по ней течет ток 1 А.

58. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии R=4 см от его середины. Длина отрезка провода l=20 см, а сила тока в проводе I=10 А.

59. Определите индукцию магнитного поля в центре проволочной квадратной рамки со стороной а=15 см, если по рамке течет ток I=5 A.

60. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d=15 см, текут токи I₁=70 A и I₂=50 A в противоположных направлениях. Определите магнитную индукцию В в точке А, удаленной на r₁=20 см от первого и r₂=30 см от второго проводника.

61. Виток радиусом 5 см помещен в однородное магнитное поле напряженностью 5000 А/м так, что нормаль к витку составляет угол 60^о с направлением поля. Сила тока в витке 1 А. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в устойчивое положение?

62. Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2 см. Определить удельный заряд электрона.

63. Виток радиусом 2 см, сила тока в котором 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90^о вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается неизменной.

64. Квадратная рамка со стороной 4 см содержит 100 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 100 А/м. Направление поля составляет с нормалью к рамке угол 30^о. Какая работа совершается при повороте рамки на 30^о в одну и другую сторону, если сила тока в ней 1 А?

65. Квадратная рамка со стороной 5 см содержит 200 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 200 А/м. Направление поля составляет с нормалью к рамке угол 30^о. Какая работа совершается при повороте рамки в положение, когда ее плоскость совпадает с направлением линий индукции поля?

66. Проводник, сила тока в котором 1 А, длиной 0,3 м равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его конец, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля напряженностью 1 кА/м. За 1 мин вращения совершается работа 0,1 ДЖ. Определить угловую скорость вращения проводника.

67. Чему равен магнитный поток через рамку площадью 20 см², находящуюся в магнитном поле с индукцией 2 мТл, если угол между плоскостью рамки и вектором магнитной индукции составляет 30^о?

68. На расстоянии 5 см параллельно прямолинейному длинному проводнику движется электрон с кинетической энергией 1 кэВ. Какая сила будет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток 1 А?

69. Протон движется в магнитном поле напряженностью 10⁵ А/м по окружности радиусом 2 см. Найти кинетическую энергию протона.

70. Два параллельных бесконечно длинных проводника с токами 10 А взаимодействуют с силой 1 мН на 1 м их длины. На каком расстоянии находятся проводники?

71. Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 10 А за 1 мин, при этом соленоид накапливает энергию 20 Дж. Какая ЭДС индуцируется в соленоиде?

72. Однослойный соленоид без сердечника длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5 А до 0. Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде.

73. В плоскости, перпендикулярной магнитному полю напряженностью 2 10⁵ А/м, вращается стержень длиной 0,4 м относительно оси, проходящей через его сердцевину. В стержне индуцируется ЭДС 0,2 В. Определите угловую скорость стержня.

74. Соленоид без сердечника длиной 15 см и диаметром 4 см имеет 100 витков на 1 см длины и включен в цепь источника тока. За 1 мс сила тока в нем изменилась на 10 мА. Определить ЭДС самоиндукции, считая, что ток в цепи изменяется равномерно.

75. Соленоид с сердечником (μ = 1000) длиной 15 см и диаметром 4 см имеет 100 витков на 1 см длины и включен в цепь источника тока. За 1 мс сила тока в нем изменилась на 10 мА. Определить ЭДС самоиндукции, считая, что ток в цепи изменяется равномерно.

76. Однородное магнитное поле напряженностью 900 А/м действует на помещенный в него проводник длиной 25 см с силой 1 мН. Определить силу тока в проводнике, если угол между направлением тока и индукции поля равен 45^о.

77. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную намотку проводом диаметром 0,2 мм, и по нему течет ток 0,1 А. Длина соленоида 20 см, диаметр 5 см. Найти энергию магнитного поля соленоида.

78. По соленоиду длиной 0,25 м, имеющему 500 витков, течет ток 1 А. Площадь поперечного сечения соленоида 15 см². Найти энергию магнитного поля соленоида.

79. Однородное магнитное поле, объемная плотность энергии которого 0,4 Дж/м³, действует на проводник с током, расположенный перпендикулярно линиям индукции с силой 0,1 мН на 1 см его длины. Определить силу тока в проводнике.

80. По обмотке соленоида с параметрами: число витков 1000, длина 0,5 м, диаметр 4 см течет ток 0.5 А. Определить потокосцепление, энергию, объемную плотность энергии соленоида.