Типові приклади і задачі до модулю 2

1. Знайти відстань від т. М₀ (8;1;–5) до площини 12у– 5z+ 2 = 0.

2. Скласти рівняння площини, що проходить через т. М₀ (2; 3; 1) паралельно площині 2x–y+ 3z– 7 = 0.

3. Скласти рівняння площини, що проходить через т. М₀ (4; –1; 5) паралельно векторам .

4. Скласти рівняння площини, що проходить через т. М₁ (2;–2;1) перпендикулярно вектору , деМ₂ (3;–3;2).

5. Для рівняння скласти рівняння площини у відрізках.

6. Для прямої скласти канонічне рівняння.

7. Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точки М₀(1;–1;2) і М₁(2;3;0).

8. Довести, що пряма x = 2t +1, y =–3t +2, z = 3t–5 паралельна площині

3x – 2y –4z + 1 =0.

9. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М₀(1;3;–2) перпендикулярно площині .

10. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, симетрично відносно початку координат, якщо

а) його велика вісь дорівнює 10, а відстань між фокусами дорівнює 8;

б) відстань між фокусами дорівнює 6, а ексцентриситет дорівнює ;

в) його велика вість дорівнює 8, а відстань між директрисами дорівнює 16.

11. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі ОХ, якщо 2с =4, а відстань між директрисами дорівнює 16.

12. Для еліпса 9x² + 16y² = 144 визначити півосі і рівняння директрис.

13. Скласти рівняння еліпса з вершинами на осях ОХ і ОY та фокусами на осі OY, якщо відстань між фокусами дорівнює 8 і

14. Для еліпса обчислити:

а) півосі;

б) фокуси;

в) ексцентриситет;

г) рівняння директрис.

15. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі ординат, якщо задані рівняння асимптот , а відстань між вершинами рівна 24.

16. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі абсцис, якщо 2с = 8, а рівняння директрис .

17. Для гіперболи знайти півосі та рівняння директрис.

18. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі Оу симетрично початку координат, якщо:

а) відстань між фокусами і;

б) рівняння асимптот і відстань між фокусами;

в) відстань між директрисами дорівнює і відстань між фокусами.

19. Для гіперболи обчислити:

а) півосі;

б) фокуси;

в) ексцентриситет;

г) рівняння директриси і асимптот.

20. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, яка проходить через точку А(4;1) симетрично відносно осі OY.

21. Скласти рівняння параболи з вершиною в т.О (0;0) і симетричної відносно осі ОХ, якщо і парабола розміщена в лівій півплощині.

22. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат якщо:

а) парабола симетрична відносно Ох і проходить точку ;

б) параболи симетрично розміщена відносно осі Оу і проходить через точку

;

в) парабола розміщена в лівій півплощині і ;

г) парабола розміщена у верхній півплощині в .

Семестр другий. Вища алгебра Модуль 3

1. Матриці. Дії з матрицями. Детермінанти n-го порядку та їх властивості. Обернена матриця

2. Мінори та їх алгебраїчні доповнення. Теорема Лапласа. Теорема Крамера та метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь

3. Лінійні простори. База і розмірність простору. Лінійна залежність у лінійному просторі. Лінійний підпростір

4. Ізоморфізм лінійних просторів. Координати вектора в базі. Зв’язок між координатами вектора в різних базах

5. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капелі. Системи лінійних однорідних рівнянь