Примеры решения заданий по теме (2)

ПРИМЕР 2.1

Диск массой m и радиусом вращается с угловой скоростью. В момент временик ободу диска прижимают тормозную колодку с силой, направленной перпендикулярно оси вращения. Коэффициент трения между диском и колодкой равен.

1. Сколько оборотов сделает диск до остановки, если вещество, из которого изготовлен диск, распределено по нему равномерно?

Решение примера 2.1. Замедление скорости вращения происходит под действием силы трения. Поэтому уравнение вращательного движения тела с моментом инерцииотносительно осиOZвыглядит следующим образом:

,

где — сила трения,— радиус-вектор, перпендикулярно проведенный от оси вращения в точку приложения силы . Выберем направление осиOZвдоль направления вектораи запишем проекцию уравнения вращательного движения тела на выбранное направление относительно оси, проходящей через центр масс тела:

.

Появление знака “минус” связано с тем, что угловое ускорение отрицательно, т. е. угловая скорость убывает по величине. Сила трения пропорциональна прижимающей силе: . Следовательно, уравнение вращательного движения диска перепишется в виде:

Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим:

Учитывая начальное условие: , находим, что. Следовательно, угловая скорость зависит от времени по закону:

.

Зависимость от времени tугла поворотаполучим, разделяя переменные в выражении:

.

После интегрирования, получим:

.

С учетом начального условия: , находим, что. Следовательно, угол поворота зависит от времени по закону:

,

где — значение угла в начальный момент времени.

Время до остановки диска определяем из условия равенства угловой скорости нулю:

,

откуда находим, что

.

Число оборотов диска nдо остановки определяется из выражения:

,

где — момент инерции однородного диска. Кроме того, здесь учтено, что в данном случае.

ПРИМЕР 2.2

Однородный стержень массой и длинойможет вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через его конец. В другой конец вертикально висящего стержня попадает летящий горизонтально со скоростьюшарик массойи прилипает к нему.

2. Определить начальную угловую скорость и угол максимального отклонения стержня после попадания шарика.

Решение примера 2.2. В данной ситуации происходит неупругое взаимодействие шарика и стержня. Время взаимодействия относительно мало, следовательно, закон сохранения момента импульса можно считать выполняющимся с достаточной степенью точности. Из закона сохранения момента импульса:

,

следует, что начальная угловая скорость стержня с шариком может быть найдена из уравнения:

,

где — момент инерции шарика;;— момент инерции стержня с шариком относительно оси вращения, определяемый в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера.

Угол отклонения стержня с шариком найдем, применив закон сохранения механической энергии

и дополнительные соотношения:

где — высота подъема центра инерции стержня с шариком при отклонении на угол, а— расстояние от оси вращения до центра инерции стержня с шариком, определяемое по формуле (2. 27).