Информационный блок (2) кинематика и динамика вращательного движения.

Закон движения материальной точки по окружности радиуса r задается уравнением:

, (2.1)

где — угол поворота радиуса-вектораматериальной точки,t— время движения.

Поворот телана некоторый уголможно задать при помощи псевдовектора¹, длина которого равна величине угла, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта, вращаемого в ту же сторону.

Псевдовектор угловой скоростихарактеризует процесс изменения вектора угла поворота:

(2.2)

где — вектор угла поворота, направление которого связывается с поступательным движением правого винта при вращении его в ту же сторону.

Псевдовектор углового ускоренияхарактеризует процесс изменения вектора угловой скорости:

(2.3)

В том случае, если угловое ускорение зависит только от угла поворота, то от дифференцирования по времени можно перейти к дифференцированию по угловой координате:

. (2.4)

Вектор линейной скоростисвязан с вектором угловой скоростипосредством операции векторного произведения:

. (2.5)

Модуль вектора линейной скорости равен:

, (2.8)

где — угол между вектором угловой скоростии радиус-вектором.

Направление вектора векторного произведения определяется направлением поступательного движения правого винта при вращении от первого сомножителя ко второму по кратчайшему пути.

Существует связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности радиуса :

, (2.6)

где — линейная скорость,— угловая скорость,— тангенциальное ускорение,— нормальное ускорение.

Псевдовектор момента силыопределяется как векторное произведение радиуса-вектораточки приложения силы и вектора силы:

. (2.7)

Модуль момента силыравен:

, (2.8)

где — угол между векторамии.

Псевдовектор момента импульса материальной точкиопределяется как векторное произведение радиуса-вектораматериальной точки и вектора импульса:

. (2.9)

Модуль момента импульсаматериальной точкиравен:

. (2.10)

Уравнение динамики вращательного движенияимеет вид:

, (2.11)

где — момент инерции тела,— вектор угловой скорости,— радиус-вектор точки приложения силы.

Уравнение динамики вращательного движенияв обобщенной формеформулируется следующим образом: скорость изменения момента импульса системы равна моменту внешних сил:

(2.12)

Момент инерции материальной точки массой, находящейся на расстоянииот оси вращения, равен:

. (2.13)

Момент инерции твердого телавычисляется по формуле:

, (2.14)

где — масса малого элемента тела, отстоящего от оси вращения на расстоянии,— зависимость плотности тела от расстояниявыделенного элемента объематела до оси вращения.

Момент инерции обручаотносительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр симметрии обруча, вычисляется по формуле (2.13).

Момент инерции диска радиусом относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр симметрии диска, определяется по формуле:

, (2.15)

где — масса диска.

Момент инерции стержнядлинойотносительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину, можно определить по формуле:

, (2.16)

где — масса стержня.

Теорема Гюйгенса-Штейнера позволяет определить момент инерциитела относительно оси, не проходящей через его центр инерции:

, (2.17)

где — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр инерции,— масса тела,— расстояние между осями.